7.1.1 数系的扩充和复数的概念课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

单/击/此/处/添/加/副/标/题/内/容 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 1 卡尔丹问题 卡尔丹 Cardano 16世纪意大利 “将10分成两部分，使两者的乘积等于40，这两部分分别是多少？” 负实数到底能不能开平方？如何开平方？ 负实数开平方的意义是什么？ 卡尔丹认为把答案写成： 创设情境 提出问题 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 2 需要 际 实 观 客 数 学 内 部 1 1 ？ 回顾历史，寻求启发 生活实践中 3 （4）方程 x2+1=0 在实数集中有解吗？ （1）方程 x+1=0 在自然数集中有解吗？ （2）方程 2x =1 在整数集中有解吗？ （3）方程 x2 = 2 在有理数集中有解吗？ 自然数集 加法 乘法 负整数 整数集 有理数集 实数集 ？ 加法 乘法 减法 加法 乘法 减法 除法(除数不 为0） 加法 乘法 减法 除法（除数不为0） 开方（正数） 无理数 分数 ？ 扩充的共同特点 （1）引入新数; （2）在新的数集中，原来的运算及其性质仍然适用，同时解决某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾. 人类认识数的范围是一步一步扩大的，数系的每一次扩充，一方面是由于描述和解决问题的需要，另一方面也是基于解决数学自身矛盾的需要. 4 类比创造，构建新知 探究 我们知道，方程x²+1=0在实数集中无解.联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗? 实数集的扩充就从引入平方等于-1的“新数”开始 5 依照这种思想，为了解决x²＋1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得 x=i是方程 x²十1=0的解，即使得 i²= -1. i是数学家欧拉(Leonhard Euler,1707-1783）最早引入的.它取自“imaginary”（想象的，假想的）一词的词头. i²= i•i. 6 把新引进的数 i 添加到实数集中，我们希望数 i 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律.那么,实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢? （1）把实数b与i相乘，结果记作bi ; （2）把实数a与bi相加，结果记作a+bi ; 所有实数以及 i 都可写成 a+bi 的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. 7 复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位. 全体复数所构成的集合C={a+bi | a,b∈R}叫做复数集. 复数的代数形式 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R). 其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部. 方程 x²＋1=0在复数集C中就有解x = i. 8 在复数集C={a+bi | a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di (a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi和c+di相等，当且仅当a=c，b=d. 即：a + bi = c + di ⇔ a = c，b = d. 我们判断两个复数是否相等，就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等！ 复数相等 【练习】已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为 ． 【解析】依题意，可得：x2－y2=0且2xy＝2， 即x=y=－1或x=y=1. 9 复数的分类 对于复数z = () 当且仅当b=0时，它是实数, 当且仅当b≠0时，它叫做虚数； 当且仅当a=0,b≠0时，它叫做纯虚数. 当且仅当a=b=0时，它是实数0; 复数 10 【练习】写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数. 【解析】 都是虚 数，它们的实部分别为 虚部分别是 并且其中只有 是纯虚数. 11 复数集C与实数集R之间有什么关系？ 虚数集 纯虚数集 注：虚数不能比较大小，只有相不相等；实数才能比较大小. 12 例1 当实数m取什么值时，复数 z=m+1+(m-1)i 是 下列数？ （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 【解析】(1) 当m-1=0时，即m=1时，复数 z 是实数； (2) 当m-1≠0时，即m≠1时，复数 z 是虚数； 当m+1=0,且m-1≠0时，即m= -1时，复数 z 是纯虚数. 13 数系扩充的基本规则 复数的基本概念 两个复数相等的含义 复数的分类 （1）引入新数;（2）在新的数集中，原来的运算及其性质仍然适用，同时解决某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾. 形如 (a,b∈R)的数叫做复数，其中 叫做虚数单位. 其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部. = ， 复数 小结提升 形成结构 14 布置作业 应用迁移 人教版A版 数学必修第二册 第70页练习1, 2 , 3. $$