22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 同步测试2024－2025学年人教版数学九年级上册

人教版九年级数学上册 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 同步测试 夯实基础 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。 一、单选题 1．抛物线y＝2x2＋1的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．y轴 2．抛物线 的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 3．函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．y1、y2的大小不确定 4．在平面直角坐标系中，不论m取何值时，抛物线 的顶点一定在（　　）上. A． B． C． D． 5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）经过P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），P4（4，y4）四点．若y1＜y2＜y3，则下列说法中正确的是（　　） A．若y4＞y3，则a＞0 B．对称轴不可能是直线x＝2.7 C．y1＜y4 D．3a+b＜0 6．若二次函数的x与y的部分对应值如下表： x －2 －1 0 1 2 3 y 14 7 2 －1 －2 －1 则当时，y的值为（　　） A．－1 B．2 C．7 D．14 7．已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … -4 -3 -2 -1 0 … y … -3 m 1 0 -3 … 有以下几个结论：①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③关于x的方程的根为-3和-1；④当时，x的取值范围是．其中正确的有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 8．已知抛物线经过A（-2，），B（-1，），C（1，）三点，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 9．抛物线3 的顶点到x轴的距离为（　　） A．-1 B．-2 C．2 D．3 10．已知两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点．若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 巩固积厚 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。 二、填空题 11．二次函数y＝x2－2x＋2图象的顶点坐标是　 　. 12．若直线y =ax+b（ab≠0）不经过第三象限，那么抛物线y=ax2+bx顶点在第　 　象限. 13．当时，二次函数的函数值y随自变量x的增大而减小，则m的取值范围是　 　． 14．如果抛物线的顶点在轴上，那么的值是　 　． 15．已知点P（x0，m），Q（1，n）在二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a≠0）的图象上，且m＜n下列结论：①该二次函数与x轴交于点（﹣a，0）和（a+1，0）；②该二次函数的对称轴是x＝； ③该二次函数的最小值是（a+2）2； ④0＜x0＜1．其中正确的是　 　．（填写序号） 优尖拔高 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。 三、解答题 16．求抛物线y＝x2﹣x＋1在﹣2≤x≤2的最大值与最小值． 17． 用配方法求二次函数的顶点坐标． 18． 求抛物线 的顶点坐标，并直接写出 随 增大而增大时自变量 的取值范围． 19． 用配方法把函数 化成 的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值. 20． 二次函数图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）三点，求此抛物线的解析式． 21． 若点 ， ， 在抛物线 的图象上，请判断 ， ， 的大小关系，并说明理由. 22．如图所示，已知二次函数的图象经过点(-1，0)，(5，0)，(0，-1)，当x=4时，求函数值． 23．已知二次函数y＝2x2﹣x+1，当﹣1≤x≤1时，求函数y的最小值和最大值.彤彤的解答如下： 解：当x＝﹣1时，则y＝2×（﹣1）2﹣（﹣1）+1＝4； 当x＝1时，则y＝2×12﹣1+1＝2； 所以函数y的最小值为2，最大值为4. 彤彤的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答. 答案与解析 三人行必有我师！ 1．答案:D 解析：解：由题意得：a=2，b=0 对称轴为即y轴 故答案为：D. 分析：由二次函数解析式，得出a，b的值，根据抛物线对称轴公式，得出结果。 2．答案:A 解析：解：∵ ∴抛物线 的顶点坐标是 故答案为：A. 分析：首先将抛物线解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标. 3．答案:B 解析：解：∵图象的对称轴为直线x= ，a=-1<0， ∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小， ∵图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），-1<1<2， ∴y1＞y2， 故答案为：B. 分析：首先根据二次函数的解析式求出对称轴以及开口方向，然后判断出函数的增减性，据此进行比较. 4．答案:D 解析：解：抛物线 =（x-m-1）2+m2+1， ∴抛物线的顶点（m+1，m2+1）， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故答案为：D. 分析：将抛物线解析式化为顶点式，得顶点坐标为（m+1，m2+1），令x=m+1，y=m2+1，表示出y与x的关系，据此判断. 5．答案:C 解析：解：A、当时，抛物线开口向下， 当时，随增大而增大， 若，时，，不符合题意； B、当对称轴为直线时，， 若则，不符题意， 若则，正确， 不符合题意； C、若，当抛物线对称轴为直线时，， 对称轴直线时满足题意， 此时， ， 若，当抛物线对称轴为直线时，， 当时，符合题意； D、， ， ，不符合题意． 故答案为：C． 分析：根据题意判定抛物线开口方向，对称轴的位置，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断。 6．答案:C 解析：解：由表格可知，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝﹣1， ∴由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴x＝5时y的值与x＝﹣1时y的值相等， 由表格可知，当x＝﹣1时，y＝7， ∴x＝5时y的值为7． 故答案为：C． 分析：由表格可知，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝﹣1，即可得到抛物线的对称轴为直线x＝2，再结合表格可得当x＝﹣1时，y＝7，即可得到x＝5时y的值为7。 7．答案:B 解析：解：由表格可知， 抛物线的对称轴是直线x＝＝−2，故②符合题意； 抛物线的顶点坐标是（−2，1），有最大值，故抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，故①符合题意； 由抛物线关于直线x＝−2对称知，当y＝0时，x＝−1或x＝−3，故方程ax2＋bx＋c＝0的根为−3和−1，故③符合题意； 当y＞0时，x的取值范围是−3＜x＜−1，故④不符合题意， 故答案为：B． 分析：根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断出各个小题中的结论是否成立，本题得以解决。 8．答案:A 解析：解：抛物线，则开口向上，对称轴为， 由二次函数的性质可得离对称轴越远，函数值越大， A（-2，），B（-1，），C（1，）到对称轴的距离分别为， 所以， 故答案为：A 分析：先求出抛物线，则开口向上，对称轴为，再根据函数图象的性质比较大小即可。 9．答案:C 解析：解：将函数，变为顶点式得， 故二次函数的顶点坐标为：（﹣1，-2）， ∴顶点到x的距离为：， 故答案为：C． 分析：先利用配方法将一般式化为顶点式，再求解即可。 10．答案:B 解析：∵两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点． ∴函数有最小值，抛物线开口向上，且点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离， ∴， 解得， 故答案为：B． 分析：根据二次函数的性质得出函数有最小值，抛物线开口向上，且点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，从而得出答案。 11．答案:（1，1） 解析：解：∵ ∴顶点坐标为（1，1）. 故答案为：（1，1）. 分析：首先将函数解析式化为顶点式，然后根据函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标为（h，k）可得顶点坐标. 12．答案:一 解析：解：抛物线变形得：y=ax2+bx= ， ∵直线y=ax+b（ab≠0）不经过第三象限， ∴a＜0，b＞0， ∴ ， ∴y=ax2+bx的顶点坐标为 在第一象限. 故答案为：一. 分析：首先将抛物线解析式化为顶点式，得到顶点坐标，根据直线不经过第三象限，可知a＜0，b＞0，然后判断出顶点的横纵坐标的符号，进而确定出顶点所在的象限. 13．答案:m≤2 解析：解：∵二次函数的解析式的二次项系数是-1， ∴该二次函数的开口方向是向下 又二次函数的解析式的对称轴为x=m且当时，二次函数的函数值y随自变量x的增大而减小 ∴m≤2 故答案为m≤2. 分析：先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，二次函数的对称轴，再根据时，二次函数的函数值y随自变量x的增大而减小，求出 m的取值范围 。 14．答案:2 解析：解：∵， ∴二次函数顶点坐标为． ∵顶点在x轴上， ∴， ∴m=2． 故答案为：2． 分析：先利用配方法将抛物线的一般式化为顶点式可得二次函数的顶点坐标，再根据顶点在x轴上，可得，再求出m的值即可。 15．答案:①②④ 解析：①∵二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）， ∴当y＝0时，x1＝﹣a，x2＝a+1，即该二次函数与x轴交于点（﹣a，0）和（a+1，0）． 故①结论符合题意； ②对称轴为：． 故②结论符合题意； ③由y＝（x+a）（x﹣a﹣1）得到：y＝（x﹣）2﹣（a+）2，则其最小值是﹣（a+）2， 故③结论不符合题意； ④当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小， 由m＜n，得0＜x0≤； 当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大， 由m＜n，得＜x0＜1， 综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1． 故④结论符合题意． 故答案是：①②④． 分析：先求出二次函数的对称轴，然后再分两种情况讨论，即可解答。 16．答案:解：抛物线 y＝x2﹣x＋1， 抛物线的对称轴方程为： 则函数图象的开口向上， 当时， 当时， 当时， 而 所以抛物线y＝x2﹣x＋1在﹣2≤x≤2的最大值为5，最小值为 解析：先求出x=1，再计算求解即可。 17．答案:解：由题意得： ， ∴顶点坐标为． 解析：利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再根据顶点式直接求出顶点坐标即可。 18．答案:解：∵y=x2-2x= x2-2x +1-1=（x-1）2-1， ∴该函数的顶点坐标为（1，-1）， ∵a=1>0 ∴抛物线开口向上， 又抛物线对称轴为直线 ∴当x>1时，y随x的增大而增大． 解析：先求出 该函数的顶点坐标为（1，-1）， 再求出 抛物线开口向上， 最后求解即可。 19．答案:解：∵ ， ∴开口向下，对称轴x=-1，顶点坐标（-1，13），最大值13. 解析：将二次函数的解析式化为顶点式就可得到开口方向、对称轴、顶点坐标以及最大值. 20．答案:解：由题意得：设 ， 点C（0，﹣2）代入： ， ∴a＝1， ∴ ， 即 ． 解析：根据题意，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可。 21．答案:解： . 理由： 抛物线 中 ， 抛物线开口向下，对称轴为直线 . 点 关于对称轴的对称点为 ，且 ，对称轴右侧的抛物线函数值随自变量增大而减小， . 解析：先求出抛物线的对称轴方程，再根据二次函数图象的对称关系得出点 关于对称轴的对称点为 ，然后根据二次函数的增减趋势解答即可. 22．答案:解：由图象知抛物线的对称轴为直线x=2； 因为(0，-1)和(4，y)关于对称轴对称， 所以当x=4时，函数值为-1 解析：利用点(-1，0)，(5，0)，可得道抛物线的对称轴为直线x=-2，再利用二次函数的对称性，可得到当x=4时的函数值. 23．答案:解：彤彤的解答不正确， 正确做法如下， ∵二次函数y＝2x2﹣x+1=， ∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是直线x=，当x=时取最小值，最小值为， ∵-1≤x≤1， ∴当x=-1时取得最大值，此时y=4， 当x=时取最小值，最小值为y=. 解析：根据二次函数的解析式可得对称轴以及开口方向，然后判断出函数的增减性，据此不难求出最值. 学科网（北京）股份有限公司 $$