7.3 复数的三角表示课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

复数的三角表示 法国数学家棣莫弗(1667—1754) 亚伯拉罕 棣莫弗,1667年5月26日生于法国维特里的弗朗索瓦的一个乡村医生之家,其父一生勤俭,以行医所得勉强维持家人温饱。棣莫弗自幼接受父亲的教育,稍大后进入当地一所天主教学校念书,这所学校宗教气氛不浓,学生们得以在一种轻松、自由的环境中学习,这对他的性格产生了重大影响。那时,学校不重视数学教育,但棣莫弗常常偷偷地学习数学。1684年,棣莫弗来到巴黎,幸运地遇见了法国杰出的数学教育家、热心传播数学知识的J 奥扎拉姆(Ozanam)。在奥扎拉姆的鼓励下,棣莫弗学习了欧几里得(Euclid)的《几何原本》(Ele-ments)及其他数学家的一些重要数学著作。1685年,棣莫弗与许多信仰新教的教友一道,参加了震惊欧洲的宗教骚乱,在这场骚乱中,他与许多人一起被监禁起来。正是在这一年,保护加尔文教徒的南兹敕令被撤销。随后,包括棣莫弗在内的许多有才华的学者由法国移住英国。从此,棣莫弗一直生活在英国,开始了他数学传奇的一生…… 1692年,棣莫弗拜会了英国皇家学会秘书E 哈雷(Halley),哈雷将棣莫弗的第一篇数学论文“论牛顿的流数原理”(On New-ton’s doctrine of fluxions)在英国皇家学会上宣读,引起了学术界的注意。1697年,由于哈雷的努力,棣莫弗当选为英国皇家学会会员。恰巧,欧拉也是英国皇家学会会员。我们的故事就从这里开始…… 棣莫弗 请按暂停键 欧拉的一封信 瑞士数学家欧拉(1707~1783) 1的n次方根有怎样的形式呢? 它们有什么样的性质? 请按暂停键 从特殊开始 从特殊开始 猜想1 1的n次方根是否可以用某个角来表示呢? 猜想1:单位圆上任意一点对应的复数都可以用角来表示? 猜想 请按暂停键 猜想 思考:任意的复数是否都可以角来表示呢? 其中 请按暂停键 结论 三角表示式 模 辐角 辐角 三角形式 代数表示式 代数形式 问题1:复数 的模是多少?辐角是什么? 结论1:任何一个不为0的复数的辐角有无限多个值,且这些值相差2 的整数倍. 请按暂停键 这些辐角之间有怎样的关系呢? 欧拉的规定 复数 的模为0,辐角任意. 结论 辐角的主值 结论2:任何一个不为0的复数的辐角 练习:写出下列复数的辐角主值. 复数的辐角的主值是唯一的! 请按暂停键 例题 例1:画出下列复数对应的向量,并把这些复数表示成三角形式. 分析:只要确定复数的一个模和辐角,就能将复数的代数形式转化为三角形式。 请按暂停键 例题 例2:将下列复数表示成代数形式. 求出复数的模和一个辐角 直接计算 的值 请按暂停键 思考 思考1:两个用三角形式表示的复数在什么条件下相等? 结论3:两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等. 请按暂停键 思考 思考2:如果复数 ,你能计算 并将结果表示成三角形式吗? 结论4: 即,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和. 请按暂停键 思考 思考3:由复数乘法运算的三角表示,你能得到复数乘法的几何意义吗? 结论5: 表示的复数就是积 ,这就是复数乘法的几何意义. 请按暂停键 例题 例3:已知 ,求 并把结果化为代数形式,作出几何解释. 请按暂停键 几何意义: 将向量 绕点O逆时针旋转 ,再将长度伸长为原来的2倍,这样得到一个长度为3,辐角为 的向量 ,即为积 所对应的向量. 例题 例4:如图,向量 对应的复数为 ,把 绕点 按逆时针方向旋转 ,得到 .求向量 对应的复数(用代数形式表示). 请按暂停键 思考 思考4:复数的除法运算是乘法运算的逆运算,根据复数乘法运算的三角表示,你能得出复数除法运算的三角表示吗? 即,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 请按暂停键 探究:类比复数乘法的几何意义,由复数除法运算的三角表示,你能得到复数除法的几何意义吗?请大家课后探究完成. 例题 例5:计算 ,并把结果化为代数形式. 请按暂停键 小结 模 辐角 辐角的主值 求出复数的模和一个辐角 直接计算 的值 复数的三角表示 感谢大家观看! 汇报人姓名 $$