利用导数解决恒(能)成立问题 专项训练——2025届高三数学一轮复习

利用导数解决恒(能)成立问题 1．已知函数f (x)＝ax3－bx2－9x－1在x＝－1处取得极值4. (1)求a，b的值； (2)若存在x∈[2，4]，使3λ－λ2≥f (x)成立，求实数λ的取值范围． 2．已知函数f (x)＝ln x＋，a∈R.当x≥1时，关于x的不等式f (x)≤x－2a恒成立，试求实数a的取值范围． 3．已知函数f (x)＝x－(a＋1)ln x－(a∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex. (1)当x∈[1，e]时，求f (x)的最小值； (2)当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f (x1)＜g(x2)恒成立，求a的取值范围． 4．已知函数f (x)＝aex. (1)讨论函数F(x)＝f (x)＋x的单调性； (2)当x>2时，f (x)>ln －2，求a的取值范围． 参考答案 1．解：(1)f (x)＝ax3－bx2－9x－1，则f ′(x)＝3ax2－2bx－9. 因为函数f (x)＝ax3－bx2－9x－1在x＝－1处取得极值4， 所以解得 此时f ′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)． 易知f (x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增， 则x＝－1是函数f (x)的极大值点，符合题意．故a＝1，b＝3. (2)若存在x∈[2，4]，使3λ－λ2≥f (x)成立，则3λ－λ2≥f (x)min. 由(1)得，f (x)＝x3－3x2－9x－1， 且f (x)在[2，3)上单调递减，在(3，4]上单调递增， 所以f (x)min＝f (3)＝27－27－27－1＝－28， 所以3λ－λ2≥－28，即λ2－3λ－28≤0，解得－4≤λ≤7， 所以实数λ的取值范围是[－4，7]. 2．解：当x≥1时，f (x)≤x－2a，即ln x＋≤x－2a，即a≤恒成立． 构造函数g(x)＝(x≥1)，g(1)＝， g′(x)＝， 构造函数h(x)＝2x2－ln x－1(x≥1)，h′(x)＝4x－＝＝＞0， 所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，h(1)＝1＞0， 所以g′(x)＞0在[1，＋∞)上成立， 所以g(x)≥g(1)＝， 所以a≤，即a的取值范围是. 3．解：(1)f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝. ①若a≤1，当x∈[1，e]时，f ′(x)≥0， f (x)在[1，e]上单调递增，f (x)min＝f (1)＝1－a. ②若1＜a＜e， 当x∈[1，a]时，f ′(x)≤0，f (x)单调递减； 当x∈[a，e]时，f ′(x)≥0，f (x)单调递增． 所以f (x)min＝f (a)＝a－(a＋1)ln a－1. ③若a≥e，当x∈[1，e]时，f ′(x)≤0，f (x)在[1，e]上单调递减，f (x)min＝f (e)＝e－(a＋1)－. 综上，当a≤1时，f (x)min＝1－a； 当1＜a＜e时，f (x)min＝a－(a＋1)ln a－1； 当a≥e时，f (x)min＝e－(a＋1)－. (2)由题意知f (x)(x∈[e，e2])的最小值小于g(x)(x∈[－2，0])的最小值． 由(1)知f (x)在[e，e2]上单调递增， 所以f (x)min＝f (e)＝e－(a＋1)－， 又g′(x)＝(1－ex)x， 所以当x∈[－2，0]时，g′(x)≤0，g(x)单调递减， 则g(x)min＝g(0)＝1， 所以e－(a＋1)－＜1， 解得a＞， 所以a的取值范围为 . 4．解：(1)F′(x)＝aex＋1，定义域为R. 当a≥0时，F′(x)>0恒成立，函数F(x)在R上单调递增． 当a<0时，由F′(x)＝0，得x＝－ln (－a)， 当x<－ln (－a)时，F′(x)>0，函数F(x)单调递增，当x>－ln (－a)时，F′(x)<0，函数F(x)单调递减． 综上所述，当a≥0时，函数F(x)在R 上单调递增； 当a<0时，函数F(x)在－∞，－ln (－a))上单调递增，在上单调递减． (2)显然a>0，由f (x)>ln －2，得aex＋x＋ln a>ln (x－2)＋x－2，即ex＋ln a＋x＋ln a>eln (x-2)＋ln (x－2)，① 令g(x)＝ex＋x，不等式①即为g(x＋ln a)>gln (x－2))，因为g′(x)＝ex＋1>0，所以函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， 所以x＋ln a>ln (x－2)， 即ln a>ln (x－2)－x， 令h(x)＝ln (x－2)－x， 则h′(x)＝－1＝， 当2<x<3时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增； 当x>3时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减； 所以当x＝3时，函数h(x)取最大值h(3)＝－3， 所以ln a>－3，解得a>. 所以a的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $$