2.1.2基本不等式（教学课件）数学湘教版2019必修第一册

2.1 相等关系与不等关系 2.1.2 基本不等式 第2章 一元二次函数、方程和不等式 情境引入 在2.1.1节问题1中，我们通过著名的“赵爽弦图”提炼出如下不等关系：当时，. 不难发现，在图3中，，，四点重合，即时，有.而且，我们可用作差比较法给出如下证明： . 新知探索 据此，可得到如下定理： 对任意，必有，当且仅当时等号成立. 对任意正数，必有，当且仅当时等号成立. 特别地，当，时，用，分别代替定理中的，可得如下推论： 新知探索 对任意正数，必有，当且仅当时等号成立. 证法一 因为， 所以，当且仅当，即时等号成立. 对于任意实数，，都有成立吗？ 不成立. 新知探索 证法二 如图所示，以长是的线段为直径作圆，在直径上取点，使得，，过点作交上半圆于点， 连接和，可证，那 么，即. 因为是圆的半径，故.显然，它大于或等于， 即， 当且仅当点和点重合，即时，等号成立. 新知探索 一般地，对于正数，，我们把称为，的算术平均数，称为的几何平均数.把不等式称为基本不等式，且可以表述为：两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数. 对任意正数，必有，当且仅当时等号成立. 基本不等式 例析 证明 (1)因为，均为正数，由基本不等式，得 当且仅当，即时等号成立，所以原不等式成立. 例 5 设为正数，证明下列不等式： (1)；(2). (2)因为，为正数，所以，也为正数，由基本不等式，得， 当且仅当，即时等号成立，所以原不等式成立. 例析 证明 因为，由基本不等式，得 把上述三个式子的两边分别相加，得， 即， 当且仅当，，，即时等号成立. 例 6 对任意三个正实数，求证：当且仅当时等号成立. 练习 题型一：利用基本不等式比较大小 例1.若，，且，则，，，中最大的是（ ）. A. B. C. D. 答案：D. 解：∵，，且，∴ ∴四个数中最大的应从，中选择. 而 又∵，，∴ ∴即 ∴最大，故选D. 例析 解 因为所以，， 所以 当且仅当，即时等号成立. 因此，当时，取到最大值. 例 7 已知求的最大值. 练习 变1.已知,,则之间的大小关系是( ). A. B. C. D.不确定 答案：A. 解：∵ ∴ . 练习 方法技巧： 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的条件，合理拆项或配凑，在拆项与配凑的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的功能. 练习 题型二：利用基本不等式求最值 例2.(1)已知，求的最小值. 解：(1)∵， ∴ ∴ 当且仅当，即时，“=”成立. ∴的最小值为6. 练习 例2.(2)已知，求的最大值. 解：(2)∵， ∴， ∴ 当且仅当，即时，“=”成立. ∴的最大值为. 练习 例2.(3)已知，且求的最小值. 解：(3)∵，且 ∴ 当且仅当即时，“=”成立. ∴的最小值为. 练习 方法技巧： 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的简化以及等式中常数的调整，做到等价变形. (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. (4)注意“1”的妙用. 练习 变2.(1)已知，求的最大值. 解：(1)∵， ∴<0，0. ∴ 当且仅当得或(舍去)，即，“=”成立. ∴的最大值为. 练习 变2.(2)已知，且求的最小值. 解：(3)∵，且 ∴ ∴ 当且仅当即时，“=”成立. ∴的最小值为. 练习 题型三：利用基本不等式证明不等式 例3.已知均为正数且求证：. 证明：据题意，得： ∴ 当且仅当时，“=”成立. ∴. 练习 方法技巧： 1.可利用基本不等式证明题目的类型 所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，可尝试用基本不等式证明. 2.用基本不等式证明不等式的注意点 (1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立. (2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用. (3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组基本不等式模型，再使用. 练习 变3.已知求证：. 证明：∵ ∴利用基本不等式有： ∴ ∴. 课堂小结&作业 课堂小结： (1)重要不等式； (2)基本不等式. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P39的练习1题； (3)课本P41的习题2.1的5、11题. 谢谢学习 Thank you for learning $$