专题01三角形全等的五种常见类型-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

专题01三角形全等的五种常见类型 题型01全等三角形在证明线段和角相等中的应用 【典例分析】 【例1】（23-24八年级上·河北廊坊·期中）在四边形中，，，E为的中点，连接，，．    （1） ；（填“”“”或“”） （2） ． 【答案】 3 【分析】（1）根据同角的余角相等，得到，即可。 （2）延长、交于点F，证明，得出，，求出，证明，得出． 本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线定义，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形。 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）延长、交于点F，如图所示：    ∵， ∴， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3 【例1-2】.如图，在四边形中，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】连接，证明，得出， 再证，即可． 【详解】连接，BD 在与中，， ∴， ， 在与中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，掌握全等三角形性质和判定是解题的关键． 【变式演练】 【变式1-1】.如图，在中，，在边上顺次取点，，使．作，，分别与，的延长线交于点，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据推出，根据，，得出，结合，利用证明，即可得出，熟练掌握利用证明三角形全等是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1-2】．（2023八年级·山东济南·期中）如图，在与中，点，在线段上，，，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．由“”可证，可得结论． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 【变式1-3】（23-24八年级上·广东阳江·期末）如图1，已知：，点A、B在的边上，，点D为直线上一动点，连接，过点A作，且，作，垂足为F． (1)当点D在线段上时，证明：； (2)如图2，当点D在线段延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，作点E关于直线的对称点，连接、，与直线交于点H，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能熟练应用三角形全等证明线段相等是解题的关键．（1）根据“同角的余角相等” 证明，再根据 “AAS”证明即可； （2）类比（1）的方法证明即可； （3）延长交的延长线于点，利用“ASA”证明即可得证． 【详解】（1）证明：，， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ． （2）解：结论成立． ， ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． （3）证明：如图： 如图，延长交的延长线于点， ，， ， ，， ， ， 又 E、关于直线对称， ， ， 、、三点共线， 由（2）可得， ，， ， 即， ，， ， ，， 在和中 ． 题型02全等三角形在证明线段的和差关系中的应用 【典例分析】 【例2-1】（22-23八年级上·广东潮州·阶段练习）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析，见解析； (2)． 【分析】（1）由已知推出，因为，，推出，根据即可得到答案； 由得到，，即可求出答案； （）与（）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案， 本题考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； 证明：由（）知：， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【例2-2】（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）已知四边形中，，点在边上，连接，． (1)如图1，若平分，求证：； (2)如图2，若为中点，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，过点作的垂线构造全等三角形是解题的关键． （1）过点作于，利用证明，得到，再利用证明，得到，即可解决问题； （2）过点作于，利用证明，得到，再利用证明，得到，即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图1，过点作于， 则， 在和中， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：如图2，过点作于， 则， 在和中， ， ， ， 为中点， ， ， 在和中， ， ， ， 平分 【变式演练】 【变式2-1】 已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作，使，连接BD，CE． （1）如图①，若，，，求证； （2）如图②，若，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【详解】 （1）证明：如图①，∵D，A，E三点都在直线m上，∠BAC＝90°， ∴∠BAD＋∠CAE＝90°， ∵BD⊥m，CE⊥m， ∴∠ADB＝∠CEA＝90°， ∴∠BAD＋∠ABD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）； （2）DE＝BD＋CE．理由如下： 如图②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC， ∴由三角形内角和及平角性质，得： ∠BAD＋∠ABD＝∠BAD＋∠CAE＝∠CAE＋∠ACE， ∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（ASA）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AD＋AE＝BD＋CE． 【变式2-2】（2023秋•乐亭县期中）已知，在中，，，，三点都在直线上，且， （1）如图①，若，则与的数量关系为 　 　，与的数量关系为 　　 ； （2）如图②，判断并说明线段，与的数量关系； （3）如图③，若只保持，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得，； （2）由（1）同理可得，得，，可得答案； （3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题． 【解答】解：（1）， ， ， ，， ， ，， 故答案为：，； （2）， 由（1）同理可得， ，， ； （3）存在，当时， ，， ； 当时， ，， ， 综上：或． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 【变式2-3】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰中，，，点为线段上一动点（不与点B重合），且．    (1)连接交于点，设． ①当时，如图1，则______． ②当时，如图2，若，求的长． (2)如图3，作交的延长线于点，交于点，连接，求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据条件作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）①证即可求解；②过点作于，证，再证，可求． （2）在上截取，连证，再证，即可求证． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： ②过点作于，如图所示：    ∵，， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ （2）解：在上截取，连，如图所示：    ∵，，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ 题型03全等三角形在证明线段的倍分关系中的应用 【典例分析】 【例3】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，平分交于点，，交的延长线于点.求证：.    【答案】见解析 【分析】延长，并交于，证，推出，证推出即可． 【详解】证明：延长，并交于，    平分，， ，， 在和中 ， ，，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，添加辅助线构造全等三角形是关键． 【变式演练】 【变式3-1】 如图，在中，，，的平分线交于，的延长线于点，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，先证明，得出，证明得出，进而即可得证． 【详解】证明：如图所示，延长、相交于点． ， ． 又， ， 在和中 ， ． 【变式3-2】（23-24八年级上·重庆垫江·阶段练习）如图，是的角平分线，,，交其延长线于点，求证： 【答案】证明见详解 【详解】证明：如图延长，，交于点F 交其延长线于点 是的角平分线 在和中 ， 又 在和中 【变式3-3】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，交x轴于点C． (1)求证：； (2)如图2，，求证：； (3)如图3，延长交y轴于点，点N为x轴上一点，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的度数为 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定；倍长中线法构全等； （1）过A作于N，过B作于M，根据即可证明，再由全等三角形的性质证明即可． （2）在x轴正半轴上截取，连接，则，先证，由全等三角形的性质和同角的补角相等可证，再证，得，进而可证； （3）过A作轴于P，轴于T，交x轴于Q，先证，可得，再证，可得，进而可得，再由互余关系求解即可． 【详解】（1）证明：过A作于N，过B作于M，则， ， ， 在和中， ， ， ， （2）在x轴正半轴上截取，连接，则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）过A作轴于P，轴于T，交x轴于Q， ， ， 轴， ， 轴， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 题型04全等三角形在证明线段位置关系中的应用 【典例分析】 【例4】（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，，，，图中、有怎样的数量与位置关系？并证明你的结论． 【答案】，；证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，首先根据已知可证得，再根据全等三角形的判定定理，即可证得，可得，，据此可证得． 【详解】解：，， 理由如下：如图所示，设交于点，交于点， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，，F是的中点，连接并延长交于点G．    (1)用等式表示线段与的数量关系，并证明； (2)写出线段与的位置关系，并证明． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】（1）延长至H，使，连接．证明．得到，推出．再证明，得到，由此得到结论． （2）由得到，推出，进而得到，证得． 【详解】（1）证明：延长至H，使，连接．    ∵F是的中点， ∴． 在和中， ∴． ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）． 证明：∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法正确三角形全等，正确掌握三角形全等的判定定理是解题的关键 【变式4-2】（22-23八年级下·江西景德镇·期中）如图在中，为锐角，点D在射线上，以为一边在右侧作正方形．    (1)如果，， ①当点D在线段 (不含端点)上时，如图1，则线段与的位置关系是_____ ②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立?并说明理由． (2)如果，是锐角，点D在线段 (不含端点)上，如图3．当满足什么条件时，？并说明理由． 【答案】(1)①；②、①中的结论仍然成立，详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质得出，再证明，得出，进而可得出结论；②先证明，再证明，得出，进而可得出结论； （2）当时，，作，先证明，再得出，证明，得出，进而可得出结论． 【详解】（1）①正方形中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：； ②、①中的结论仍然成立，证明如下： ∵， ∴，.即， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）当时，， 作，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，掌握判定两个三角形全等的一般方法是解答本题的关键 【变式4-3】（23-24八年级上·广东惠州·期中）综合探究：如图1，是等腰三角形，，，过点B作于点C，在上截取，连接并延长交于点P；    (1)求证：； (2)求证：． (3)如图2，将绕着点C旋转一定的角度，是否还与全等？那么与的位置关系是否发生变化？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，不发生变化，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识点．掌握全等三角形的判定定理内容是解题关键． （1）由条件推出，即可求证； （2）由推出，即可求证； （3）根据证即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）解：，不发生变化，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 题型05全等三角形在求角的度数中的应用 【典例分析】 【例5-1】（22-23八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，和分别平分和，和相交于． （1）的度数为 ． （2）若，则线段的长为 ．    【答案】 /120度 8 【分析】（1）利用，角平分线的定义，即可得出答案； （2）由题中条件可得，进而得出，通过角之间的转化可得出，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， 分别平分， ， ； 故答案为：； （2）如图，在上截取，连接．    平分， 在和中 ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，根据在上截取，得出是解题关键 【例5-2】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知：如图，，，．    (1)当，时，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和，即可． （1）根据三角形内角和为，，求出的角度，再根据三角形的内角和，求出，根据全等三角形的判定，则，则，最后根据是三角形的外角和，即可； （2）由（1）得，根据全等三角形的判定，即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵． （2）由（1）得，， 在和中， ， ∴ 【变式演练】 【变式5-1】（22-23八年级上·河北唐山·期中）如图，已知：，，，，求的度数．    【答案】 【分析】先证得到，结合三角形内外角关系求解即可得到答案； 【详解】解：在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：； 【点睛】本题考查三角形全等的性质与判定，三角形内外角关系，解题的关键是根据三角形全等得到角度关系． 【变式5-2】（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，已知为的角平分线，延长到E，使得，连接，若，且． (1)求证：平分； (2)求的取值范围； (3)若延长相交于点H，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)60° 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质． （1）在上截取，连接，证明，得到，进而证明，即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，，即可得出结果； （3）根据等角的补角相等，对顶角相等，全等三角形的对应角相等，推出，根据周角为，平角为，推出，，进而得到，即可得出结果． 解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）证明：在上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）由（2）知：， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 【变式5-3】（23-24八年级上·福建南平·期中）已知：如图1，在和中，，，． (1)请说明． (2)如图2，连接和，，与分别交于点M和N，，求的度数． (3)在（2）的条件下，若，请直接写出的度数． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）因为，都加上相同一个角，即，通过“”即可证明； （2）根据全等三角形的性质，得，，再根据三角形内角和进行列式，等量代换，得，则，根据等边对等角以及三角形内角和，得，即可求解； （3）连接，通过“”证明，得到，结合，得，根据等边对等角以及三角形内角和，得，进而求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴； （2）解：由（1）知， 则，， 在和中， ∵，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接， 由图1的得图2的， 而，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ 由（2）知， ∴． 【点睛】本题为三角形综合题，涉及到三角形全等的判定与性质、等边对等角、三角形的内角和，外角的性质等，属于几何综合题，综合性强，难度较大 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01三角形全等的五种常见类型 题型01全等三角形在证明线段和角相等中的应用 【典例分析】 【例1】（23-24八年级上·河北廊坊·期中）在四边形中，，，E为的中点，连接，，．    （1） ；（填“”“”或“”） （2） ． 【例1-2】.如图，在四边形中，，，．求证：． 【变式演练】 【变式1-1】.如图，在中，，在边上顺次取点，，使．作，，分别与，的延长线交于点，．求证：．    【变式1-2】．（2023八年级·山东济南·期中）如图，在与中，点，在线段上，，，，求证：．    【变式1-3】（23-24八年级上·广东阳江·期末）如图1，已知：，点A、B在的边上，，点D为直线上一动点，连接，过点A作，且，作，垂足为F． (1)当点D在线段上时，证明：； (2)如图2，当点D在线段延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，作点E关于直线的对称点，连接、，与直线交于点H，求证：． 题型02全等三角形在证明线段的和差关系中的应用 【典例分析】 【例2-1】（22-23八年级上·广东潮州·阶段练习）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长． 【例2-2】（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）已知四边形中，，点在边上，连接，． (1)如图1，若平分，求证：； (2)如图2，若为中点，求证：平分． 【变式演练】 【变式2-1】 已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作，使，连接BD，CE． （1）如图①，若，，，求证； （2）如图②，若，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【变式2-2】（2023秋•乐亭县期中）已知，在中，，，，三点都在直线上，且， （1）如图①，若，则与的数量关系为 　 　，与的数量关系为 　　 ； （2）如图②，判断并说明线段，与的数量关系； （3）如图③，若只保持，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由． 【变式2-3】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰中，，，点为线段上一动点（不与点B重合），且．    (1)连接交于点，设． ①当时，如图1，则______． ②当时，如图2，若，求的长． (2)如图3，作交的延长线于点，交于点，连接，求证：． 题型03全等三角形在证明线段的倍分关系中的应用 【典例分析】 【例3】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，平分交于点，，交的延长线于点.求证：.    【变式演练】 【变式3-1】 如图，在中，，，的平分线交于，的延长线于点，求证： 【变式3-2】（23-24八年级上·重庆垫江·阶段练习）如图，是的角平分线，,，交其延长线于点，求证： 【变式3-3】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，交x轴于点C． (1)求证：； (2)如图2，，求证：； (3)如图3，延长交y轴于点，点N为x轴上一点，，求的度数（用含的式子表示）． 题型04全等三角形在证明线段位置关系中的应用 【典例分析】 【例4】（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，，，，图中、有怎样的数量与位置关系？并证明你的结论． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，，F是的中点，连接并延长交于点G．    (1)用等式表示线段与的数量关系，并证明； (2)写出线段与的位置关系，并证明． 【变式4-2】（22-23八年级下·江西景德镇·期中）如图在中，为锐角，点D在射线上，以为一边在右侧作正方形．    (1)如果，， ①当点D在线段 (不含端点)上时，如图1，则线段与的位置关系是_____ ②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立?并说明理由． (2)如果，是锐角，点D在线段 (不含端点)上，如图3．当满足什么条件时，？并说明理由． 【变式4-3】（23-24八年级上·广东惠州·期中）综合探究：如图1，是等腰三角形，，，过点B作于点C，在上截取，连接并延长交于点P；    (1)求证：； (2)求证：． (3)如图2，将绕着点C旋转一定的角度，是否还与全等？那么与的位置关系是否发生变化？说明理由． 题型05全等三角形在求角的度数中的应用 【典例分析】 【例5-1】（22-23八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，和分别平分和，和相交于． （1）的度数为 ． （2）若，则线段的长为 ．    【例5-2】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知：如图，，，．    (1)当，时，求的度数； (2)求证：． 【变式演练】 【变式5-1】（22-23八年级上·河北唐山·期中）如图，已知：，，，，求的度数．    【变式5-2】（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，已知为的角平分线，延长到E，使得，连接，若，且． (1)求证：平分； (2)求的取值范围； (3)若延长相交于点H，求的度数． 【变式5-3】（23-24八年级上·福建南平·期中）已知：如图1，在和中，，，． (1)请说明． (2)如图2，连接和，，与分别交于点M和N，，求的度数． (3)在（2）的条件下，若，请直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$