基本不等式专项训练-2025届高三数学一轮复习

基本不等式 一、单项选择题 1．已知4a2＋b2＝6，则ab的最大值为(　　) A．　　 B．　 C．　　 D．3 2．已知0<x<2，则y＝2x的最大值为(　　) A．2 　 B．4 C．5 　 D．6 3．若正数x，y满足x＋6y＝3，则的最小值为(　　) A．4 　 B． C．2 　 D．2 4．下列函数中，函数的最小值为2的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝ C．y＝ex＋e－x D．y＝log3x＋logx3(0<x<1) 5．)现设计一个两邻边长度分别为a，b的矩形广告牌，其面积为S，且S＝a－b＋5，则当该广告牌的周长l最小时，S＝(　　) A．3 　 B．4 C．5 　 D．6 6．原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是(　　) A．第一种方案更划算 B．第二种方案更划算 C．两种方案一样 D．无法确定 二、多项选择题 7．下列说法正确的有(　　) A．若x<，则2x＋的最大值是－1 B．若x>－2，则4 C．若x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最大值是2 D．若x<1，则有最大值－5 8．(2024·河南信阳模拟)已知正实数x，y满足2x＋y＝3，则(　　) A．xy 　 B．4x＋2y4 C．x2＋ 　 D． 三、填空题 9．已知a＞0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为________ ；a＋b的取值范围是________． 10．已知正实数x，y满足x＋y＝1，则x2＋y2的最小值为________；若a恒成立，则实数a的取值范围是________． 四、解答题 11．某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为多少时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)? 12．甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本是(速度v的单位为km/h)元，固定成本为a元． (1)将全程运输成本y(单位：元)表示为速度v(单位：km/h)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？ 13．某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3 m，底面为24 m2，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的背面靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左、右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14 400元．设屋子的左、右两面墙的长度均为x m(3x6)． (1)当左、右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元(a>0)，若无论左、右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 参考答案 1．B　[由题意得，6＝4a2＋b2＝(2a)2＋b2≥2·2a·b，即ab≤， 当且仅当2a＝b，即a＝，b＝或a＝－，b＝－时等号成立， 所以ab的最大值为.故选B.] 2．B　[因为0<x<2，所以y＝2x＝2≤2＝4， 当且仅当x2＝4－x2时取等号，因为0<x<2，解得x＝.故选B.] 3．A　[∵x，y为正数，x＋6y＝3， ∴＝＝＋2≥2＋2＝4，即的最小值为4.故选A.] 4．C　[当x＜0时，选项A不符合；当0＜x＜1时，log3x＜0，logx3＜0，选项D不符合；因为y＝＝＞2，故选项B不符合．因为ex＞0，e－x＞0，所以y＝ex＋e－x≥2＝2，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立．故选C.] 5．A　[由题意知a>0，b>0，且ab＝a－b＋5，所以b＝，则该广告牌的周长l＝2(a＋b)＝2＝2≥2×2＝8，当且仅当a＋1＝，即a＝1，b＝3时，取得等号，此时S＝ab＝3. 故选A.] 6．B　[设小李这两次加油的油价分别为x元/升、y元/升(x≠y)，则 方案一：两次加油平均价格为＝>， 方案二：两次加油平均价格为＝＜，故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算．故选B.] 7．ABD　[对于A，因为x<，所以2x－1<0，1－2x>0，所以2x＋＝(2x－1)＋＋1＝－＋1≤－2＋1＝－1(当且仅当x＝0时等号成立)，此时2x＋有最大值为－1，故A正确； 对于B，因为x>－2，所以x＋2>0，所以＝＝≥2＝4，当且仅当＝，即x＝2时取等号，故B正确； 对于C，因为x>0，y>0，所以x·2y≤，即2xy≤，因为x＋2y＋2xy＝8，所以2xy＝8－(x＋2y)，所以8－(x＋2y)≤，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≤－8(舍去)或x＋2y≥4(当且仅当x＝2y时等号成立)，所以x＋2y的最小值为4，故C错误； 对于D，＝＝－＋1≤－2＋1＝－5，当且仅当－(x－1)＝－，即x＝－2时，等号成立．故D正确．] 8．ABD　[因为2x＋y＝3，且x，y均为正实数，所以由基本不等式得2x＋y＝3≥2，即xy≤，4x＋2y≥2＝2＝4，当且仅当2x＝y时等号成立，A，B正确； 由不等式，得，所以4x2＋y2≥，即x2＋，当且仅当2x＝y时等号成立，C错误. 因为2x＋y＝3，所以＝(2x＋y)＝＋2＝，当且仅当y＝x时等号成立，D正确．故选ABD.] 9．[9，＋∞)　[6，＋∞)　[因为a＞0，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2，于是ab－2－3≥0，解得≤－1(舍去)或≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围是[9，＋∞)． 因为a＞0，b>0，所以a＋b＋3＝ab ≤，变形，得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号，即a＋b的取值范围是[6，＋∞)．] 10．　(－∞，9]　[因为x＋y＝1，所以xy≤＝， 所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－×2＝，当且仅当x＝y＝时取等号，即x2＋y2的最小值为. 若a≤恒成立，则a≤， 因为＝(x＋y)＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时等号成立，所以的最小值为9，即a≤9， 故实数a的取值范围是(－∞，9].] 11．解：设直角梯形的高为x cm， ∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm， ∴海报宽AD＝(x＋4)cm，海报长DC＝cm， 故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472， 当且仅当8x＝，即x＝12时，等号成立． ∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少． 12．解：(1)由题意得，可变成本为v2元，固定成本为a元，所用时间为小时，所以y＝＝1 000，定义域为(0，80]. (2)y＝1 000≥1 000×2＝1 000，当v＝时，得v＝2，因为0<v≤80， 所以当0<a≤1 600时，货车以2 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当a＞1 600时，货车以80 km/h的速度行驶，全程运输成本最小． 13．解：(1)设甲工程队的总报价为y元， 则y＝3＋14 400＝1 800＋14 400≥1 800×2＋14 400＝28 800，当且仅当x＝，即x＝4时等号成立． 故当左、右两侧墙的长度为4 m时，甲工程队的报价最低为28 800元． (2)由题意可得1 800＋14 400>，对任意的x∈[3，6]恒成立，故＞，从而>a恒成立， 令x＋1＝t，＝＝t＋＋6，t∈[4，7]. 令g(t)＝t＋＋6，则g(t)在t∈[4，7]上单调递增，故g(t)min＝12.25. 所以a的取值范围为(0，12.25)． 点拨：当f (x)＝x＋(a＞0)不能用基本不等式求最值(“＝”取不到)时，要用对勾函数的单调性 学科网（北京）股份有限公司 $$