精品解析：河北省石家庄市辛集市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

辛集市2023—2024学年度第二学期期末教学质量监测 高一数学试卷 注意事项： 1、考试时间120分钟，满分150分，另附加卷面分5分. 2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置. 3、全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i是虚数单位，复数z=，则复数z虚部为（ ） A. i B. -i C. 1 D. -1 2. 某中学的高中部共有男生1200人，其中高一年级有男生300人，高二年级有男生400人．现按分层抽样抽出36名男生去参加体能测试，则高三年级被抽到的男生人数为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 3. 已知一个直三棱柱的高为1，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则该三棱柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 在中,分别为角对边),则的形状为 A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 若是所在平面内的一点，且满足，则的形状为（　　） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 6. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A. B. C. D. 7. 国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育､优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩.则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥但不对立 B. 事件与事件互斥且对立 C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件相互独立 8. 已知正三棱柱的底面边长为，高为6，经过上底面棱的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角，如图1，得到一个几何体，如图2所示，若所得几何体的六个顶点都在球的球面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高.“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力.2017年~2021年某市城镇居民､农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示.根据下面图表，下列说法一定正确的是（ ） A. 该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民 B. 对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大 C. 对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大 D. 2021年该市城镇居民､农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升 10. 在棱长为1的正方体中，点为底面的中心，点是正方形内（含边界）一个动点，则下列结论正确的是（ ） A B. 点存在无数个位置满足平面 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 三棱锥体积的最大值为 11. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A B. 若，则有两解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数值为____________. 13. 已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是弧长为的扇形，则该圆锥的体积为_________. 14. 已知正方形的边长为2，为对角线的交点，动点在线段上，点关于点的对称点为点，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求与的夹角； （2）若，求实数的值. 16. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求． 17. 2021年底某市城市公园主体建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分100分），根据所得数据，按，，，，进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计该市市民评分的分位数； （2）为进一步完善公园建设，按分层随机抽样的方法从评分在中抽取7人，再随机抽取其中2人进行座谈，求这2人的评分在同一组的概率. 18. 甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； （2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率． 19. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面. (1)求证：平面； (2)求与平面所成的角； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辛集市2023—2024学年度第二学期期末教学质量监测 高一数学试卷 注意事项： 1、考试时间120分钟，满分150分，另附加卷面分5分. 2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置. 3、全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i是虚数单位，复数z=，则复数z的虚部为（ ） A. i B. -i C. 1 D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】先通过复数的除法运算求出z，进而求出虚部. 【详解】由题意，，则z的虚部为1. 故选：C. 2. 某中学的高中部共有男生1200人，其中高一年级有男生300人，高二年级有男生400人．现按分层抽样抽出36名男生去参加体能测试，则高三年级被抽到的男生人数为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由题意按分层抽样的方法用36乘以高三年级的男生数占总男生数的比例即可求解. 【详解】高三年级被抽到的男生人数为. 故选：C. 3. 已知一个直三棱柱的高为1，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则该三棱柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法还原底面平面图，然后由直三棱柱的表面积公式可解. 【详解】由斜二测画法还原底面平面图如图所示， 其中，所以， 所以此直三棱柱的底面积为，高为1， 故直三棱柱表面积为. 故选：C 4. 在中,分别为角的对边),则的形状为 A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，利用正弦定理及二倍角公式得，即，又，故，三角形中，故，故三角形为直角三角形，故选A. 5. 若是所在平面内的一点，且满足，则的形状为（　　） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可以得出，进而得到，由此可判断出的形状. 【详解】，， ，即， 即， 故，， 故为直角三角形， 因为不一定等于，所以不一定为等腰直角三角形. 故选：D. 6. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：的面积， ， ， 则， ， ， ， ，，， ， ． 故选：D． 7. 国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育､优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩.则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥但不对立 B. 事件与事件互斥且对立 C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件的意义可判断选项A，B；利用独立事件的定义可判断C,D 【详解】有三个小孩的家庭的样本空间可记为： ={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}， 事件={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)} 事件={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}， 事件={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}， 对于A，,且，所以事件B与事件C互斥且对立，故A不正确； 对于B，{(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，所以事件与事件不互斥，故B不正确； 对于C，事件有4个样本点，事件有4个样本点，事件有0个样本点，，显然有，即事件与事件不相互独立，故C不正确； 对于D，事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有3个样本点，，显然有，即事件与事件相互独立，故D正确； 故选：D 8. 已知正三棱柱的底面边长为，高为6，经过上底面棱的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角，如图1，得到一个几何体，如图2所示，若所得几何体的六个顶点都在球的球面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体特征、勾股定理及其外接球体积公式计算即可. 【详解】设分别为正棱柱上下底面中心，即， 由几何体的特征易知其外接球球心在上，如图所示， 根据正三角形的中心性质可知，同理， 设外接球半径为则， 所以有， 则外接球体积. 故选：D 【点睛】思路点睛：对于几何体外接球问题，第一步先确定球心位置，可以先通过确定一面的外接圆圆心去确定，本题几何体比较规则，容易得出球心在上下中心连线上；第二步，由点在球上及球体的特征结合勾股定理构建方程组解方程求半径即可. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高.“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力.2017年~2021年某市城镇居民､农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示.根据下面图表，下列说法一定正确的是（ ） A. 该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民 B. 对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大 C. 对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大 D. 2021年该市城镇居民､农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据表中数据逐一判断即可. 【详解】由增长率高，得不出收入高，即A错误； 由表中数据，可知城镇居民相关数据极差较大，即B正确； 由表中数据，可知农村居民相关数据中位数较大，即C正确； 由表中数据，可知增长率为正，即D正确. 故选：BCD 10. 在棱长为1的正方体中，点为底面的中心，点是正方形内（含边界）一个动点，则下列结论正确的是（ ） A B. 点存在无数个位置满足平面 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 三棱锥体积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，分别作图，利用图象，根据线面垂直、面面平行、线面角定义、三棱锥的体积公式，可得答案. 【详解】对于选项A，根据题意作图如下： 在正方体中，易知， 因为，所以平面，即，故A正确； 对于选项B，根据题意作图如下： 正方体中，易知， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得：平面，因为，所以平面平面， 易知平面，当时，平面，故B正确； 对于选项C，根据题意作图如下： 在正方体中，易知， 因为，所以平面，即，同理可得：， 因为，所以平面，连接，易知， 则为直线与平面所成角， 在中，， 因为，所以直线与平面所成角余弦值为.故C错误； 对于选项D，根据题意作图如下： 在正方体中， 易知当点与点重合时，三棱锥体积取最大值， 设点到平面的距离为，则， 由选项B可知，则，可得， 则三棱锥体积取最大值： ，故D正确. 故选：ABD 11. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则有两解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由数量积的定义及面积公式求得A角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC选项，利用，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D． 【详解】因为，所以，，又，所以，A错； 若，则，三角形有两解，B正确； 若为锐角三角形，则，，所以，， ，，C正确； 若D为边上的中点，则，， 又，， 由基本不等式得， ，当且仅当时等号成立， 所以，所以， 当且仅当时等号成立，D正确． 故选：BCD． 【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得，然后根据的大小关系判断角是否有两种情况即可． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为____________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由复数的运算可知，是纯虚数，则其实部必为零，即，所以. 考点：复数的运算. 13. 已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是弧长为的扇形，则该圆锥的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积及侧面展开图扇形的弧长可求圆锥的母线长与底面圆的半径，从而可求圆锥的高，根据圆锥的体积公式即可求解. 【详解】解：设该圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r， 由已知条件可得:,解得. 故圆锥的高, 所以该圆锥的体积为. 故答案为:. 14. 已知正方形的边长为2，为对角线的交点，动点在线段上，点关于点的对称点为点，则的最大值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】法一建立直角坐标系，用坐标计算的最值；法二用极化恒等式得 ，当时最小，从而最大. 【详解】法一：以为坐标原点，为轴正半轴建立平面直角坐标系，设，则，，所以，当且仅当时取得最大值． 法二：由极化恒等式可得：，当时，此时的最大值为1． 【点睛】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求与的夹角； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出与的坐标，直接利用向量的夹角公式即可得结果； （2）由向量垂直得到数量积为0即可得结果. 【详解】（1）设与的夹角为， ∵，，∴，， ∴， 又∵，∴. （2）∵， ∴， 解得. 【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式以及两向量垂直与数量积的关系，属于基础题. 16. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式进行求解即可； （2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， ， ， ， 因为，所以， 即，所以， 因为，所以， 所以有，所以； 【小问2详解】 因为，且的面积为， 所以有，或. 17. 2021年底某市城市公园主体建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分100分），根据所得数据，按，，，，进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计该市市民评分的分位数； （2）为进一步完善公园建设，按分层随机抽样的方法从评分在中抽取7人，再随机抽取其中2人进行座谈，求这2人的评分在同一组的概率. 【答案】（1），85； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出，再根据百分位数计算规则计算可得； （2）利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】 由题意得，， 解得. 因为，， 所以分位数位于之间， 则市民评分的分位数约为. 【小问2详解】 由题意得，按分层随机抽样从评分在中抽取人， 其中评分在中有人，记为，； 评分在中有人，记为，，，，. 现抽取其中人进行问卷调查，共有21种情况，它们是： ，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，， 其中这2人评分在同一组有11种情况，它们是： ，，，，，，，，，，， 则所求概率. 18. 甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； （2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可； （2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案. 【小问1详解】 设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件， . 【小问2详解】 设事A＝“甲第一轮猜对”，B＝“乙第一轮猜对”，C＝“甲第二轮猜对”，D＝“乙第二轮猜对”，E＝““九章队”猜对三个数学名词”， 所以， 则， 由事件的独立性与互斥性，得 ， 故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为． 19. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面. (1)求证：平面； (2)求与平面所成的角； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)30°；(3)存在，. 【解析】 【分析】(1)首先根据已知条件并结合线面垂直的判定定理证明平面，再证明即可求解； (2)根据(1)中结论找出所求角，再结合已知条件即可求解； (3)首先假设存在，然后根据线面平行的性质以及已知条件，看是否能求出点的具体位置，即可求解. 【详解】(1)因为，是的中点，所以， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着翻折成后，，, 又因为， 所以平面， 由题意，易知，， 所以四边形是平行四边形，故， 所以平面； (2) 因为平面， 所以与平面所成的角为， 由已知条件，可知，， 所以是正三角形，所以， 所以与平面所成的角为30°； (3) 假设线段上是存在点，使得平面， 过点作交于，连结，，如下图： 所以，所以，，， 四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形，故， 所以为中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$