新高二暑期学习成效检测卷-2024年新高二数学暑假衔接重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

新高二暑期学习成效检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（    ） A． B．或 C．或 D．或 2．“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 4．已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 5．如图，过圆内一点作两条弦，且过圆心，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知点，，H是直线：上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 7．双曲线与抛物线交于，两点，若抛物线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，（点，均异于原点），且与分别过，的焦点，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（    ） A． B． C． D． 10．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（    ） A． B． C．双曲线的渐近线方程为 D．直线的斜率为4 11．已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（     ） A．圆的半径为3 B．圆和圆相离 C．的最小值为 D．过点做圆的切线，则切线长最短为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．如图，在平行四边形中，，，把沿对角线折起，使与夹角为，则= ．    13．已知圆，从坐标原点O向圆C作两条切线OP，OQ，切点分别为P，Q，若，则的取值范围是 ． 14．已知为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 16．（15分）（1）已知直线方程： ，：，求出实数m分别取何值时，与分别：相交、平行、垂直； （2）已知曲线C的方程为，求过点且与曲线C相切的直线方程. 17．（15分）已知、是双曲线的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 18．（17分）如图，在圆锥中，为圆的直径，为圆弧的两个三等分点，为的中点，； (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 19．（17分）已知圆心在x轴上移动的圆经过点，且与x轴，y轴分别交于两个动点． (1)求点的轨迹方程E; (2)设P,Q是（1）中曲线E上不同于坐标原点O的两点，且，证明：直线过定点． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高二暑期学习成效检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】， ， 由与互相垂直， 有， 解得或． 故选：C． 2．“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为两条直线平行， 所以直线斜率相等或斜率不存在， 当两直线斜率不存在时，即，两直线为，成立； 当两直线斜率存在时，即，解得，两直线为成立， 综上或. 所以“”是“两条直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】 3．如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】D 【详解】方程表示动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3， 即， 所以点M的轨迹是线段． 故选：D 4．已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【详解】由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故选：B. 5．如图，过圆内一点作两条弦，且过圆心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连接，则， 圆的半径， 则， ， 所以. 故选：B. 6．已知点，，H是直线：上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以．      故选：A. 7．双曲线与抛物线交于，两点，若抛物线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，（点，均异于原点），且与分别过，的焦点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线的两个焦点分别为，抛物线的焦点为， 由过的焦点，可设，， 又在双曲线上，可得， 由，解得 由过的焦点， 可得，即有，代入， 可得，解得， 则. 故选：C. 8．如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取BD中点O，连接AO，CO，， 则，且，于是是二面角的平面角， 显然平面，在平面内过点作，则， 直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，设二面角的大小为，， 因此，，， 于是， 显然，则当时，， 所以的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，求出动点的坐标，利用向量建立函数关系是解题的关键. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A：，故A错误； B：，故B正确； C：， 又， 所以，故C错误； D：，故D正确． 故选：BD 10．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（    ） A． B． C．双曲线的渐近线方程为 D．直线的斜率为4 【答案】BC 【详解】由，设，，由，得， 则，，而，解得，因此，， 对于A，，A错误； 对于B，显然，则，B正确； 对于C，令，在中，由，得， 则，，即，因此双曲线的渐近线方程为，C正确； 对于D，由，结合对称性，图中位置可互换，则直线的斜率为，D错误. 故选：BC 【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为，而双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系. 11．已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（     ） A．圆的半径为3 B．圆和圆相离 C．的最小值为 D．过点做圆的切线，则切线长最短为 【答案】BD 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，圆的半径为，A错误； 对于B，，圆和圆相离，B正确； 对于C，圆关于轴对称的圆为，，连接交于点，连接， 由圆的性质得， ，当且仅当点与重合， 且是线段分别与圆和圆的交点时取等号，C错误； 对于D，设点，过点的圆的切线长， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BD    三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．如图，在平行四边形中，，，把沿对角线折起，使与夹角为，则= ．    【答案】 【详解】由题意得，其中⊥， 故 ， 故. 故答案为： 13．已知圆，从坐标原点O向圆C作两条切线OP，OQ，切点分别为P，Q，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 由题可知，在中，，即， 所在轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆上， 到直线的距离为， 则到直线的距离为， 到直线的距离也可表示为，， 可得的取值范围是 故答案为: 14．已知为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为 . 【答案】/ 【详解】由及，得，， 又，则，设， 在中，由余弦定理得，， 在中，由余弦定理得，， 于是，且， 整理得，且，因此， 所以的离心率为. 故答案为：    四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 16．（15分）（1）已知直线方程： ，：，求出实数m分别取何值时，与分别：相交、平行、垂直； （2）已知曲线C的方程为，求过点且与曲线C相切的直线方程. 【答案】（1）相交且，平行，垂直；（2）或 【详解】（1）若与平行，则，解得或， 当时，与平行，故满足假设， 当时，与重合，故不满足假设， 所以当且仅当时，与平行， 若与垂直，则当且仅当，解得， 而如果与不平行，也不重合时，那么与相交， 换言之若与相交，则当且仅当且； （2）圆的圆心，半径分别是； 过点且斜率不存在的直线为，圆心到直线的距离等于半径1，故满足题意； 过点且斜率为的直线为，若它与题设圆相切， 则有，解得，此时所求直线为，即； 综上所述，所求直线为或. 17．（15分）已知、是双曲线的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设， 因为的中点的坐标为，可得，即， 又由，两式相减，可得， 可得，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 联立方程组，整理得， 则，即直线与双曲线相交，满足条件. 所以直线的方程为. （2）由（1）知，直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则，且， 所以两点间的距离为：. 18．（17分）如图，在圆锥中，为圆的直径，为圆弧的两个三等分点，为的中点，； (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为面圆，又面圆，所以， 又为圆弧的两个三等分点，所以，得到， 又，所以, 又，面，所以面， 又面，所以平面平面. （2）取的中点，连接，如图，以所以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 因为为的中点，， 所以， 又因为，，所以， 则，， 设平面的一个法向量为，由，得到， 取，得到，，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以. 19．（17分）已知圆心在x轴上移动的圆经过点，且与x轴，y轴分别交于两个动点． (1)求点的轨迹方程E; (2)设P,Q是（1）中曲线E上不同于坐标原点O的两点，且，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设动圆圆心为D，由题意知，且， 即，化简整理得， 所以. （2）设， 则，得. 当直线的斜率不存在时，，则， 此时直线的方程为； 当直线的斜率存在时，， 直线， 当时，. 综上，直线过定点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$