2.2平方根（第二课时）课件 2024-2025学年 北师大版数学八年级上册

第二章　实　数 2　平方根（第二课时） 数学 八年级上册 BS版 课前导入 典例讲练 目录 CONTENTS 课前预习 数学 八年级上册 BS版 0 1 课前预习 1. 平方根的定义. （1）一般地，如果一个数 x 的平方等于 a ，即 x2＝ a ，那么这个数 x 就叫做 a 的 （也叫做二次方根）. （2）正数 a 有两个平方根，一个是 a 的算术平方根 ，另一个是 ，它们互为相反数.这两个平方根合起来可以 记作 ，读作“正、负根号 a ”. 平方根　 　 － 　 ± 　 数学 八年级上册 BS版 返回目录 2. 平方根的性质. 一个正数有 个平方根； 只有一个平方根，它是 ⁠ ；负数 平方根. 3. 与（ ）2的性质. （1） ＝｜ a ｜＝ （2）（ ）2＝ a （ a 0）. 两　 0　 0 本身　 没有　 ≥　 数学 八年级上册 BS版 返回目录 4. 开平方. （1）求一个数 a 的 的运算，叫做开平方. 注：①开平方时，被开方数 a 必须是非负数；②平方根是数， 是开平方的结果. （2）开平方与平方互为逆运算. 平方根　 数学 八年级上册 BS版 返回目录 0 2 课前导入 2. 我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是什么？ 答：已学过加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算. 其中加法与减法互逆；乘法与除法互逆. 思考：乘方有没有逆运算？ 1. 什么叫算术平方根？ 若一个正数的平方等于 a，则这个数叫做 a 的算术平方根，表示为 3 7 (1) 3 的平方等于 9，那么 9 的算术平方根就是_____； (2)展厅地面为正方形，其面积 49 m2，则边长为___m. 问题：除了所填的数之外，平方等于 9，49 的数还有吗？ 填一填(1) 平方根的概念及性质 x 2 x 8 -8 4 3 4 3 - ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ 121 0.36 0 -4 写出左圈和右圈中的“？”表示的数： 填一填(2) 你发现了吗 10 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即x2 = a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（或二次方根）. 平方根的定义： 概念学习 平方根的表示方法、读法： 根号 被开方数 （a 是非负数） 读作：正负根号 a 数学 八年级上册 BS版 0 3 典例讲练 （1）求下列各数的平方根： ①121；　②0.49；　③6 ；　④10－8. 解：①因为（±11）2＝121， 所以121的平方根是±11，即± ＝±11. ②因为（±0.7）2＝0.49， 所以0.49的平方根是±0.7，即± ＝±0.7. ③因为 ＝ ＝ ＝6 ， 所以6 的平方根是±2 ，即± ＝±2 . ④因为 ＝10－8， 所以10－8的平方根是±10－4，即± ＝±10－4. 【点拨】求一个正数的平方根的基本方法：利用平方和开平方互为逆运算，找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个，它们互为相反数，也就得到这个数的平方根.注意避免漏解.若这个正数为带分数，则一般先化为假分数再计算.若正数 a 不能写成有理数平方的形式，则将正数 a 的平方根表示为± . 数学 八年级上册 BS版 返回目录 （2）求下列各式的值： ① ；　②－ ；　③ . 【思路导航】按照算术平方根、平方根的定义及（ ）2， 的性质计算即可. 解：①原式＝9.　 ②原式＝－ . ③原式＝｜－2.15｜＝2.15. 【点拨】在公式 ＝｜ a ｜中， a 可以为任意数，运算顺序是先平方，再开平方；而在公式（ ）2＝ a （ a ≥0）中， a 为非负数，运算顺序是先开平方，再平方.以上运算结果都是非负数. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 1. 求下列各数的平方根： （1）3.24；　（2）13； （3） ；　（4）（－25）2. 解：（1）因为（±1.8）2＝3.24，所以3.24的平方根是±1.8，即± ＝±1.8. （2）13的平方根是± . （3） ＝4.因为（±2）2＝4，所以 的平方根是±2，即± ＝±2. （4）因为（±25）2＝（－25）2，所以（－25）2的平方根是±25，即± ＝±25. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 2. 求下列各式的值： （1） ； （2）（ ）2； （3）－ ； （4）± . 解：（1）原式＝4. （2）原式＝ . （3）原式＝－ ＝－ . （4）原式＝± ＝± ＝±12. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 （1）已知一个正数的两个平方根分别是1－2 a 和 a －4，求这个正数. 解：因为一个正数的两个平方根分别是1－2 a 和 a －4， 所以（1－2 a ）＋（ a －4）＝0，解得 a ＝－3. 所以 a －4＝－7.所以这个正数为（－7）2＝49. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 （2）已知2 a －5和1＋ a 是非负数 x 的平方根，求 a 和 x 的值. 解：①当2 a －5和1＋ a 是非负数 x 的同一个平方根时，2 a －5＝1＋ a ，解得 a ＝6. 此时， x ＝（1＋6）2＝49. ②当2 a －5和1＋ a 是非负数 x 的两个互为相反数的平方根时， （2 a －5）＋（1＋ a ）＝0，解得 a ＝ .此时， x ＝ ＝ .综上所述， a ＝6， x ＝49；或 a ＝ ， x ＝ . 【点拨】第（1）小题指明了1－2 a 与 a －4是一个正数的两个平方根，就只有一种情况，它们互为相反数.而第（2）小题未指明2 a －5与1＋ a 是同一个平方根还是两个不同的平方根，也就需要分两种情况讨论，即相等或互为相反数，体现了分类讨论的思想. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 已知2 m ＋2的算术平方根是4，3 m ＋ n ＋1的平方根是±5，求 m ＋2 n 的平方根. 解：因为2 m ＋2的算术平方根是4，3 m ＋ n ＋1的平方根是±5， 所以2 m ＋2＝42＝16，3 m ＋ n ＋1＝（±5）2＝25. 解得 m ＝7， n ＝3.所以 m ＋2 n ＝7＋2×3＝13. 所以± ＝± ， 即 m ＋2 n 的平方根是± . 数学 八年级上册 BS版 返回目录 求下列各式中 x 的值： （1） x2－361＝0；　　　（2）（ x ＋1）2＝289； （3）9（3 x ＋2）2－64＝0. 解：（1）因为 x2－361＝0，所以 x2＝361. 所以 x ＝± ，即 x ＝19，或 x ＝－19. （2）因为（ x ＋1）2＝289，所以 x ＋1＝± . 所以 x ＋1＝±17.所以 x ＝16，或 x ＝－18. （3）因为9（3 x ＋2）2－64＝0，所以（3 x ＋2）2＝ . 所以3 x ＋2＝± .所以 x ＝ ，或 x ＝－ . 【点拨】解这类带有平方的方程的基本方法：先将方程化为一边是完全平方式，另一边是一个非负数的形式，然后方程两边同时开平方即可.开平方时，要注意不能漏掉负的平方根，同时也要注意整体思想的运用. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 求下列各式中 x 的值： （1）9 x2－121＝0； （2）（ x －2）2－0.49＝0； （3）（4 x ＋1）2－1＝ . 解：（1）由9 x2－121＝0，得 x2＝ . 所以 x ＝± ，即 x ＝ ，或 x ＝－ . （2）由（ x －2）2－0.49＝0，得（ x －2）2＝0.49. 所以 x －2＝±0.7.所以 x ＝2.7，或 x ＝1.3. （3）由（4 x ＋1）2－1＝ ，得（4 x ＋1）2＝ . 所以4 x ＋1＝± .所以 x ＝ ，或 x ＝－ . 数学 八年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 八年级上册 BS版 $$