精品解析：浙江省杭师大附2023-2024学年高二下学期期中数学试题

杭师大附中2023学年第二学期高二年级期中考试 高二数学试卷 本试题满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等差数列满足，则（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线 的焦点是（ ） A. B. C. D. 4. 抛掷一枚骰子，当出现6点时，就说试验成功，则在30次试验中成功的次数X的均值为（ ） A. 8 B. 10 C. 5 D. 6 5. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 10 B. 5 C. D. 6. 正方体的棱长为1，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 7. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有两组样本数据：；.其中，则这两组样本数据的（ ） A. 样本平均数相同 B. 样本中位数相同 C. 样本方差相同 D. 样本极差相同 10. 已知方程在上有两个不同的实根，则实数a的取值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线是该抛物线上两点，为坐标原点，为焦点，则下列结论正确的是（ ） A. 若直线过点，则 B. 若，则线段的中点到准线的距离为1 C. 若，则的最小值为 D. 若 ，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆，则圆心坐标为_____________. 13. 如果一个三位正整数如“”满足，且，则称这样的三位数为“好数”（如201，325等），那么由数字1，2，3，4，5能组成_____________个无重复数字的“好数”. 14. 如图，在三棱锥 中， ，平面ABC，于点E，M是AC的中点， ，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求 的单调增区间； （2）求在点处的切线方程. 16. 如图，正方体. （1）求证：面； （2）若E为线段 的中点，求平面与平面 所成锐二面角的大小. 17. “绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚.近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A充电桩进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表，并计算得. A充电桩投资金额/百万元 3 4 6 7 9 10 所获利润/百万元 1.5 2 3 4.5 6 7 （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，求其线性回归方程； （2）若规定所获利润y与投资金额x的比值不低于，则称对应的投入额为“优秀投资额”，记2分，所获利润与投资金额的比值低于且大于，则称对应的投入额为“良好投资额”，记1分，所获利润与投资金额的比值不超过，则称对应的投入额为“不合格投资额”，记0分，现从表中6个投资金额中任意选2个，用X表示记分之和，求X的分布列及数学期望. 附：对于一组数据其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 18. 已知各项均为正数的数列满足，且成等差数列，成等比数列. （1）求的值； （2）证明：数列为等差数列； （3）记，求数列的前n项和为. 19. 已知动圆P过点，并且与圆 外切，设动圆的圆心P的轨迹为C. （1）直线 与圆相切于点Q，求的值； （2）求曲线C的方程； （3）过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点 ，直线 交于点M，证明直线 经过定点，并求出该定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭师大附中2023学年第二学期高二年级期中考试 高二数学试卷 本试题满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等差数列满足，则（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为 ，由可得， 故公差， 故， 故选：A 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为 ，由直线的方程可得其斜率，则有，结合θ的范围即可得答案. 【详解】解：根据题意，设直线的倾斜角为θ， 因直线的方程为，故其斜率 ，则有， 又由，则， 故选：B. 3. 抛物线 的焦点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据抛物线的焦点坐标的公式即可求解. 【详解】 的焦点是, 故选：D 4. 抛掷一枚骰子，当出现6点时，就说试验成功，则在30次试验中成功的次数X的均值为（ ） A. 8 B. 10 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式即可求解. 【详解】一枚骰子，出现6点的概率为， 则在30次试验中成功的次数X服从, 故均值为, 故选：C 5. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二项展开式的通项，即可求解. 【详解】的通项公式， 令 ，得的项的系数是. 故选：C 6. 正方体的棱长为1，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【详解】, 故选：A 7. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出圆台上下底面半径，圆台的高，代入圆台的体积计算公式即可求解. 【详解】设圆台上下底面的半径分别为，由题意可知，解得 ， ，解得： ，作出圆台的轴截面，如图所示： 图中，， 过点向作垂线，垂足为 ，则， 所以圆台的高， 则上底面面积，，由圆台的体积计算公式可得： ， 故选：. 8. 已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出的值，利用，根据向量模的计算即可求得答案. 【详解】由题意椭圆，为两个焦点，可得， 则①，即， 由余弦定理得， ，故，② 联立①②，解得：， 而，所以， 即， 故选：B 【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O为的中点，从而可以利用向量知识求解. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有两组样本数据：；.其中，则这两组样本数据的（ ） A. 样本平均数相同 B. 样本中位数相同 C. 样本方差相同 D. 样本极差相同 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，求出两组数据的平均数、方差、中位数和极差，依次分析选项即可得答案． 【详解】根据题意，对于数据，， ，， 假设， 设其平均数为、中位数为、方差为、极差为， 则，， ， ， 又由，2， ，， 设其平均数为、中位数为、方差为、极差为， 则数据，， ，的平均数为， 中位数， ， 方差， 故这两组样本数据的方差相同、极差也相同，平均数和中位数不同． 故选：CD． 10. 已知方程在上有两个不同的实根，则实数a的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】首先由方程转化为，，转化为函数与的交点问题，利用导数分析函数的图象，利用数形结合分析问题. 【详解】由，得，， 令，， 当时，，单调递减， 当时， ，单调递增， 所以当时，函数取得最小值，，， 与有2个交点时，，满足题意的为BD. 故选：BD 11. 已知抛物线是该抛物线上两点，为坐标原点，为焦点，则下列结论正确的是（ ） A. 若直线 过点，则 B. 若，则线段 的中点到准线的距离为1 C. 若，则的最小值为 D. 若 ，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A选项设，与抛物线联立利用韦达定理即可判断，对B选项利用抛物线定义和梯形中位线即可判断，对C选项，利用抛物线定义和基本不等式即可得到最值，对D选项，设直线 的方程为，联立抛物线方程得到一元二次方程，根据韦达定理两根之积求出值，即求出直线所过定点，再结合面积表达式和基本不等式即可求出最值. 【详解】设直线 的方程为， 联立得， A错误. ， 则， 线段 的中点到准线的距离为B正确. 过焦点，即， 由A选项可得， 当且仅当，且，即时等号成立，C正确. ，, 相乘得，联立上式解得， 设直线 的方程为，联立 ，得， 直线 过定点，则，当且仅当时等号成立，正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆，则圆心坐标为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用圆的标准方程写出圆的圆心坐标即可 【详解】圆是标准方程，则圆心坐标为， 故答案为： 13. 如果一个三位正整数如“”满足，且，则称这样的三位数为“好数”（如201，325等），那么由数字1，2，3，4，5能组成_____________个无重复数字的“好数”. 【答案】20 【解析】 【分析】讨论首位分别为1、2、3、4、5，再依次安排中间位置上的数字，并求出对应好数的个数，最后加总即可. 【详解】当首位为2，中间位置为1有3个好数； 当首位为3，中间位置为1有3个好数；中间位置为2有2个好数； 当首位为4，中间位置为1有3个好数；中间位置为2有2个好数；中间位置为3有1个好数； 当首位为5，中间位置为1有3个好数；中间位置为2有2个好数；中间位置为3有1个好数； 综上，共有20个无重复数字的好数. 故答案为：20 14. 如图，在三棱锥 中， ，平面ABC，于点E，M是AC的中点， ，则的最小值为______． 【答案】##-0.125 【解析】 【分析】根据给定条件，证明平面PAB，将用表示出，再结合空间向量数量积的运算律求解作答. 【详解】连接 ，如图， 因平面ABC，平面ABC，则，而 ，，平面PAB， 则平面PAB，又 平面PAB，即有， 因M是AC的中点，则，又， ，当且仅当取“=”， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求 的单调增区间； （2）求在点处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调增区间； （2）利用导数的几何意义求切线方程. 【小问1详解】 ，令，得， 由，得， 所以函数的单调增区间是； 【小问2详解】 ， 所以函数在处的切线方程为， 即. 16. 如图，正方体. （1）求证：面； （2）若E为线段 的中点，求平面与平面 所成锐二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定即可得证 （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面 的法向量，利用公式，求解即可 【小问1详解】 因为正方体， 所以四边形是正方形，所以， 又平面，平面，所以， 又，是平面内的两条相交直线， 所以面 【小问2详解】 如图，以A为原点，以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设正方体的边长为a，又E为线段 的中点， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令 ，则，所以， 设平面 的法向量为， ，令， ，所以， 设平面与平面 所成锐二面角的大小为 . 所以，又，所以 17. “绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚.近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A充电桩进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表，并计算得. A充电桩投资金额/百万元 3 4 6 7 9 10 所获利润/百万元 1.5 2 3 4.5 6 7 （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，求其线性回归方程； （2）若规定所获利润y与投资金额x的比值不低于，则称对应的投入额为“优秀投资额”，记2分，所获利润与投资金额的比值低于且大于，则称对应的投入额为“良好投资额”，记1分，所获利润与投资金额的比值不超过，则称对应的投入额为“不合格投资额”，记0分，现从表中6个投资金额中任意选2个，用X表示记分之和，求X的分布列及数学期望. 附：对于一组数据其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 4 P 数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据回归直线方程的公式求解即可； （2）先确定“优秀投资额”，“良好投资额”，“不合格投资额”的数量，然后确定X的可能取值，利用概率公式求解分布列，然后求出期望. 【小问1详解】 根据获得的利润统计数据表， 可得，， 所以， ， 所以y关于x的线性回归方程为； 【小问2详解】 由题可知，“优秀投资额”有2个，“良好投资额”有1个，“不合格投资额”有3个. X的可能取值为4，3，2，1，0， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 数学期望. 18. 已知各项均为正数的数列满足，且成等差数列，成等比数列. （1）求的值； （2）证明：数列为等差数列； （3）记，求数列的前n项和为. 【答案】（1）9，6 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件可得和，然后令代入即可求得的值 （2）根据等差中项及等比中项的性质化简后，由等差中项可判断数列为等差数列 （3）由数列为等差数列求出，代入条件可求出，利用裂项相消法求和即可 【小问1详解】 因为成等差数列，所以， 当时，，即，所以， 因为成等比数列，所以， 当时，，即，所以 【小问2详解】 由条件可得，且，又， 故，代入中，得时， 有，即， 所以数列为等差数列 【小问3详解】 由（1）（2）知数列为等差数列且， 所以数列是首项为2，公差1为的等差数列， 得，即， 故，即， 所以时，，且也符合上式，故， 则， 数列的前n项和为， 19. 已知动圆P过点，并且与圆 外切，设动圆的圆心P的轨迹为C. （1）直线 与圆相切于点Q，求的值； （2）求曲线C的方程； （3）过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点 ，直线 交于点M，证明直线 经过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2），； （3）证明：当直线的斜率不存在时，，， 直线 ，当，得，即，直线 ， 此时直线过点， 当直线的斜率存在时，设直线，，， 直线，当时，， ， 联立，得 ， ，，， 下面证明直线 经过点，即证，， 把，代入整理得 ， 即 ， 所以直线 经过点， 综上可知，直线 经过定点，定点坐标为. 【解析】 【分析】（1）利用直线与圆相切的几何性质，结合勾股定理，即可求解； （2）由圆与圆的位置关系，构造双曲线的定义，即可求解； （3）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，并联立直线与双曲线方程，利用韦达定理表示，即可求解定点. 【小问1详解】 由直线与圆的位置关系可知， ， 所以点； 【小问2详解】 由题意可知，设动圆半径为 ， ， ， ， 即 ， 所以点是以为焦点的双曲线的右支， ， ，则 ， 所以曲线的方程为，； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意 的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $