专题01 一元二次方程（基础类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

专题01一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、判断一元二次方程 【解惑】下列方程中， 为一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中一定是关于x的一元二次方程的有 （把所有正确选项的序号都填上） 3．下列方程中，属于一元二次方程的有 （填题号）． ①；②；③； ④；⑤． 类型二、一元二次方程的一般形式 【解惑】已知关于x的一元二次方程 的常数项为0，则k的值为(   ) A． B．2 C．2或 D．4或 【融会贯通】 1．若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（　　） A． B． C． D． 2．方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 3．一元二次方程的二次项系数和常数项的和是 . 类型三、根据判别式判断方程的根 【解惑】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．若关于的一元二次方程的判别式的值为，则 ． 3．若点在第二象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是 . 类型四、根与系数的关系求解 【解惑】一元二次方程满足，且方程有一个实数根为1，则另一个根是（    ） A．1 B． C．0 D． 【融会贯通】 1．已知方程的两根是，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知是关于的方程的两个根，则的值 ． 3．方程的两根分别为，，且，则 ． 类型五、解方程——直接开平方法 【解惑】（1）；          （2）． 【融会贯通】 1．解方程： (1)； (2)． 2．求x的值： 3．用适当的方法解方程： 类型六、解方程——配方法 【解惑】解方程：． 【融会贯通】 1．解方程：． 2．解方程：． 3．用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 类型七、解方程——公式法 【解惑】解方程∶ 【融会贯通】 1．解方程：． 2．用合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 3．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型八、解方程——因式分解法 【解惑】解一元二次方程：． 【融会贯通】 1．解方程： (1)； (2)． 2．用适当的方法解方程． (1)； (2)． 3．用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 类型九、一元二次方程的应用——数字问题 【解惑】一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数． 【融会贯通】 1．两个连续整数的积为，求这两个整数． 2．2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）． 3．第十四届国际数学教育大会（1CME－14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME－14的举办年份． (1)八进制数3747换算成十进制数是__________； (2)小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是80，求n的值． 类型十、一元二次方程的应用——平均变化率问题 【解惑】随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； (2)如果平均每人每月最多可投递快递万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 【融会贯通】 1．随着产品质量的提升和国际市场的开拓，中国新能源汽车的出口潜力巨大．2021年，我国新能源汽车出口约30万辆；2023年，我国新能源汽车出口量约120万辆．求从2021年到2023年，我国的新能源汽车出口量的年平均增长率． 2．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架． (1)求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率； (2)该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本是200元，生产1架B型无人机的成本是300元，现要生产A、B两种型号的无人机共100架，其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍，公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？ 3．安庆市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2022年的单价是100元，现在的单价为81元． (1)求2022年到现在该品牌足球单价平均每年降低的百分率． (2)购买期间发现该品牌足球在两个体育用品店有不同的促销方案，店买十送一，店全场9折，通过计算说明到哪个店购买足球更优惠． 【一览众山小】 1．关于x的一元二次方程没有实数根，m可以为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中的杂质，经过两次过滤可使水中的杂质减少到原来的，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 4．若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 5．某经济开发区今年一月份工业产值是亿元，三月份工业产值达到了亿元，问二、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为，根据题意列方程为 ． 6．对于实数，，定义运算“※”：，例如：．若，则的值为 ． 7．（1）                     （2） 8．解方程： (1) (2) 9． 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为．即． 第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示． 第四步：将大正方形边长用含x的代数式表示为______．小正方形边长为常数______，长方形面积之和为常数______．由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程__________，两边开方可求得，．    (1)单选题：这一过程体现的数学思想是（      ） A．统计思想    B．化归思想    C．分类讨论思想  D．数形结合思想 (2)第四步中横线上应依次填入______，______，______，______； (3)请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程． 10．2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、判断一元二次方程 【解惑】下列方程中， 为一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 【融会贯通】 1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、当时，不是一元二次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中一定是关于x的一元二次方程的有 （把所有正确选项的序号都填上） 【答案】③④⑦ 【分析】本题考查的是一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解答此题的关键．根据一元二次方程的概念：含有一个未知数且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；据此即可判断得解． 【详解】解：①虽然是只含有一个未知数的整式，并且未知数的最高次数是2，但它不是等式，故不是方程； ②不是整式方程；不是一元二次方程； ③是整式方程，可整理为，符合一元二次方程的概念，故是一元二次方程； ④整理为，是一元二次方程； ⑤不一定是一元二次方程，因为当时，它不是一元二次方程，只有当时，它是一元二次方程； ⑥整理为，它是一元一次方程，不是一元二次方程； ⑦可整理为，因为不可能等于0，所以是一元二次方程； ⑧不是整式方程，不是一元二次方程． 答案：③④⑦ 3．下列方程中，属于一元二次方程的有 （填题号）． ①；②；③； ④；⑤． 【答案】②③⑤ 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】根据一元二次方程的定义，得②③⑤是一元二次方程，①④不是， 故答案为： ②③⑤． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数的项的最高次数是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 类型二、一元二次方程的一般形式 【解惑】已知关于x的一元二次方程 的常数项为0，则k的值为(   ) A． B．2 C．2或 D．4或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，根据题意，得到且，求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选A． 【融会贯通】 1．若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式．要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式，根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：， 则， ∴， 由题意得：，， 解得：，， 故选：B． 2．方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．去括号合并同类项整理即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为： 3．一元二次方程的二次项系数和常数项的和是 . 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项；c叫做常数项可得答案． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数和常数项分别为3，， 即， 故答案为： 类型三、根据判别式判断方程的根 【解惑】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据题意，令，建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意： 解得：， 故选：B． 【融会贯通】 1．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴有两个相等的实数根． 故选：A． 2．若关于的一元二次方程的判别式的值为，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，熟练掌握判别式公式解题的关键．根据题意可知，，，，代入，即可解得值． 【详解】解：根据题意可知，，，， ， ． 3．若点在第二象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是 . 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了根的判别式以及点的坐标，由点P在第二象限，可得出，，进而可得出，结合，进而可得出关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 【详解】 解：点在第二象限，，， ， ， 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 类型四、根与系数的关系求解 【解惑】一元二次方程满足，且方程有一个实数根为1，则另一个根是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一根为m， 则，解得：， 故选：D． 【融会贯通】 1．已知方程的两根是，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键；由根与系数的关系得，再直接代入即可求解． 【详解】解：∵的两根是， ， ． 故选：D． 2．已知是关于的方程的两个根，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系求解即可． 【详解】是关于的方程的根 故答案为：． 3．方程的两根分别为，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵方程的两根分别为，，， ∴，， 解得：， ∴． 故答案为：． 类型五、解方程——直接开平方法 【解惑】（1）；          （2）． 【答案】（1），;（2）， 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）先把方程化为的形式，运用直接开平方法即可求解； （2）原方程可变形为，运用直接开平方法即可求解． 【详解】解：（1）由，得， 两边直接开平方，得 ∴原方程的解是，． （2）移项，得． 两边直接开平方，得． ∴原方程的解是， 【融会贯通】 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程， （1）采用因式分解法作答即可； （2）两边同时开方转化为一元一次方程，即可作答． 【详解】（1）， 方程左边分解因式，得 所以或， 解得，； （2）， 开平方，得，或， 解得，． 2．求x的值： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，方法有直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法，熟练掌握几种解法是解题的关键． 本题采用直接开平方法直接解方程即可． 【详解】解： 或 解得：或 ∴原方程的解为：，． 3．用适当的方法解方程： 【答案】，. 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟知方程特点选择适当的解法是正确解决本题的关键，用直接开平方法或因式分解法都可以． 【详解】解： 开方得，或 解得，． 类型六、解方程——配方法 【解惑】解方程：． 【答案】 【分析】此题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解本题的关键． 方程利用配方法求出解即可 【详解】解：方程整理得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得． 【融会贯通】 1．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握配方法是解题关键． 【详解】解： 解得：． 2．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，先化为一般式，再利用配方法求解即可． 【详解】 ， ∴，． 3．用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， ， ． 类型七、解方程——公式法 【解惑】解方程∶ 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解法是解决问题的关键．本题中，运用公式法求解即可． 【详解】解：． ， ∴原方程的根为． 【融会贯通】 1．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握公式法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 2．用合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法、公式法，熟练掌握用这两种方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 【详解】（1）解：； 整理得：， ， 或， ，； （2）解：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 3．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答； （3）利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答； （4）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ， 解得， （2）解： ， 解得， （3）解：，， 解得， （4）解： ， ， ， 解得， 类型八、解方程——因式分解法 【解惑】解一元二次方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键．直接运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 所以． 【融会贯通】 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查一元二次方程的解法． （1）先移项，然后直接开平方即可； （2）左边先进行因式分解，然后令每个因式为0即可． 【详解】（1）解： 或 或； （2） 或 或． 2．用适当的方法解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法及因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； 【详解】（1）解： 移项，得：， 配方，得：， 开方，得：， 解得：，． （2）解： 移项，得：， 因式分解，得：， 即：或， 解得：，． 3．用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）首先整理成一般形式，再用因式分解法解方程即可； （2）方程为一般形式，左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． （3）用直接开平方法解方程即可； （4）移项，提取公因式，即可得到，再解两个一元一次方程即可． 【详解】（1）；                                                                     ∴； （2） ； ∴； （3）；                                                                       ∴ （4） ∴． 类型九、一元二次方程的应用——数字问题 【解惑】一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数． 【答案】257 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．正确理解数字与每个位上的数字的关系是关键．设该三位数的百位数字是，则十位数字是，个位数字是．所以根据“这个三位数比个位数字的平方的5倍大12”列出方程． 【详解】解：设该三位数的百位数字是为正整数），则十位数字是，个位数字是．则： ， 整理，得：， 所以． 所以或， 解得，或（舍去）， 则，， 则该三位数是257． 答：这个数是257． 【融会贯通】 1．两个连续整数的积为，求这两个整数． 【答案】这连个整数分别为或． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两个连续的整数分别为和，由题意可得方程，解方程即可求解，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这两个连续的整数分别为和， 则， 解得或， 这连个整数分别为或． 2．2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）． 【答案】这个最小数为5 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为x，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为x，则最大数为，根据题意， 得． 解得或（不符合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 3．第十四届国际数学教育大会（1CME－14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME－14的举办年份． (1)八进制数3747换算成十进制数是__________； (2)小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是80，求n的值． 【答案】(1) (2)7． 【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （2）根据进制换算成十进制的方法可列出关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）根据题意有：， 整理得：， 解得，（负值舍去）， 故的值为． 【点睛】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键． 类型十、一元二次方程的应用——平均变化率问题 【解惑】随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； (2)如果平均每人每月最多可投递快递万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 【答案】(1)该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为 (2)至少还需增加2名业务员 【分析】本题考查了一元二次方程的应用： （1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，根据今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和万件即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据3月份完成投递的快递总件数结合完成投递的快递总件数即可算出今年4月份的快递投递总件数，再根据投递快递总件数每人投递件数人数即可算出该公司现有的21名快递投递业务员最多能够完成的任务量，二者比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，由题意，得 ， 解得：，（舍去）． 答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为． （2）4月：（万件）， ， 该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务． ， 至少还需增加2名业务员． 【融会贯通】 1．随着产品质量的提升和国际市场的开拓，中国新能源汽车的出口潜力巨大．2021年，我国新能源汽车出口约30万辆；2023年，我国新能源汽车出口量约120万辆．求从2021年到2023年，我国的新能源汽车出口量的年平均增长率． 【答案】从2021年到2023年，我国的新能源汽车出口量的年平均增长率为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意，可知2022年我国新能源汽车出口量约万辆，则2023年我国新能源汽车出口量约万辆，据此列出方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设新能源汽车出口量的年平均增长率为， 根据题意，可得， 解得（不合题意，舍去），． 答：从2021年到2023年，我国的新能源汽车出口量的年平均增长率为． 2．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架． (1)求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率； (2)该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本是200元，生产1架B型无人机的成本是300元，现要生产A、B两种型号的无人机共100架，其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍，公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)公司生产型号无人机75架，生产型号无人机25架成本最小 【分析】（1）直接利用连续两次平均增长率求法得出等式求出答案； （2）根据题意求出的取值范围，再利用一次函数增减性得出答案． 此题主要考查了一元二次方程应用以及一次函数应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，找到产量前后变化的平衡关系，列出方程，解答即可． 【详解】（1）解：设该公司生产型无人机每月产量的平均增长率为，根据题意可得： ， 解得：，（不合题意舍去）， 答：该公司生产型无人机每月产量的平均增长率为； （2）解：设生产型号无人机架，则生产型号无人机架，需要成本为元，依据题意可得： ， 解得：， ， ， 当的值增大时，的值减小， 为整数， 当时，取最小值，此时， ， 公司生产型号无人机75架，生产型号无人机25架成本最小． 3．安庆市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2022年的单价是100元，现在的单价为81元． (1)求2022年到现在该品牌足球单价平均每年降低的百分率． (2)购买期间发现该品牌足球在两个体育用品店有不同的促销方案，店买十送一，店全场9折，通过计算说明到哪个店购买足球更优惠． 【答案】(1) (2)去店购买足球更优惠 【分析】本题考查一元二次方程解应用题、有理数运算的实际运用等知识，读懂题意，列方程求解是解决问题的关键． （1）设2022年到现在该品牌足球单价平均每年降低的百分率为，根据题意，列方程求解即可得到答案； （2）根据题意，利用有理数运算求出在两个体育用品店购买足球花费，比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：设2022年到现在该品牌足球单价平均每年降低的百分率为， 依题意得， 解得（不合题意，舍去）， 答：2022年到现在年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为； （2）解：由店买十送一，得到实际买了（个）， 在店购买所需费用为（元）；在店购买所需费用为（元）； ∵， ∴去店购买足球更优惠． 【一览众山小】 1．关于x的一元二次方程没有实数根，m可以为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴四个选项中只有D选项符合题意， 故选D． 2．太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中的杂质，经过两次过滤可使水中的杂质减少到原来的，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，根据题意可知，过滤一次，杂质变为原来的，根据“经过两次过滤可使水中的杂质减少到原来的”可得方程． 【详解】解：由题意可得，， 故选：D． 3．用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：D． 4．若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2024 【分析】由m是方程的一个实数根，可得，进而可得，然后整体代入所求的式子当中求值即可． 本题主要考查了一元二次方程的根，及利用整体代入法求代数式的值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵m是方程的一个实数根， ， ， ． 故答案为：2024 5．某经济开发区今年一月份工业产值是亿元，三月份工业产值达到了亿元，问二、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为，根据题意列方程为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均每月增长的百分率为，根据题意列出方程即可，理解题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每月增长的百分率为， 根据题意得：， 故答案为：． 6．对于实数，，定义运算“※”：，例如：．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算以及实数的运算，根据，由，可得，据此求出的值即可．解题的关键是要明确“※”的运算方法．也考查了解一元二次方程． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 故答案为：． 7．（1）                     （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用因式分解法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】解：（1）， ， 或， 解得，； （2）， ， 或， 解得，． 8．解方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法和因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）用公式法求解一元二次方程即可； （2）用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ，，， ∴ ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ∴或 ∴，． 9． 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为．即． 第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示． 第四步：将大正方形边长用含x的代数式表示为______．小正方形边长为常数______，长方形面积之和为常数______．由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程__________，两边开方可求得，．    (1)单选题：这一过程体现的数学思想是（      ） A．统计思想    B．化归思想    C．分类讨论思想  D．数形结合思想 (2)第四步中横线上应依次填入______，______，______，______； (3)请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程． 【答案】(1)D (2)，2，12， (3)图见解析，， 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）根据题意，表示出大正方形的边长，小正方形的边长，长方形面积之和，再由大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和列出方程即可得到答案； （3）先将原方程变形，构造出一个长为，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为3，再用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，然后根据大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得出一个方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）∵用几何法对一元二次方程进行求解的方法， ∴这一过程体现的数学思想是数形结合思想 故选：D； （2）解：根据题意可得： 大正方形的边长为：， 小正方形的边长为：， 长方形面积之和为：， 大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和， ； （3）解：第一步：将原方程变形为，即， 第二步：构造成一个长为，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为3， 第三步：用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，如图所示，              第四步：将大正方形边长用含的代数式表示为， 小正方形边长为常数， 长方形面积之和为常数， 由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和， 得方程， 两边开方可求得，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 10．2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率是 (2)售价应降低20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率是，利用3月份的销售量月份的销售量月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低20元． 【详解】（1）设月平均增长率是， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率是． （2）设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又要尽量减少库存， ． 答：售价应降低20元． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$