抛物线(一)专项训练——2025届高三数学一轮复习

抛物线(一) 一、单项选择题 1．抛物线y＝－x2的焦点坐标为(　　) A．(－1，0)　　　　 B． C．(0，－1) 　 D． 2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝x 　 B．y2＝2x C．y2＝4x 　 D．y2＝8x 3．“米”是象形字．数学探究课上，某同学用拋物线C1：y2＝－2px(p＞0)和C2：y2＝2px(p＞0)构造了一个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线C1，C2的焦点分别为F1，F2，点P在拋物线C1上，过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q，若|PF1|＝2|PQ|＝4，则p＝(　　) A．2　　 B．3 C．4　　 D．6 4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线l的倾斜角等于(　　) A．30°或150° 　 B．45°或135° C．60°或120° 　 D．与p值有关 5．已知点P为抛物线x2＝4y上任意一点，点A是圆x2＋(y－6)2＝5上任意一点，则|PA|的最小值为(　　) A． 　 B．2 C．3 　 D．6－ 6．如图所示，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是(　　) A．(6，10) 　 B．(8，12) C．[6，8] 　 D．[8，12] 7．设抛物线E：y2＝8x的焦点为F，过点M(4，0)的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比＝(　　) A．　　 B． C．　　 D． 8．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　) A．16　　 B．14 C．12　　 D．10 二、多项选择题 9．已知抛物线y＝2x2的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是(　　) A．点F的坐标为 B．若直线MN过点F，则x1x2＝－ C．若＝λ，则|MN|的最小值为 D．若|MF|＋|NF|＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为 10．(2024·广东揭阳模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l绕点P(－2，1)旋转，点Q为C上的动点(O为坐标原点)，则(　　) A．以Q为圆心，|QF|为半径的圆与直线x＝－1相切 B．若直线l与抛物线有且只有一个公共点，则这样的直线l有两条 C．线段PF的垂直平分线方程为3x－y＋2＝0 D．过点F的直线交C于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线有2条 11．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点坐标为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点在抛物线上，则(　　) A．p＝1 B．当AB⊥y轴时，|AB|＝4 C．为定值1 D．若＝2，则直线AB的斜率为± 12．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，点P在抛物线上，过点F的直线l与抛物线交于B，C两点，O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为M，则下列说法正确的是(　　) A．∠OMB的最大值为 B．若点A(4，2)，则|PA|＋|PF|的最小值为6 C．无论过点F的直线l在什么位置，总有∠OMB＝∠OMC D．若点C在抛物线准线上的射影为D，则B，O，D三点共线 三、填空题 13．在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分(如图中虚线所示)，称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40 m，碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80 m，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为________m. 14．已知点P在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，过P作C的准线的垂线，垂足为H，点F为C的焦点．若∠HPF＝60°，点P的横坐标为1，则p＝________． 15．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||＝________． 16．已知M(1，2)为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，过点T(0，1)的直线与抛物线C交于A，B两点，且直线MA与MB的倾斜角互补，则|TA|·|TB|＝________． 四、解答题 17．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； (2)若＝3，求|AB| 参考答案 1．D　[抛物线的标准方程为x2＝－2y，所以焦点坐标为，故选D.] 2．C　[根据题意，抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，与y轴平行，若抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则该抛物线上任意一点到准线的距离比到y轴的距离大1，故＝1，解得p＝2，故抛物线的标准方程为y2＝4x.故选C.] 3．D　[因为2|PQ|＝4，即|PQ|＝2，由抛物线的对称性知xP＝－1，由抛物线定义可知，|PF1|＝－xP，即4＝－(－1)，解得p＝6.故选D.] 4．C　[如图所示，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线方程为x＝－，分别过A，B作准线的垂线，垂足为A′，B′，直线l交准线于点C，作BM⊥AA′，垂足为M，则＝＝，又|FA|＝3|FB|，所以＝2＝4， 所以∠ABM＝30°，即直线l的倾斜角等于∠AFx＝60°，同理可得直线l的倾斜角为钝角时即为120°，故选C.] 5．A　[圆x2＋(y－6)2＝5的圆心为C(0，6)，半径r＝.设，则|PC|2＝＝＋36＝＋20， 当＝16时，|PC|2有最小值20，数形结合可知＝|PC|min－＝2＝.] 6．B　[抛物线y2＝8x的准线方程l：x＝－2，焦点F(2，0)，由抛物线的定义可得|AF|＝xA＋2，圆(x－2)2＋y2＝16的圆心(2，0)，半径R＝4， 所以△FAB的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB， 联立消去y得x2＋4x－12＝0，解得x＝2(x＝－6舍去)， 即交点的横坐标为2， 所以xB∈(2，6)，所以6＋xB∈(8，12)， 所以△FAB的周长的取值范围是(8，12)． 故选B.] 7．C　[如图，过点B作BD垂直准线x＝－2于点D，则由抛物线定义可知：|BF|＝|BD|＝3， 设直线AB的方程为x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－2，yC)，不妨设m＞0，则y1＞0，y2＜0， 所以x2＋2＝3，解得x2＝1， 则＝8x2＝8，解得y2＝－2，则B(1，－2)， 所以－2m＋4＝1，解得m＝， 则直线AB的方程为x＝y＋4， 所以当x＝－2时，即y＋4＝－2， 解得yC＝－4，则C(－2，－4)， 联立消去x得y2－6y－32＝0，则y1y2＝－32， 所以y1＝8，其中＝＝＝＝. 故选C.] 8．A　[由题意知，抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，l1，l2的斜率存在且不为0．不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为－，故l1：y＝k(x－1), l2：y＝－(x－1)． 由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝＝2＋， 由抛物线定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋. 同理得|DE|＝4＋4k2， 所以|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋≥8＋2＝16. 当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号． 故|AB|＋|DE|的最小值为16．] 9．BCD　[抛物线y＝2x2，即x2＝y， 由抛物线方程知其焦点在y轴上，焦点为F，A错误； 依题意，直线MN斜率存在，设其方程为y＝kx＋， 由消去y整理得x2－kx－＝0， 所以x1x2＝－，x1＋x2＝k，B正确； 若＝λ，则直线MN过焦点， 所以|MN|＝|MF|＋|NF|＝y1＋＋y2＋＝kx1＋＋kx2＋＝k2＋， 所以当k＝0时|MN|min＝， 所以|MN|的最小值为抛物线的通径长，C正确； 因为|MF|＋|NF|＝y1＋＋y2＋＝，所以y1＋y2＝，即P点纵坐标为＝， 所以P到x轴的距离为，D正确．故选BCD.] 10．AC　[由抛物线C：y2＝4x可知，C的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1. 由抛物线的定义可知以Q为圆心，|QF|为半径的圆与直线x＝－1相切，A正确； 当过点P(－2，1)的直线l的斜率不存在时，直线l与抛物线无公共点； 当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则过点P(－2，1)的直线方程为l：y＝k(x＋2)＋1，当k＝0时，直线l：y＝1与抛物线有且只有一个公共点， 当k≠0时，联立整理可得k2x2＋(4k2＋2k－4)x＋4k2＋4k＋1＝0，所以Δ＝(4k2＋2k－4)2－4k2(4k2＋4k＋1)＝0，化简得2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝， 所以此时直线l与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条，B错误； 线段PF的中点为，又kPF＝＝－，所以线段PF的中垂线方程为y－＝3，即3x－y＋2＝0，C正确； 因为|AB|＝4＝2p，此时线段AB为抛物线的通径，所以这样的直线只有一条，D错误．故选AC.] 11．BCD　[将点代入抛物线方程，可得p＝2，A错误； 焦点F(0，1)，当AB⊥y轴时，点(－2，1)，点(2，1)在抛物线上，可得|AB|＝4，B正确； 由题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程 消去y后整理得x2－4kx－4＝0， 可得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2，y1y2＝＝1，|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1， 有＝ ＝＝＝1， C正确； 由(－x1，1－y1)＝2(x2，y2－1)， 可得2x2＝－x1，由 得解得k＝±，D正确．故选BCD.] 12．ACD　[设直线MB的方程为x＝－1＋my，与抛物线的方程y2＝4x联立，可得y2－4my＋4＝0， 当且仅当MB与抛物线相切时，∠OMB取得最大值． 由Δ＝16m2－16＝0，即m＝±1，直线MB的斜率为±1，此时∠OMB取得最大值，A正确； 设点A在准线x＝－1上的射影为A′(－1，2)，设P到准线的距离为d，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d≥|AA′|＝5， 当且仅当A，P，A′三点共线时等号成立，B错误； M(－1，0)，设直线BC的方程为x＝ny＋1， 代入抛物线的方程y2＝4x，可得y2－4ny－4＝0， 设，可得y1＋y2＝4n，y1y2＝－4，则kMB＋kMC＝＝＝0，故MB，MC的倾斜角互补，所以∠OMB＝∠OMC. C正确； 由C的分析可知D(－1，y2)，kOB＝＝，kOD＝－y2，由于y1y2＝－4，则kOB＝kOD，可得三点B，O，D在同一条直线上．D正确． 故选ACD.] 13．80　[以抛物线最高点为坐标原点，平行于地面为x轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)， 由题意得A(80，－40)，将其代入抛物线方程得6 400＝80p，解得p＝80，故安全抛物线的焦点到其准线的距离为80 m. ] 14．　[如图所示，不妨设点P在第一象限， 联立可得即点P(1，)． 易知PH⊥y轴，则PH∥x轴，则∠xFP＝∠HPF＝60°， 所以直线PF的倾斜角为60°，易知点F， 所以kPF＝＝，整理可得2＝(2－p)，且有2－p＞0，故0＜p＜2， 等式2＝(2－p)两边平方可得3p2－20p＋12＝0，即(3p－2)(p－6)＝0， 解得p＝(p＝6舍去)．] 15．3　[由题意可知，点F的坐标为， 又F为△ABC的重心，故＝， 即xA＋xB＋xC＝.又由抛物线的定义可知||＋||＋||＝xA＋xB＋xC＋＝＝3．] 16．2　[由点M(1，2)在抛物线C：y2＝2px上得：22＝2p，即p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x， 由题意知，直线AB的斜率存在，且不为0. 设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由直线MA与MB的倾斜角互补得kMA＋kMB＝0， 即＝＝＝0，所以y1＋y2＝－4， 联立得ky2－4y＋4＝0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝， 所以＝－4，即k＝－1，所以y1y2＝－4， 所以|TA|·|TB|＝＝＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)＝2．] 17．解：设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋＝4，所以x1＋x2＝. 由 可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－. 从而－＝，得t＝－. 所以l的方程为y＝x－. (2)由＝3得y1＝－3y2. 由得y2－2y＋2t＝0. 所以y1＋y2＝2. 从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3. 代入C的方程得x1＝3，x2＝. 故|AB|＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$