专题22 任意角与弧度制8种常见考法归类（75题）-2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册）

2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题22 任意角与弧度制8种常见考法归类（75题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 任意角的概念 考点二 终边相同的角 （1） 找终边相同的角 （2） 终边在某条直线上的角的集合 考点三 象限角及区域角的表示 （一）确定角所在的象限 （二）区域角 考点四 弧度制的概念 考点五 角度制与弧度制的互化 考点六 用弧度制表示有关的角 考点七 扇形的弧长、面积 考点八 扇形中的最值问题 知识点1：任意角 1、任意角 (1)角的概念： 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)角的表示： 如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点O. (3)角的分类： 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 2、角的加法与减法 设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角． (1)α＋β：把角α的终边旋转角β. (2)α－β：α－β＝α＋(－β)． 知识点2：象限角 1、定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限. 注：“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于360°的角，还可以是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角． 2、象限角的常用表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 知识点3：轴线角 1、定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角. 2、轴线角的表示： ① 终边落在轴非负半轴 ② 终边落在轴非负半轴 ③ 终边落在轴非正半轴 或 ④ 终边落在轴非正半轴 或 ⑤ 终边落在轴 ⑥ 终边落在轴 或 ⑦ 终边落在坐标轴 知识点4：终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角为 知识点5：角度制与弧度制的概念 1、弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： ， 3、常用的角度与弧度对应表 角度制 弧制度 知识点6：扇形中的弧长公式和面积公式 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 解题策略 12、理解与角的概念有关问题的关键 正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 2、终边相同的角的表示 (1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式． (2)终边相同的角相差360°的整数倍． 3、象限角的判定方法 ①根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系． ②将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的． 4、表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界． 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°. 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合． 5、确定nα及所在的象限 分类讨论时要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论．几何法依据数形结合，简单直观．通过该类问题，提升逻辑推理和直观想象等核心素养． 6、角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数． 7、用弧度制表示终边相同角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍． (2)注意角度制与弧度制不能混用． 8、扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)． (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 考点一 任意角的概念 1.（2023秋·高一课时练习）【多选】下列说法错误的是（ ） A．钝角是第二象限角 B．第二象限角比第一象限角大 C．大于的角是钝角 D．是第二象限角 2．（2024·福建南平·高一武夷山一中校考期中）把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为 . 3.（2023秋·高一课时练习）时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为 ，分针转过的角的度数为 ． 4．（2024·高一课时练习）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ． 5．（2024·湖南·高一南县第一中学校联考阶段练习）第24届冬季奥运会于2023年2月4日至2月20日在北京举行，中国运动员通过顽强拼搏，共获得9枚金牌，列金牌榜第三名，创造了冬奥会上新的辉煌.在冬奥会的比赛中有一位滑地运动员做了一个空中翻腾五周的高难度动作，那么“空中翻腾五周”等于 度（不考虑符号）. 6．（2024·高一校考课时练习）已知集合A={| 为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（    ） A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D 7．（2024·高一课时练习）求下列各式的值，并作图说明运算的几何意义． (1)； (2)； (3)． 8．（2024·全国·高一课堂例题）下列所示图形中，的是 ；的是 ．    考点二 终边相同的角 （一）找终边相同的角 9.【多选】（2023·全国·高一课堂例题）与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·安徽·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，下列与角 终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）下列各角中，与 角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 12.（2023春·广西北海·高一统考期末）下列各角中，与角终边相同的是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·广东东莞·高一校考期中）请写出与终边相同的最小正角： . 14.（2023春·高一课时练习）已知﹣990°＜α＜﹣630°，且α与120°角终边相同，则α= ． 15．（2024·全国·高一课堂例题）在区间内找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角． (1)； (2)； (3)． 16．（2024·全国·高一随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 17.（2023春·山东威海·高一统考期末）下列角的终边与角的终边关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． （二）终边在某条直线上的角的集合 18.（2023·全国·高三专题练习）若角的终边在函数的图象上，试写出角的集合为 ． 19.（2023春·高一课时练习）在直角坐标系中写出下列角的集合： (1)终边在轴的非负半轴上； (2)终边在上． 20.（2023·全国·高一假期作业）写出终边在如图所示的直线上的角的集合．    考点三 象限角及区域角的表示 （一）确定角所在的象限 21．（2024·江苏南京·高一南京市第十三中学校考期中）的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 22.（2024·全国·高一专题练习）角是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 23．（2024·全国·高一专题练习）若，，则所在象限是（    ） A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 24．【多选】（2024·湖南株洲·高一统考开学考试）已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 25．（2024·全国·随堂练习）如果角α为锐角，那么，所在的象限是 ． 26.（2024·全国·高一专题练习）若角是第二象限角，则角的终边所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 27．（2024·天津河东·高三校考阶段练习）若是第二象限角，则是 象限 28.（2023春·江西抚州·高一资溪县第一中学校考期中）已知是第一象限角，那么（    ） A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角 C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角 29.（2023·全国·高三专题练习）已知角第二象限角，且，则角是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 30.【多选】（2023春·江西宜春·高一校考阶段练习）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 31．（2024·全国·高一随堂练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限： (1)； (2)； (3)； (4)． （二）区域角 32．（2024·四川眉山·高一校考期中）（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．          （2）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角． 33．（2024·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为 ．    34．（2024·高一课时练习）已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是 ． 35.（2023秋·高一课时练习）写出终边落在图中阴影区域内的角的集合． (1)   (2)   36.（2023秋·高一课时练习）已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是 ． 考点四 弧度制的概念 37.（2023春·高一课时练习）下列说法正确的是（ ） A．弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中弧度的圆心角比小圆中弧度的圆心角大 C．所有圆心角为弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 38.（2023春·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是（     ） A． B． C． D． 39.（2023·全国·高一专题练习）亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的弧度数为 . 40.【多选】（2023春·高一课时练习）钟表在我们的生活中随处可见，高一某班的同学们在学习了“任意角和弧度制”后，对钟表的运行产生了浓厚的兴趣，并展开了激烈的讨论，若将时针与分针视为两条线段，则下列说法正确的是（    ） A．小赵同学说：“经过了5 h，时针转了．” B．小钱同学说：“经过了40 min，分针转了．” C．小孙同学说：“当时钟显示的时刻为12:35时，时针与分针所夹的钝角为．” D．小李同学说：“时钟的时针与分针一天之内会重合22次．” 41.（2023秋·高一课时练习）若，则角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点五 角度制与弧度制的互化 42.（2023·全国·高一课堂例题）把下列各角从度化为弧度： (1)； (2)． 43．（2024·全国·高一专题练习）把下列角度与弧度进行互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) (8) (9) (10) 44.（2023秋·天津武清·高三校考阶段练习）化为角度是（    ） A． B． C． D． 45．（2024·江苏·高一专题练习）将下列各弧度化成角度. (1) (2) (3) (4)-3 46．（2024·全国·高一随堂练习）把下列各角化成的形式，并指出它们是哪个象限的角： (1)； (2)； (3)； (4)． 47．（2024·江西赣州·高一校联考期中）已知. (1)将写成的形式，并指出它是第几象限角； (2)求与终边相同的角，满足． 考点六 用弧度制表示有关的角 48.（2023·全国·高一专题练习）下列与终边相同角的集合中正确的是（    ） A． B． C． D． 49．（2024·全国·高三专题练习）与终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 50．（2024·高一课时练习）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 51.（2023·全国·高一专题练习）将－1485°化成的形式是（    ） A． B． C． D． 52.（2023·全国·高一专题练习）写出一个与角终边相同的正角： （用弧度数表示）. 53.（2023春·江西赣州·高一校联考期中）已知. (1)将写成的形式，并指出它是第几象限角； (2)求与终边相同的角，满足． 54．（2024·全国·高三专题练习）终边在直线上的角的集合为 ． 55．（2024·高一课时练习）用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合： (1)   (2)   56.（2023·全国·高一课堂例题）用弧度分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合．（如无特别说明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）    57.（2023·全国·高三专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（    ） A．   B．   C．   D．   考点七 扇形的弧长、面积 58.（2023秋·江西抚州·高二江西省乐安县第二中学校考开学考试）若扇形的圆心角为，半径.则它的弧长为 . 59．（2024·上海松江·高三校考期中）若一扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为 . 60．（2024·山东淄博·高一校联考期中）已知扇形面积，半径是1，则扇形的周长是（    ） A． B． C． D． 61.（2023春·江西吉安·高一校联考期中）已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为 . 62．（2024·重庆·高三西南大学附中校考期中）已知扇形的圆心角是，半径为，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 63．（2024·全国·高一专题练习）已知扇形的圆心角为，其弧长为，则这个扇形的面积为 ． 64.（2023·全国·高一课堂例题）若扇形的面积是，它的周长是，则扇形圆心角（正角）的弧度数为（    ） A． B． C． D． 65．（2024·全国·高一专题练习）已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形的半径为 ，弧长为 . 66．（2024·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期中）已知某时钟的分针长，时间经过5分钟，则时针转过的角为 弧度，分针扫过的扇形的面积为 67．（2024·上海·高三上海市进才中学校考期中）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分．若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为 ．    68.（2023春·上海松江·高一统考期中）建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ．    69.（2023·全国·高一假期作业）工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，已知扇面展开的中心角为，外圆半径为40cm，内圆半径为20cm，那么制作这样一面扇面至少需要用布料为 cm2    考点八 扇形中的最值问题 70．（2024·高一单元测试）若有一扇形的周长为60 cm，那么扇形的最大面积为 . 71．（2024·全国·高三专题练习）若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 . 72.（2023秋·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为（    ） A． B． C． D．2 73．（2024·辽宁沈阳·高一校联考期中）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 74．（2024·上海宝山·高一校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l． (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 75．（2024·湖北宜昌·高一校联考期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． $$2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题22 任意角与弧度制8种常见考法归类（75题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 任意角的概念 考点二 终边相同的角 （1） 找终边相同的角 （2） 终边在某条直线上的角的集合 考点三 象限角及区域角的表示 （一）确定角所在的象限 （二）区域角 考点四 弧度制的概念 考点五 角度制与弧度制的互化 考点六 用弧度制表示有关的角 考点七 扇形的弧长、面积 考点八 扇形中的最值问题 知识点1：任意角 1、任意角 (1)角的概念： 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)角的表示： 如图所示：角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点O. (3)角的分类： 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 2、角的加法与减法 设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角． (1)α＋β：把角α的终边旋转角β. (2)α－β：α－β＝α＋(－β)． 知识点2：象限角 1、定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限. 注：“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于360°的角，还可以是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角． 2、象限角的常用表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 知识点3：轴线角 1、定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角. 2、轴线角的表示： ① 终边落在轴非负半轴 ② 终边落在轴非负半轴 ③ 终边落在轴非正半轴 或 ④ 终边落在轴非正半轴 或 ⑤ 终边落在轴 ⑥ 终边落在轴 或 ⑦ 终边落在坐标轴 知识点4：终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角为 知识点5：角度制与弧度制的概念 1、弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： ， 3、常用的角度与弧度对应表 角度制 弧制度 知识点6：扇形中的弧长公式和面积公式 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 解题策略 12、理解与角的概念有关问题的关键 正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 2、终边相同的角的表示 (1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式． (2)终边相同的角相差360°的整数倍． 3、象限角的判定方法 ①根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系． ②将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的． 4、表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界． 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°. 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合． 5、确定nα及所在的象限 分类讨论时要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论．几何法依据数形结合，简单直观．通过该类问题，提升逻辑推理和直观想象等核心素养． 6、角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数． 7、用弧度制表示终边相同角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍． (2)注意角度制与弧度制不能混用． 8、扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)． (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 考点一 任意角的概念 1.（2023秋·高一课时练习）【多选】下列说法错误的是（ ） A．钝角是第二象限角 B．第二象限角比第一象限角大 C．大于的角是钝角 D．是第二象限角 【答案】BCD 【解析】对于A选项，钝角的范围是， 第二象限角的取值范围是， 因为， 所以，钝角是第二象限角，A对； 对于B选项，是第二象限角，是第一象限角，但，B错； 对于C选项，，但不是钝角，C错； 对于D选项，，且， 故是第三象限角，D错.故选：BCD. 2．（2024·福建南平·高一武夷山一中校考期中）把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为 . 【答案】 【分析】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为，计算得到答案. 【详解】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为. 故答案为：. 3.（2023秋·高一课时练习）时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为 ，分针转过的角的度数为 ． 【答案】 【详解】因为时针每小时转，分针每小时转， 又因为时针、分针都按顺时针方向旋转， 故时针转过的角度数为， 分针转过的角度数为． 故答案为：； 4．（2024·高一课时练习）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ． 【答案】． 【分析】由角的定义即可求解. 【详解】由角的定义可得． 故答案为： 5．（2024·湖南·高一南县第一中学校联考阶段练习）第24届冬季奥运会于2023年2月4日至2月20日在北京举行，中国运动员通过顽强拼搏，共获得9枚金牌，列金牌榜第三名，创造了冬奥会上新的辉煌.在冬奥会的比赛中有一位滑地运动员做了一个空中翻腾五周的高难度动作，那么“空中翻腾五周”等于 度（不考虑符号）. 【答案】1800 【分析】由任意角的概念求解. 【详解】“空中翻腾五周”等于5×360°=1800°， 故答案为：1800 6．（2024·高一校考课时练习）已知集合A={| 为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（    ） A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D 【答案】D 【分析】根据题意，将各个集合化简，即可得到结果. 【详解】因为A={| 为锐角}， D={|为小于的正角}， 对于集合，小于的角包括零角与负角， 对于集合，C={|为第一象限角}， 所以A=D， 故选：D 7．（2024·高一课时练习）求下列各式的值，并作图说明运算的几何意义． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)30°，图像和几何意义见解析； (2)－120°，图像和几何意义见解析； (3)210°，图像和几何意义见解析； 【分析】在平面直角坐标系中，以x轴非负半轴作始边，沿逆时针旋转为正角，加上一个角为终边沿逆时针旋转，减去一个角为终边沿顺时针旋转. 【详解】（1）， 在平面直角坐标系中，以x轴非负半轴作始边，沿逆时针旋转为正角，表示90°角的终边沿顺时针旋转60°： （2）， 在平面直角坐标系中，以x轴非负半轴作始边，沿逆时针旋转为正角，表示60°角的终边沿顺时针旋转60°沿顺时针旋转180°： （3）， 在平面直角坐标系中，以x轴非负半轴作始边，沿逆时针旋转为正角，表示－60°角的终边沿逆时针旋转270°： 8．（2024·全国·高一课堂例题）下列所示图形中，的是 ；的是 ．    【答案】 ①④ ②③ 【分析】根据角的终边与始边的位置依次去判断即可. 【详解】在①中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以； 在②中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以； 在③中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以； 在④中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以. 的是①④；的是②③. 故答案为：①④；②③. 考点二 终边相同的角 （一）找终边相同的角 9.【多选】（2023·全国·高一课堂例题）与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】与终边相同的角可写为：， ，，， 与角终边相同的角的集合为：，A正确；，C正确. 故选：AC. 10．（2024·安徽·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，下列与角 终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用终边相同的角的定义计算即可. 【详解】由题意可知，所以与 终边相同. 故选：B 11．（2024·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）下列各角中，与 角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据即可得到答案. 【详解】对选项A，，故A错误. 对选项B，因为，故B正确. 对选项C，，故C错误. 对选项D，，故D错误. 故选：B 12.（2023春·广西北海·高一统考期末）下列各角中，与角终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于B，因为，所以角与角的终边相同，B正确； 对于A，因为不是的整数倍，所以它们的终边不同，A错误； 对于C，因为不是的整数倍，所以它们的终边不同，C错误； 对于D，因为不是的整数倍，所以它们的终边不同，D错误. 故选：B. 13．（2024·广东东莞·高一校考期中）请写出与终边相同的最小正角： . 【答案】 【分析】利用终边相同的角的定义可得出结果. 【详解】因为，故与终边相同的最小正角为. 故答案为：. 14.（2023春·高一课时练习）已知﹣990°＜α＜﹣630°，且α与120°角终边相同，则α= ． 【答案】﹣960°． 【详解】试题分析：α与120°角终边相同，可表示为α=k•360°+120°，k∈Z，结合角的范围，可得结论． 解：α与120°角终边相同，∴α=k•360°+120°，k∈Z． ∵﹣990°＜k•360°+120°＜﹣630°， ∴﹣1110°＜k•360°＜﹣750°．又k∈Z， ∴k=﹣3，此时α=（﹣3）×360°+120°=﹣960°． 故答案为﹣960°． 15．（2024·全国·高一课堂例题）在区间内找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)280°，第四象限角 (2)160°，第二象限角 (3)，第三象限角 【分析】通过角的终边所成角为，分别对各个小问进行化简，并在区间内找出与之终边相同的角，并判定它是第几象限角． 【详解】（1）因为，所以在区间内，与角终边相同的角是280°，它是第四象限角． （2）因为，所以在区间内，与1600°角终边相同的角是160°，它是第二象限角． （3）因为，所以在区间内，与角终边相同的角是，它是第三象限角． 16．（2024·全国·高一随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）根据终边相同角的定义可写出满足条件的角的集合，然后解不等式，求出满足条件的整数的值，即可得出满足条件的元素. 【详解】（1）解：与终边相同的角的集合为， 由，可得， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，适合不等式的元素为、、. （2）解：因为， 所以，与终边相同的角的集合为， 由，可得， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，适合不等式的元素为、、. （3）解：因为， 所以，与终边相同的角的集合为， 由，可得、、， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，适合不等式的元素为、、. （4）解：因为， 所以，与终边相同的角的集合为， 由，可得， 当时，， 当时，， 当时，. 所以，适合不等式的元素为、、. 17.（2023春·山东威海·高一统考期末）下列角的终边与角的终边关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，与角的终边关于轴对称的角为 当时，，正确. 经验证，其他三项均不符合要求. 故选：. （二）终边在某条直线上的角的集合 18.（2023·全国·高三专题练习）若角的终边在函数的图象上，试写出角的集合为 ． 【答案】 【详解】解：函数的图象是第二、四象限的平分线，在～范围内，以第二象限射线为终边的角为，以第四象限射线为终边的角为， ∴的集合为或． 故答案为：． 19.（2023春·高一课时练习）在直角坐标系中写出下列角的集合： (1)终边在轴的非负半轴上； (2)终边在上． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在0°～360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个，它是0°， 所以终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为. （2）在0°～360°范围内，终边在y=x(x≥0)上的角有一个，它是45°， 所以终边在y=x(x≥0)上的角的集合为. 20.（2023·全国·高一假期作业）写出终边在如图所示的直线上的角的集合．    【答案】答案见解析 【详解】（1）在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°， 又所有与0°角终边相同的角的集合为， 所有与180°角终边相同的角的集合为， 于是，终边在直线y＝0上的角的集合为． （2）由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°， 因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为． （3）结合（2）知所求角的集合为 同理可得终边在直线y＝x、y=-x上的角的集合为，． 考点三 象限角及区域角的表示 （一）确定角所在的象限 21．（2024·江苏南京·高一南京市第十三中学校考期中）的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】应用终边相同的角即可求解. 【详解】的终边与相同，则终边在第一象限. 故选：A． 22.（2024·全国·高一专题练习）角是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因为，根据终边相同角的集合知，与终边相同， 又是第二象限角.故选：B. 23．（2024·全国·高一专题练习）若，，则所在象限是（    ） A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【答案】A 【分析】对进行赋值即可判断. 【详解】当时，为第一象限角，当时，为第三象限角， 故选：A. 24．【多选】（2024·湖南株洲·高一统考开学考试）已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】CD 【分析】求出给定的各个角与到间终边相同的角，即可作答. 【详解】对于①，，而是第三象限角，①不是； 对于②，角的终边为x轴非正半轴，②不是； 对于③，，是第二象限角，③是； 对于④，，是第二象限角，④是. 故选：CD 25．（2024·全国·随堂练习）如果角α为锐角，那么，所在的象限是 ． 【答案】一或三 【分析】已知α为锐角，要确定，所在的象限，只需对分类讨论即可. 【详解】因为角α为锐角，所以角α为第一象限角， 当为偶数时，，为第一象限角， 当为奇数时，，为第三象限角， 综上所述：，所在的象限是一或三. 故答案为：一或三. 26.（2024·全国·高一专题练习）若角是第二象限角，则角的终边所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】角是第二象限角，则, 所以， 故角的终边在第三象限，故选：C 27．（2024·天津河东·高三校考阶段练习）若是第二象限角，则是 象限 【答案】第一或第三 【分析】先求出在第二象限时的表示，再求出的表示，最后讨论偶数和奇数的情况，即可得出结论. 【详解】由题可知，第二象限角， 所以， 所以， 当为偶数时，在第一象限； 当为奇数时，在第三象限. 故答案为：第一或第三 28.（2023春·江西抚州·高一资溪县第一中学校考期中）已知是第一象限角，那么（    ） A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角 C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角 【答案】B 【详解】因为是第一象限角， 所以，， 所以，， 当为偶数时，是第一象限角， 当为奇数时，是第三象限角， 综上所述，第一、三象限角. 故选：B. 29.（2023·全国·高三专题练习）已知角第二象限角，且，则角是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【详解】因为角第二象限角，所以， 所以， 当是偶数时，设，则， 此时为第一象限角； 当是奇数时，设，则， 此时为第三象限角.； 综上所述：为第一象限角或第三象限角， 因为，所以，所以为第三象限角． 故选：C． 30.【多选】（2023春·江西宜春·高一校考阶段练习）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【详解】是第三象限的角，则，， 所以，； 当，，在第一象限； 当，，在第三象限； 当，，在第四象限； 所以可以是第一、第三、或第四象限角． 故选：ACD 31．（2024·全国·高一随堂练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的终边在第二或第四象限 (2)的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上 (3)的终边在第二､第三或第四象限 (4)的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上 【分析】由为第四象限角可知，根据不等式的性质可得，，，角终边所在区域，对分类讨论可得角终边所在的位置. 【详解】（1）由于为第四象限角，所以， 所以， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二或第四象限； （2）由（1）得， 所以的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上. （3）由（1）得， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第三象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二､第三或第四象限； （4）由（1）得，即， 所以的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上. （二）区域角 32．（2024·四川眉山·高一校考期中）（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．          （2）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角． 【答案】（1）答案见解析；（2）；是第一象限角． 【分析】（1）根据终边相同的角及角的概念求解即可得； （2）根据弧度制与角度概念转化书写即可. 【详解】（1）① ； ②． （2）∵，∴． 又，所以与终边相同，是第一象限角． 33．（2024·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为 ．    【答案】． 【分析】写出阴影部分边界处终边相同的角，再表示出阴影部分角的集合. 【详解】由图，阴影部分下侧终边相同的角为，上侧终边相同的角为且， 所以阴影部分（包括边界）的角的集合为. 故答案为： 34．（2024·高一课时练习）已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据图形先求出终边在角的终边所在直线上的角的集合和终边在角的终边所在直线上的角的集合，从而可求出角的取值范围，进而可求得的取值范围 【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 因此终边在题图中的阴影区域内的角的取值范围是， 所以角的取值范围是， 故答案为： 35.（2023秋·高一课时练习）写出终边落在图中阴影区域内的角的集合． (1)   (2)   【答案】(1) (2) 【详解】（1）在范围内，图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为， 因此，阴影部分区域所表示的集合为； （2）图中从第四象限到第一象限阴影部分区域表示的角的集合为， 图中从第二象限到第三象限阴影部分区域所表示的角的集合为 ， 因此，阴影部分区域所表示角的集合为 . 36.（2023秋·高一课时练习）已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是 ． 【答案】 【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 因此终边在题图中的阴影区域内的角的取值范围是， 所以角的取值范围是， 故答案为： 考点四 弧度制的概念 37.（2023春·高一课时练习）下列说法正确的是（ ） A．弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中弧度的圆心角比小圆中弧度的圆心角大 C．所有圆心角为弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 【答案】A 【详解】对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误． 考点：弧度制的概念. 38.（2023春·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，小链轮转过的弧度是.故选B. 39.（2023·全国·高一专题练习）亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的弧度数为 . 【答案】 【详解】因为钟表的分针转了两圈，且是按顺时针方向旋转，所以钟表的分针转过的弧度数为. 故答案为：. 40.【多选】（2023春·高一课时练习）钟表在我们的生活中随处可见，高一某班的同学们在学习了“任意角和弧度制”后，对钟表的运行产生了浓厚的兴趣，并展开了激烈的讨论，若将时针与分针视为两条线段，则下列说法正确的是（    ） A．小赵同学说：“经过了5 h，时针转了．” B．小钱同学说：“经过了40 min，分针转了．” C．小孙同学说：“当时钟显示的时刻为12:35时，时针与分针所夹的钝角为．” D．小李同学说：“时钟的时针与分针一天之内会重合22次．” 【答案】ACD 【详解】解：经过了5 h，时针转过的角度对应的弧度数为，故A正确． 经过了40 min，分针转过的角度对应的弧度数为，故B错误． 时钟显示的时刻为12:35，该时刻的时针与分针所夹的钝角为，故C正确． 分针比时针多走一圈便会重合一次，设分针走了t min，第n次和时针重合，则，得，故，故D正确． 故选：ACD 41.（2023秋·高一课时练习）若，则角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】由于， 故角的终边在第一象限， 故选：A 考点五 角度制与弧度制的互化 42.（2023·全国·高一课堂例题）把下列各角从度化为弧度： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）； （2）． 43．（2024·全国·高一专题练习）把下列角度与弧度进行互化． (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）由弧度制和角度值的转化公式解即可得出答案. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. （7）. （8）. （9） （10）. 44.（2023秋·天津武清·高三校考阶段练习）化为角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B 45．（2024·江苏·高一专题练习）将下列各弧度化成角度. (1) (2) (3) (4)-3 【答案】(1)-15° (2)135° (3)210° (4)-171°54′ 【分析】根据弧度制的定义，可得答案. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 46．（2024·全国·高一随堂练习）把下列各角化成的形式，并指出它们是哪个象限的角： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，是第四象限角； (2)，是第二象限角； (3)，是第三象限角； (4)，是第一象限角. 【分析】根据弧度制与角度制的转化和终边相同角的定义即可得到答案. 【详解】（1），是第四象限角； （2），是第二象限角； （3），是第三象限角； （4），是第一象限角. 47．（2024·江西赣州·高一校联考期中）已知. (1)将写成的形式，并指出它是第几象限角； (2)求与终边相同的角，满足． 【答案】(1)，是第四象限角； (2)或. 【分析】（1）利用，将角度值化为弧度制，并得到所在象限； （2）由，根据的范围求出的值，从而可求解. 【详解】（1）因为,， 所以. 因为，所以是第四象限角. （2）， 所以与终边相同的角可表示为, 令，解得， 所以. 当时， ； 当时， . 所以或. 考点六 用弧度制表示有关的角 48.（2023·全国·高一专题练习）下列与终边相同角的集合中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为角度值和弧度制不能混用，故A、B错误； 因为，故C正确； 对于选项D：因为， 则与终边不相同，故D错误； 故选：C. 49．（2024·全国·高三专题练习）与终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角度的表示方法分析判断AB，根据终边相同的角的定义分析判断CD. 【详解】在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误． 与终边相同的角可以写成的形式， 时，，315°换算成弧度制为，所以C错误，D正确． 故选：D． 50．（2024·高一课时练习）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将化为弧度，利用终边相同的角的定义可得结果. 【详解】因为，故与角的终边相同的角的集合为. 故选：D. 51.（2023·全国·高一专题练习）将－1485°化成的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，，所以－1485°可化成． 故选：D． 52.（2023·全国·高一专题练习）写出一个与角终边相同的正角： （用弧度数表示）. 【答案】（答案不唯一，符合，即可） 【详解】与角终边相同的角： 又题目要求正角，可取，化为弧度数为.答案不唯一 故答案为：（答案不唯一，符合，即可） 53.（2023春·江西赣州·高一校联考期中）已知. (1)将写成的形式，并指出它是第几象限角； (2)求与终边相同的角，满足． 【答案】(1)，是第四象限角； (2)或. 【详解】（1）因为,， 所以. 因为，所以是第四象限角. （2）， 所以与终边相同的角可表示为, 令，解得， 所以. 当时， ； 当时， . 所以或. 54．（2024·全国·高三专题练习）终边在直线上的角的集合为 ． 【答案】 【分析】由任意角与弧度制的定义求解， 【详解】由题意得与轴的夹角为， 故终边在直线上的角的集合为， 故答案为： 55．（2024·高一课时练习）用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合： (1)   (2)   【答案】(1) (2) 【分析】首先找到对应边界的终边表示的角，再写成集合形式. 【详解】（1）边界对应射线所在终边的角分别为，， 所以终边在阴影部分的角的集合为. （2）边界对应射线所在终边的角分别为，，，， 所以终边在阴影部分的角的集合为 56.（2023·全国·高一课堂例题）用弧度分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合．（如无特别说明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）    【答案】图1；图2 【详解】（1）角的终边可以看作是角的终边，化为弧度，即，角的终边即的终边， 所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为． （2）与（1）类似可写出终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为 ． 57.（2023·全国·高三专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样； 当时，，此时表示的范围与表示的范围一样， 故选：C． 考点七 扇形的弧长、面积 58.（2023秋·江西抚州·高二江西省乐安县第二中学校考开学考试）若扇形的圆心角为，半径.则它的弧长为 . 【答案】 【详解】因为，又扇形的圆心角为，半径为， 所以它的弧长为， 故答案为： 59．（2024·上海松江·高三校考期中）若一扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为 . 【答案】/ 【分析】直接根据扇形的弧长公式求解即可． 【详解】，， 故答案为：. 60．（2024·山东淄博·高一校联考期中）已知扇形面积，半径是1，则扇形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由扇形的面积公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设扇形的弧长为，由扇形的面积公式可得，，即，所以， 则扇形的周长为. 故选：C 61.（2023春·江西吉安·高一校联考期中）已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为 . 【答案】 【详解】设扇形的半径为，由题意可得，解得， 所以扇形的周长为. 故答案为：. 62．（2024·重庆·高三西南大学附中校考期中）已知扇形的圆心角是，半径为，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积. 【详解】因为扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的面积为. 故选：D. 63．（2024·全国·高一专题练习）已知扇形的圆心角为，其弧长为，则这个扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】结合弧长求出扇形的半径，利用扇形的面积公式，即可求解． 【详解】设扇形的半径为r，扇形的圆心角为，即， 则，解得， 故这个扇形的面积为． 故答案为：． 64.（2023·全国·高一课堂例题）若扇形的面积是，它的周长是，则扇形圆心角（正角）的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，由题意，得， 由得，，代入， 得，解得或（舍去）． 故扇形圆心角的弧度数为． 故选：A 65．（2024·全国·高一专题练习）已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形的半径为 ，弧长为 . 【答案】 /1.5 【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为， 因为扇形AOB的面积为，圆心角为， 由扇形的面积，可得：，解得：， 可得扇形的弧长. 故答案为：；． 66．（2024·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期中）已知某时钟的分针长，时间经过5分钟，则时针转过的角为 弧度，分针扫过的扇形的面积为 【答案】 【分析】根据一周为12小时，圆周角为，进而求得时针转过的角，再由求扇形面积. 【详解】解；由题意得时针转过的角为， 分针转过面积为． 故答案为：； 67．（2024·上海·高三上海市进才中学校考期中）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分．若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为 ．    【答案】 【分析】设扇形的半径为，利用扇形的面积公式求出的值，然后利用扇形的面积减去三角形的面积可得出弧田的面积. 【详解】设扇形的半径为，则扇形的面积为，解得， 取的中点，连接，如下图所示：    因为，则， 又因为，则， 所以，，，则， 所以，， 因此，弧田的面积为. 故答案为：. 68.（2023春·上海松江·高一统考期中）建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ．    【答案】 【详解】设圆心角为，则， 所以，解得，所以， 所以此扇环形砖雕的面积为 . 故答案为： 69.（2023·全国·高一假期作业）工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，已知扇面展开的中心角为，外圆半径为40cm，内圆半径为20cm，那么制作这样一面扇面至少需要用布料为 cm2    【答案】400π 【详解】解：根据题意，由扇形的面积公式可得： 制作这样一面扇面需要的布料为. 故答案为：400π 考点八 扇形中的最值问题 70．（2024·高一单元测试）若有一扇形的周长为60 cm，那么扇形的最大面积为 . 【答案】225 【分析】设扇形的半径为，弧长为，根据扇形的周长、面积和半径、弧长的关系建立二次函数关系，从而求出最大值即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，扇形的面积为： ， 当时，取得最大值，最大值为， 所以扇形面积的最大值为. 故答案为：225. 71．（2024·全国·高三专题练习）若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 . 【答案】2 【分析】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可得弧度数. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，即， 所以扇形面积， 所以当时，取得最大值为，此时， 所以圆心角为（弧度）. 故答案为：2 72.（2023秋·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】设扇形的半径为，弧长为，由已知得， 扇形面积为， 当且仅当，即时等号成立，此时，则圆心角， 故选：D. 73．（2024·辽宁沈阳·高一校联考期中）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由扇形弧长公式计算； （2）由扇形面积公式及二次函数求最值即可. 【详解】（1）设扇形的弧长为l． 因为，即， 所以． （2）由题设条件，知，则， 所以扇形的面积． 当时，S有最大值36， 此时， 所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36． 74．（2024·上海宝山·高一校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l． (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【答案】(1) (2)扇形周长的最小值为，此时 【分析】（1）先将圆心角化为弧度制，再根据弧长公式即可得解； （2）根据扇形的面积公式求得的关系，再利用基本不等式即可得出答案. 【详解】（1）因为，， 所以扇形的弧长； （2）由扇形面积，得， 则扇形周长为， 当且仅当，即时，取等号， 此时，，所以， 所以扇形周长的最小值为，此时. 75．（2024·湖北宜昌·高一校联考期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． 【答案】(1)； (2)当时，y的值最大，最大值为． 【分析】(1)根据弧长公式和周长列方程得出关于的函数解析式； (2)根据面积公式求出关于的函数表达式，根据二次函数性质可得的最大值． 【详解】（1）根据题意，弧的长度为米，弧的长度米， ， ． （2）依据题意，可知， 化简得：，， 当，． ∴当时，y的值最大，且最大值为． $$