两条直线的位置关系 专项训练——2025届高三数学一轮复习

两条直线的位置关系 一、单项选择题 1．点A(2，5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为(　　) A．2　　 B．　 C．　　 D． 2．已知直线l1：ax＋2y＋1＝0，l2：(3－a)x－y＋a＝0，则条件“a＝1”是“l1⊥l2”的(　　) A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝(　　) A．4 　 B．2 C． 　 D． 4．当点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为(　　) A． 　 B．0 C．－1 　 D．1 5．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于(　　) A．2 　 B．2 C．2 　 D．4 6．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)，若直线l上存在点P，使得|PA|＋|PB|最小，则点P的坐标为(　　) A．(－2，－3) 　 B．(－2，3) C．(2，3) 　 D．(－2，2) 7．光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有(　　) A．a＝，b＝6 　 B．a＝－3，b＝ C．a＝3，b＝－ 　 D．a＝－，b＝－6 8．已知实数a＞0，b＜0，则的取值范围是(　　) A．[－2，－1) 　 B．(－2，－1) C．(－2，－1] 　 D．[－2，－1] 二、多项选择题 9．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直线l2与直线l1相交于点B，且|AB|＝5，则直线l2的方程为(　　) A．x＝1 　 B．y＝－1 C．3x＋4y＋1＝0 　 D．4x＋3y－1＝0 10．已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是(　　) A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直 B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0) C．不论a为何值时，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称 D．如果l1与l2交于点M，O为坐标原点，则|MO|的最大值是 三、填空题 11．已知两直线a1x＋b1y－1＝0和a2x＋b2y－1＝0的交点为P(2，3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为________． 12．若直线l1：x＋my＋6＝0与l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0互相平行，则m的值为________，它们之间的距离为________． 四、解答题 13．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程． 14．一条光线经过点P(2，3)射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q(1，1)，求： (1)入射光线所在直线的方程； (2)这条光线从P到Q所经过的路线的长度． 参考答案 1．C　[由题意得d＝＝.故选C.] 2．B　[若l1⊥l2，则(3－a)a－2×1＝0，解得a＝1或a＝2，所以“a＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选B.] 3．A　[直线y＝－2x＋4与直线y＝x＋2的交点， 满足解得 由于该点在直线y＝kx上， 故＝，解得k＝4.故选A.] 4．C　[直线mx－y＋1－2m＝0过定点Q(2，1)， 所以点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，PQ垂直该直线，即m×＝－1，所以m＝－1.故选C.] 5．B　[因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行， 直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为＝， 3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之间的距离为＝， 于是有＝，得|c1－c2|＝2.故选B.] 6．B　[根据题意画出大致图象，如图． 设点A关于直线x－2y＋8＝0的对称点为A1(m，n)， 则有 解得故A1(－2，8)． 此时直线A1B的方程为x＝－2．所以当点P是直线A1B与直线x－2y＋8＝0的交点时，|PA|＋|PB|最小，将x＝－2代入x－2y＋8＝0，得y＝3，故点P的坐标为(－2，3)．故选B.] 7．D　[由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，所以直线y＝ax＋2上的点(0，2)关于直线y＝－x的对称点(－2，0)在直线y＝－3x＋b上，所以(－3)×(－2)＋b＝0，所以b＝－6，所以直线y＝－3x－6上的点(0，－6)关于直线y＝－x的对称点(6，0)在直线y＝ax＋2上，所以6a＋2＝0，所以a＝－.故选D.] 8．A　[根据题意，设直线l：ax＋by＝0恒过原点，点A(1，－)， 那么点A(1，－)到直线l的距离为 d＝. 因为a＞0，b＜0，所以d＝，且直线l的斜率k＝－＞0，当直线l的斜率不存在时，d＝＝1， 所以d＞1. 当OA⊥l时，dmax＝|OA|＝＝2， 所以1＜d≤2，即1＜≤2， 因为＝－， 所以－2≤＜－1.故选A.] 9．AC　[因为点B在直线l1：2x＋y－6＝0上，设点B(x0，6－2x0)，因为A(1，－1)，则|AB|＝＝5，解得x0＝1或x0＝5，则B点坐标为(1，4)或(5，－4)． 当B点坐标为(1，4)时，直线l2的方程为x＝1， 当B点坐标为(5，－4)时，直线l2的方程为＝，即3x＋4y＋1＝0.故选AC.] 10．ABD　[∵a·1＋(－1)·a＝0恒成立， ∴l1与l2互相垂直恒成立，故A正确； 直线l1：ax－y＋1＝0，当a变化时，x＝0，y＝1恒成立，所以l1恒过定点A(0，1)； l2：x＋ay＋1＝0，当a变化时，x＝－1，y＝0恒成立，所以l2恒过定点B(－1，0)，故B正确； 在l1上任取点(x，ax＋1)，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为(－ax－1，－x)， 代入l2：x＋ay＋1＝0，则等式左边不恒等于0，C不正确； 联立 解得 所以|MO|＝＝， 所以|MO|的最大值是，D正确．故选ABD.] 11．2x＋3y－1＝0　[∵P(2，3)在已知的两条直线上，∴ ∴点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)是直线2x＋3y－1＝0上的两个点，故过Q1，Q2两点的直线方程为2x＋3y－1＝0．] 12．－1　　[由题知，1×3＝m(m－2)且1×2m≠6(m－2)，解得m＝－1，则l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，则两平行直线间的距离为d＝＝.] 13．解：依题意知kAC＝－2，A(5，1)，所以直线AC的方程为2x＋y－11＝0，联立直线AC和直线CM的方程，得所以C(4，3)．设B(x0，y0)，AB的中点M为，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，所以所以B(－1，－3)，所以kBC＝，所以直线BC的方程为y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0. 14．解：(1)设点Q′(x′，y′)为点Q关于直线l的对称点，QQ′交l于点M，∵kl＝－1，∴kQQ′＝1，∴QQ′所在直线的方程为y－1＝1×(x－1)，即x－y＝0. 由解得 ∴交点M，∴ 解得 ∴Q′(－2，－2)． 设入射光线与l交于点N，则P，N，Q′三点共线， 又P(2，3)，Q′(－2，－2)， ∴入射光线所在直线的方程为＝， 即5x－4y＋2＝0. (2)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′| ＝＝， 即这条光线从P到Q所经路线的长度为 学科网（北京）股份有限公司 $$