精品解析：福建省福州市六校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题

2023—2024学年第二学期高一年段期末六校联考 数学试卷 （满分：150分，完卷时间：120分钟） 命题学校：连江黄如论中学 第一部分（选择题共58分） 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数乘法运算化简复数，再根据复数的几何意义确定对应点所在的象限. 【详解】因为， 所以该复数在复平面内对应的点为，在第四象限. 故选：D 2. 甲､乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则甲､乙两人一起破译这份密码，密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案． 【详解】根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是， 则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率， 故该密码被成功破译的概率． 故选：C． 3. 已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出，根据数量积的定义求出，最后根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，所以，又向量，的夹角为，且， 所以， 所以在方向上的投影向量为. 故选：D 4. 已知三条不重合的直线和平面，下列命题中是真命题的为（ ） A. 若直线和平面所成的角相等，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面角的定义可得A错误，由异面直线定义以及线线垂直的位置关系可判断BC错误，由线面垂直性质可得D正确. 【详解】对于A，若直线和平面所成的角相等，则直线可以相交或异面或平行，即A错误； 对于B，若，则直线可以相交或异面或平行，即B错误； 对于C，若，则可能是，即C错误； 对于D，若，由线面垂直性质可得，即D正确. 故选：D 5. 进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】查出20个随机数中表示今后3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数的个数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有： 116 812 730 217 109 361 284 147 318 027共10个， 故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是， 故选：B 6. 如图所示，在中，为BC边上的三等分点，若，，为AD中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】 故选：A 7. 在中，角的对边分别为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理，边角互化建立a,b关系，再利用余弦定理求出a,b，代入面积公式求出面积即可. 【详解】在中，因，由正弦定理可得， 由余弦定理得：，解得， 所以的面积为． 故选：A． 8. 已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设球O的半径为R，的外心为，由题意，可得外接圆的半径及面积，即可得，代入体积公式，结合题意，可求得R值，代入球的表面积公式，即可得答案. 【详解】设球O的半径为R，的外心为， 由题意得外接圆半径为，面积为， 所以， 所以最大值， 所以，即，解得， 所以球O的表面积为. 故选:A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（ ） A. 的值为0.005； B. 估计成绩低于60分的有25人 C. 估计这组数据的众数为75 D. 估计这组数据的第85百分位数为86 【答案】ACD 【解析】 【分析】由所有组频率之和为1求得a，再根据频率直方图中频数、众数及百分位数的求法可得结果. 【详解】对于A，由，得.故A正确； 对于B，估计成绩低于60分的有人.故B错误； 对于C，由众数的定义知，估计这组数据的众数为75.故C正确； 对于D，设这组数据的第85百分位数为m，则， 解得：，故D正确. 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知事件A，B，且，，如果，那么， B. 对于单峰的频率分布直方图而言，若直方图在右边“拖尾”，则平均数大于中位数 C. 若A，B是两个互斥事件，则 D. 若事件A，B，C两两独立，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据事件的包含关系可判断A；根据频率分布直方图中平均数和中位数的估计，可判断B;利用可判断C；举反例判断D. 【详解】对于 A，如果，则，故，，故，故A错误； 对于B，对于单峰的频率分布直方图而言，如果左右对称，则中位数和平均数大致相等，若直方图在右边“拖尾”，则平均数将变大，更远离峰值处，中位数位于单峰附近， 故平均数大于中位数，B正确； 对于C，因为是两个互斥事件，故 , 所以,故C正确； 对于D，举例如从1、2、3、4四个数字中随机取一个，即事件A=“取出的数字为1或2”，事件B=“取出的数字为1或3”，事件C=“取出的数字为1或4”， AB=BC=AC=ABC=“取出的数字为1”， 则，， 满足，,, 即事件两两独立，但 ,故D错误， 故选：BC 11. 如图，棱长为的正方体中中，下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 直线与平面所成的角为 C. 二面角平面角的正切值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可知异面直线与所成角为（或其补角），由长度关系可知A正确；由线面角定义可知所求角为，由长度关系知B错误；由二面角平面角定义可知所求角为，通过可知C正确；利用割补法可求得，由棱锥体积公式可构造方程求得点面距离，知D正确. 【详解】对于A，连接， ，，四边形为平行四边形，， 异面直线与所成角即为直线与所成角，即（或其补角）， ，为等边三角形，， 即异面直线与所成角为，A正确； 对于B，连接， 平面，即为直线与平面所成角， ，，，， ，即直线与平面所成角不是，B错误； 对于C，连接，交于点，连接， 四边形为正方形，，为中点， ，， 二面角的平面角为， 平面，平面，， 又，，， ， 即二面角的正切值为，C正确； 对于D，连接， ，， ， 又，， 设点到平面的距离为，则，解得：， 即点到平面的距离为，D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正四棱锥中，，则该棱锥的体积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用勾股定理算出底面中心到顶点的距离为，再由锥体的体积公式加以计算，即可得到该棱锥的体积． 【详解】在平面上的投影是，因为是正四棱锥， 所以是正方形对角线的交点，连结， ，， 所以，于是. 故答案为：. 13. 在对某中学高一年级学生身高（单位：）调查中，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30，根据这些数据计算出总样本的平均数为__________，方差为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用分样本平均数和方差与总样本的平均数和方差的关系，代入计算即可得出结论. 【详解】易知总样本的平均数为， 代入公式可得总样本的方差为； 因此总样本的平均数为，方差为； 故答案为：；. 14. 设样本空间含有等可能的样本点，且事件，事件，事件，使得，且满足两两不独立，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型概率计算及相互独立性推测即可. 【详解】由题意，，所以， 所以是共同的唯一的样本点，又两两不独立，即，，， 可见不可以为或，所以为或，即. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数是方程的一个虚根（是虚数单位，）． （1）求； （2）复数，若为纯虚数，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件得到方程组，求出的值，即可得解； （2）首先根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的类型得到方程（不等式）组，解得即可. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴且，∴， ∴，则. 【小问2详解】 ∵， 又为纯虚数，∴且， ∴. 16. 已知向量满足，，． （1）求向量的夹角的大小； （2）设向量，若的夹角为锐角，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的模公式及向量的夹角公式即可求解； （2）根据向量夹角与向量数量积的关系即可求解. 【小问1详解】 由，两边平方得， ∵，， ，解得， , ， . 【小问2详解】 向量的夹角为锐角，等价于且方向不同． 所以,解得， 若方向相同，设， ， ∵不共线， ，解得， 综上所述，的取值范围是. 17. 新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）． （1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求这组中至少有1人被抽到的概率． 【答案】（1），平均分为； （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1可计算出值，然后用每组区间的中点值乘以相应频率再相加可得平均值； （2）由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数，并编号，用列举法写出随机抽取的2人的所有基本事件，由概率公式计算概率． 【小问1详解】 由频率分布直方图，，， 平均分为； 【小问2详解】 由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数比为， 抽取的6人中成绩位于上的有4人，编号为1，2，3，4，位于上的有2人，编号为， 从这6人中任取2人的基本事件有：共15个，其中这组中至少有1人被抽到的基本事件有共9个，所以所求概率为． 18. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接、． 为的中点，且． 平面，平面， ，． 又，． 四边形为平行四边形，则． 平面，平面， 平面． AI    （2）证明：为等边三角形，为的中点，． 平面，平面，． ，所以，， 又，平面， 平面． 平面，平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得证． （2）通过证明，，从而得到，，即可证明平面，进而证明平面平面． （3）在平面内，过作于，由平面平面，得平面，故为和平面所成的角，解求出的正弦值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 在平面内，过作于，连接． 平面平面，平面平面，平面， 平面． 为和平面所成的角． 因为，，则，， 在中，， 直线和平面所成角的正弦值为． 19. 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知，且． （1）求的值； （2）求的面积； （3）设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先利用正弦定理将角化为边，再根据余弦定理，即可求解； （2）首先根据三角形的面积公式求解和的正弦和余弦，再利用两角和的正弦公式求，最后代入三角形的面积公式； （3）根据向量的线性关系，以及平面向量基本定理，表示，再利用所设变量，转化为函数关系求值域. 【小问1详解】 由， 由正弦定理，可得， 由余弦定理，可得， 得，且，所以； 【小问2详解】 由为边上中线，可得， 则， 由，可得， 则，则， 则， ， 则； 【小问3详解】 由，可得， 设， 由的面积为面积的，可得， 则，则，设，由为中线，可得， 则，由共线可得， ， 由可得， 由，可得，则 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是由面积公式得，从而利用向量转化求数量积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第二学期高一年段期末六校联考 数学试卷 （满分：150分，完卷时间：120分钟） 命题学校：连江黄如论中学 第一部分（选择题共58分） 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 甲､乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则甲､乙两人一起破译这份密码，密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知三条不重合的直线和平面，下列命题中是真命题的为（ ） A. 若直线和平面所成的角相等，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在中，为BC边上的三等分点，若，，为AD中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（ ） A. 的值为0.005； B. 估计成绩低于60分的有25人 C. 估计这组数据的众数为75 D. 估计这组数据的第85百分位数为86 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知事件A，B，且，，如果，那么， B. 对于单峰的频率分布直方图而言，若直方图在右边“拖尾”，则平均数大于中位数 C. 若A，B是两个互斥事件，则 D. 若事件A，B，C两两独立，则 11. 如图，棱长为的正方体中中，下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 直线与平面所成的角为 C. 二面角平面角的正切值为 D. 点到平面的距离为 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正四棱锥中，，则该棱锥的体积为____________． 13. 在对某中学高一年级学生身高（单位：）调查中，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30，根据这些数据计算出总样本的平均数为__________，方差为__________. 14. 设样本空间含有等可能的样本点，且事件，事件，事件，使得，且满足两两不独立，则______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数是方程的一个虚根（是虚数单位，）． （1）求； （2）复数，若为纯虚数，求实数的值． 16. 已知向量满足，，． （1）求向量的夹角的大小； （2）设向量，若的夹角为锐角，求实数k的取值范围． 17. 新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）． （1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求这组中至少有1人被抽到的概率． 18. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值． 19. 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知，且． （1）求的值； （2）求的面积； （3）设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $