23.3 课题学习 图案设计 同步分层训练-2024—2025学年人教版九年级数学上册

人教版九年级数学上册 23.3 课题学习 图案设计 同步分层训练 夯实基础 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。 一、选择题 1．现有一张纸片， ， ， ．有甲、乙两种剪拼方案，如图1，2所示将它们沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（　　） A．甲、乙都不可以 B．甲不可以、乙可以乙 C．甲、乙都可以 D．甲可以、乙不可以 2．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1= ；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+ ；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3时，AP3=2+ …按此规律继续旋转，直至得到点P2018为止，则AP2018为（　　） A．1345+376 B．2017+ C．2018+ D．1345+673 3．如图是由三把相同大小的扇子展开后组成的图形，若把每把扇子的展开图看着“基本图案”那么该图形是由“基本图案”（　　） A．平移一次形成的 B．平移两次形成的 C．以轴心为旋转中心，旋转后形成的 D．以轴心为旋转中心，旋转、后形成的 4．如图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的，它也可以看作是以一个图案为“基本图案”，通过旋转得到的.以下图案中，不能作为“基本图案”的一个是（　　） A．A B．B C．C D．D 5．如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A为已方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为（　　） A．2 步 B．3 步 C．4 步 D．5 步 6．风力发电是一种绿色可持续的能源获取方式，我国近年来在西部地区大力发展风电产业，如图的风力发电转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（　　） A．60 B．90 C．120 D．150 7．小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形.如图所示，现在他将正方形 从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形的顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个 8．如图，图中的阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，若在图中的方格里再涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，涂法有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 9．如图，由4个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点，在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形(不包含△ABC本身)共有（　　） A．1个 B．3个 C．2个 D．4个 10．如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（　　） A． B． C． D． 巩固积厚 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。 二、填空题 11．如图是用围棋棋子在6×6的正方形网格中摆出的图案，棋子的位置用有序实数对表示，如A点为(5，1)，若再摆一黑一白两枚棋子，使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是　 　（请填写正确答案的序号） ①黑(1，5)，白(5，5)；②黑(3，2)，白(3，3)；③黑(3，3)，白(3，1)；④黑(3，1)，白(3，3) 12．“皮克定理”是用来计算顶点在格点（即图中虚线的交点，如图中的小黑点）上的多边形的面积公式，公式为S = a + -1.小明只记得公式中的表示多边形的面积，a 和 b 中有一个表示多边形边上（含多边形顶点）的格点个数，另一个表示多边形内部的格点个数，但记不清楚究竟是哪一个表示多边形内部的格点个数，请你利用图 1 探究并运用探究的结果求图 2 中多边形的面积是　 　. 13．如图，在等边三角形网格中，已有两个小等边三角形被涂黑，若再将图中其余小等边三角形涂黑一个，使涂色部分构成一个轴对称图形，则有　 　种不同的涂法． 14．以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有　 　． ①只要向右平移1个单位； ②先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位； ③先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位； ④绕着OB的中点旋转180°即可． 15．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号为①的正方形到空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法有　 　种． 优尖拔高 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。 三、解答题 16．如图是4×4的正方形网格，请选取一个白色的正方形并涂上阴影，使图中阴影部分是一个中心对称图形． 17．以给出的图形“○，○，△，△， ”(两个相同的圆、两个相同的等边三角形、两条线段)为构件，各设计一个构思独特且有意义的轴对称图形或中心对称图形.举例：如图，左框中是符合要求的一个图形.你还能构思出其他的图形吗?请在右框中画出与之不同的图形. 18．请你分析下面图案的形成过程． 19．如图，共有7个全等的三角形，你能分析说明第1个三角形经过什么变化可以依次得到其余6个三角形吗？ 四、综合题 20．如图 （1）请写出是旋转对称图形的两种多边形（正三角形除外）的名称，并分别写出其旋转角α的最小值； （2）下面的网格图都是由边长为1的正三角形组成的，请以图中给出的图案为基本图形（其顶点均在格点上），在图2、图3中再分别添加若干个基本图形，使添加的图形与原基本图形组成一个新图案，要求： ①图2中设计的图案既是旋转对称图形又是轴对称图形； ②图3中设计的图案是旋转对称图形，但不是中心对称图形； ③所设计的图案顶点都在格点上，并给图案上阴影（建议用一组平行线段表示阴影）. 21．如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的完整图形是一个轴对称图形 （1）画出其中一种涂色方式并画出此时的对称轴； （2）满足题意的涂色方式有　 　种. 22．在一块长16m.宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半. 下面分别是小明和小颖的设计方案. 小明说：我的设计方案如图（1），其中花园四周小路的宽度相等. 通过解方程，我得到小路的宽为2m或12m. 小颖说：我的设计方案如图（2），其中花园中每个角上的扇形相同. （1）你认为小明的结果对吗？请说明理由. （2）请你帮助小颖求出图中的x（精确到0.1m）. （3）你还有其他的设计方案吗？请在下边的矩形中画出你的设计草图，并加以说明. 23．阅读下列材料，完成相应学习任务 旋转对称 把正n边形绕着它的中心旋转的整数倍后所得的正n边形重合.我们说，正n边形关于其中心有的旋转对称.一般地，如果一个图形绕着某点O旋转角α（0＜α＜360°）后所得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点O有角α的旋转对称.图1就是具有旋转对称性质的一些图形. 任务： （1）如图2，正六边形关于其中心O有　 　的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有　 　的旋转对称； （2）图3是利用旋转变换设计的具有旋转对称性的一个图形，将该图形绕其中心至少旋转　 　与原图形重合； （3）请以图4为基本图案，在图5中利用平移、轴对称或旋转进行图案设计，使得设计出的图案是中心对称图形. 答案与解析 三人行必有我师！ 1．答案:C 解析： 因为AB=AF，所以可将△AFE移动到AB左边，AF与AB边重合，，四边形等于四边形。所以面积相等。方案乙，因此两种均可。 分析：先求出AB=AF，再求出，最后求解即可。 2．答案:D 解析：AP1= ，AP2=1+ ，AP3=2+ ； AP4=2+2 ；AP5=3+2 ；AP6=4+2 ； AP7=4+3 ；AP8=5+3 ；AP9=6+3 ； ∵2016=3×672， ∴AP2013=（2013﹣671）+671 =1342+671 ， ∴AP2014=1342+671 + =1342+672 ， ∴AP2015=1342+672 +1=1343+672 ， ∴AP2016=1343+672 +1=1344+672 ， ∴AP2017=1344+672 +1=1345+672 ， ∴AP2018=1345+672 + =1345+673 ， 故答案为：D. 分析：根据等腰直角三角形的性质及已知条件可求出AP1，AP2，AP3，AP4，AP5，AP6，AP7，AP8，AP9，观察结果可以发现每三个为一组，且每组中P下面的数字=结果中的整数部分的和。因为2018=3672+2，所以AP2018=1345+673. 3．答案:D 解析：解：如图所示：∵旋转中心的旋转角360°， ∴每个图形旋转的角度为：360°÷3=120°， ∴把每把扇子的展开图看成“基本图案”那么该图形是由“基本图案”：以轴心为旋转中心，旋转120°、240°后形成的. 故答案为：D. 分析：根据图形，由一个基本图形旋转后得到了三个基本图形，因为旋转中心的旋转角为360°，利用360°除以3可得每个图形旋转的角度. 4．答案:B 解析：解：A、顺时针，连续旋转60度，三次即可得到. B、不能作为“基本图案”. C、旋转180度，即可得到. D、旋转60度即可. 故答案为：B. 分析：观察图案可得图形是由6个菱形组成，每个菱形的最小内角为60°，据此判断A、D；把图案旋转180°，结合旋转的定义可判断C. 5．答案:B 解析：解：如图中的红棋子所示， 根据规则： ①点A从右边通过三次轴对称后，位于阴影部分内； ②点A从左边通过四次轴对称后，位于阴影部分内； ∴跳行的最少步数为3步， 故答案为：B. 分析：根据题意，分别计算两种跳法所需要的步数，再比较即可. 6．答案:C 解析：解：该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合， 故n的值可能为120. 故答案为：C. 分析：观察图形可得：该图形被平分成三部分，结合周角的概念可得旋转角为120°的整数倍，据此判断. 7．答案:C 解析：解：因为正方形是轴对称图形，有四条对称轴，因此只要沿着正方形的对称轴进行平移，平移前后的两个图形组成的图形一定是轴对称图形， 观察图形可知，向上平移，向上平移、向右平移、向右上45°、向右下45°平移时，平移前后的两个图形组成的图形都是轴对称图形， 故答案为：C. 分析：结合正方形的特征，可知平移的方向只有5个，向上，下，右，右上45°，右下45°方向，否则两个图形不轴对称. 8．答案:A 解析：解：涂法有： 共3种 故答案为：A 分析： 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 。根据轴对称图形的定义，结合图形求解即可。 9．答案:B 解析：由图可得两个中点及这两个中点所对的大正方形的顶点所组成的图形都满足条件. 如图所示，正确的有3个三角形. 故答案为：B. 分析：由题意可得两个中点及这两个中点所对的大正方形的顶点所组成的图形都满足条件． 10．答案:D 解析：∵第三个图形是三角形， ∴将第三个图形展开，可得 ，即可排除答案A， ∵再展开可知两个短边正对着， ∴选择答案D，排除B与C． 故答案为：D． 分析：根据第三个图形是三角形的特点及折叠的性质即可判断. 11．答案:④ 解析：解：如图所示，再摆一黑一白两枚棋子：黑（3，1），白（3，3），即可使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形. 故答案为：④. 分析：把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形；把一个图形绕着某一点旋转180°后能与其自身重合的图形就是中心对称图形，据此一一判断即可得出答案. 12．答案:10 解析：解：根据图1可得， ∵矩形内由2个格点，边上有10个格点，面积为6， 即 ； 正方形内由1个格点，边上有8个格点，面积为4， 即 ； ∴公式中表示多边形内部整点个数的字母是 ； 表示多边形边上（含多边形顶点）的格点个数为 ， 由图 得： 故答案为：10 分析：分别找出图1中图形内的格点数和图形上的格点数后与公式比较即可发现表示图上的字母，再把图2中的相关数据代入计算即可求解. 13．答案:3 解析：解：如图所示：当将1，2，3涂成黑色可以构成一个轴对称图形， 故有种不同3的涂法． 故答案为：3． 分析：根据轴对称图形的定义和图形求解即可。 14．答案:②③④ 解析：解：由图可知，图（1）先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位， 或先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位， 或绕着OB的中点旋转180°即可得到图（2）． 故答案为：②③④． 分析：根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的定义结合图形解答即可． 15．答案:3 解析：解：如图所示，新图形是一个轴对称图形． 故答案为：3． 分析：根据轴对称图形的性质进行作图即可． 16．答案:解：如图所示： ． 解析：直接利用中心对称图形的性质得出涂阴影的位置． 17．答案:解：如图所示(答案不唯一). 解析：根据轴对称的性质和中心对称的性质画图即可。 18．答案:解：（1.）是由基本图形 旋转180°得到的； （2.）是由基本图形 依次旋转90°、180°、270°得到的 解析：仔细观察图形，然后找出基本图形，继而根据几何变换的知识即可作出回答． 19．答案:解：1→2向右平移一个单位，再逆时针旋转90°，2→3：向右平移一个单位， 再向上平移一个单位旋转180°.3→4：向下平移一个单位.4→5： 向下平移一个单位，再逆时针旋转90°，5→6：向下平移一个单位， 再逆时针旋转90°，6→7：向左平移一个单位，再向上平移一个单位，逆时针旋转90°． 解析：根据所给的图形，运用平移、旋转的知识即可作出说明． 20．答案:（1）解：正方形是旋转对称图形，最小旋转角为90°；正六边形是旋转对称图形，最小旋转角为60°； （2）解：①如图2所示： ②如图3所示： 解析：（1）根据旋转对称图形的概念可得正方形、正六边形是旋转对称图形，进而可得旋转角； （2）①利用旋转对称图形以及轴对称图形的性质得出符合题意的答案；②利用旋转对称图形以及轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 21．答案:（1）解：如解图①~③所示（选其中一种即可）： （2）3 解析：解：（2）如上图，共有3种. 故答案为：3. 分析：（1）考查的是利用轴对称变换进行作图，掌握轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是关键； （2）画出所有的轴对称图形，据此解答. 22．答案:（1）解：设小路的宽为xm，则 （16－2x）（12－2x）= ×16×12， 解得：x=2，或x=12（舍去）. ∴x=2，故小明的结果不对. （2）解：四个角上的四个扇形可合并成一个圆，设这个圆的半径为rm， 故有 = ×16×12， 解得：r≈5.5m. （3）解：依此连结各边的中点得如图的设计方案. 解析：（1）设小路的宽为xm，则花园的长为(16-2x)，宽为(12-2x)，然后根据花园所占面积为荒地面积的一半结合矩形的面积计算方法列出方程，求解即可； （2）四个角上的四个扇形可合并成一个圆，设这个圆的半径为rm，然后根据圆的面积公式结合花园所占面积为荒地面积的一半列出方程，求解即可； （3）依此连结各边的中点可得设计方案. 23．答案:（1）60°；180° （2）72° （3）解：如图5所示，是中心对称图形.（答案不唯一） 解析：解：（1）正六边形关于其中心O有60°的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有180°的旋转对称； 故答案为：60°；180°； （2）∵360°÷5＝72°， ∴将该图形绕其中心至少旋转72°与原图形重合； 故答案为：72°； 分析：（1）利用360°除以6可得第一空的答案；根据中心对称图形的概念可得第二空的答案； （2）利用360°除以5可得旋转的角度； （3）将基本图形绕着网格的中心旋转90°、180°、270°即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$