精品解析：浙江省学军中学海创学校2023-2024学年高二下学期期中数学试题

杭州学军中学海创园学校2023学年第二学期期中考试 高二数学试卷 命题人：蔡蓉蓉 审卷人：范文亮 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 根据分类变量x与y的观察数据，计算得到，依据下表给出的独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（ ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 有95%的把握认为变量x与y独立 B. 有95%的把握认为变量x与y不独立 C. 变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10% D. 变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10% 5. 已知函数的部分图像如图所示，则函数 的表达式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若圆与圆外切，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由两个仓组成，某粒子作布朗运动时，每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目的要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 已知椭圆，且两个焦点分别为，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（　　） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 10. 已知的三个内角所对的边分别为．若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 角B的最大值为 D. 的外接圆面积的最小值为 11. 在边长为2的正方体中，动点满足，且，下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小值为 B. 当时，异面直线与所成角的余弦值为 C. 当，且时，则的轨迹长度为 D. 当时，与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题纸的横线上． 12. 已知，则__________. 13. 已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围是_________． 14. 用组成没有重复数字的五位数，其中个位数字小于百位数字且百位数字小于万位数字的五位数有n个，则的展开式中，的系数是_______．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为，满足． （1）求证：； （2）求的最大值． 16. 如图所示，已知三棱台中，，，，，． （1）求二面角的余弦值； （2）设E、F分别是棱、的中点，若平面，求棱台的体积． 17. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） （2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求； （3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望． 附参考数据：若，则①；②；③． 18. 已知双曲线，过该曲线上的点作不平行于坐标轴的直线交双曲线的右支于另一点，作直线交双曲线的渐近线于两点A，B（A在第一象限）,其渐近线方程为，且， （1）求双曲线方程． （2）证明：直线过定点. （3）当的斜率为负数时，求四边形的面积的取值范围． 19. 若有穷数列（n是正整数），满足即（i是正整数，且），就称该数列为“对称数列”． （1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项； （2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当k为何值时，取到最大值？最大值为多少？ （3）对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，并分别求出所有对称数列的前2024项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学海创园学校2023学年第二学期期中考试 高二数学试卷 命题人：蔡蓉蓉 审卷人：范文亮 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算补集，再计算交集； 【详解】, 故选:B. 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的运算及共轭复数的定义即可求出结果. 【详解】因为，所以， . 故选：B. 3. 已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中直线与平面、平面与平面的位置关系逐一进行分析即可． 【详解】解：对于A：若，则或或与相交，故A错误； 对于B：要得到，则需要与平面内两条相交直线垂直，只有得不到，故B错误； 对于C：若，则或与相交，故C错误； 对于D：若，由面面垂直的判定定理可得，故D正确； 故选：D 4. 根据分类变量x与y的观察数据，计算得到，依据下表给出的独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（ ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 有95%的把握认为变量x与y独立 B. 有95%的把握认为变量x与y不独立 C. 变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10% D. 变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10% 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合独立性检验的定义即可求解. 【详解】因为， 所以变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%. 故选：D. 5. 已知函数的部分图像如图所示，则函数 的表达式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、定义域以及三角函数的性质来逐一分析选项，从而确定函数的解析式. 【详解】对于A选项：已知，， 因为，所以， 又因为（为任意角），这里， 所以，故是奇函数， 而题目所给函数图象关于轴对称，是偶函数，所以A选项不符合，排除. 对于B选项：对于，同样根据奇函数的定义计算：， 由于，所以， 又因为（为任意角，这里）， 所以，即是奇函数， 不符合函数图象为偶函数这一条件，排除. 对于C选项：对于，， 因为，且（为任意角，这里）， 所以，所以是偶函数. 对于D选项：对于，， 因为，所以， 所以是偶函数. 此时C、D选项函数均为偶函数，还需结合定义域进一步判断.  对于C选项：正切函数的定义域为，， 对于，其自变量需满足有意义， 所以的定义域为，，不是. 而从题目所给图象来看，函数的定义域是，所以C选项不符合，排除. 对于D选项：对于，因为余弦函数的定义域是， 且，的值在正切函数的定义域内， 所以的定义域是，符合图象所给信息. 故选：D. 6. 已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一次函数与指数函数的性质，结合数列的增减性得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为数列是递增数列，且， 所以，解得， 则的取值范围是． 故选：D． 7. 若圆与圆外切，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意外切条件等价于，进一步求圆弧上一点到定点的距离的范围即可求解. 【详解】两圆的方程分别为和，故外切条件等价于和之间的距离为，即. 记，，则点在轨迹上，所求的即为的取值范围. 由于，故， 且 ， 同时，上面的上界和下界分别在和时取到. 而是在一个连续的圆弧上，故上的值都可以取到，所以取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是将原问题转换为求圆弧上的点到定点的距离，由此即可顺利得解. 8. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由两个仓组成，某粒子作布朗运动时，每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设从号仓出发最终从1号仓出的概率为，再根据题意列出的关系求解即可. 【详解】设从号仓出发最终从1号仓出的概率为，所以， 解得. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目的要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 已知椭圆，且两个焦点分别为，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（　　） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 【答案】BD 【解析】 【分析】根据离心率的公式可判断A；根据椭圆的定义可判断B；根据焦半径的范围可判断C；根据基本不等式和椭圆的定义可判断D. 【详解】椭圆，则， ， . 对于A，离心率，故A错误； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，的最小值为，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为16，故D正确. 故选：BD 10. 已知的三个内角所对的边分别为．若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 角B的最大值为 D. 的外接圆面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用余弦定理计算判断A选项，再结合余弦定理及正弦定理化简弦化切得出B选项，根据两角和差正切结合基本不等式判断C选项，根据正弦定理求外接圆的半径范围即可求出外接圆面积最值判断D选项. 【详解】若，且，由余弦定理可得，故A正确； 依题意，所以, 又因为，可得, 左右同时乘，可得，B选项正确； 因为, 所以， 当且仅当取等号，所以，C选项错误； 因为，所以,的外接圆直径，外接圆面积， 当时，外接圆面积的最小值为，故D正确． 故选：ABD. 11. 在边长为2的正方体中，动点满足，且，下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小值为 B. 当时，异面直线与所成角的余弦值为 C. 当，且时，则的轨迹长度为 D. 当时，与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，确定M的位置，利用侧面展开的方法，求线段的长，即可判断；对于B，利用平移法，作出异面直线所成角，解三角形，即可判断；对于C，结合线面垂直以及距离确定点M的轨迹形状，即可确定轨迹长度；对于D，利用等体积法求得M点到平面的距离，结合线面角的定义求得与平面所成角的正弦值，即可判断. 【详解】对于A，在上取点H，使，在上取点K，使， 因为，即，故M点在上， 将平面与平面沿着展开到同一平面内，如图： 连接交于P，此时三点共线，取到最小值即的长， 由于，则， 故， 即此时的最小值为，A正确； 对于B，由于时，则， 此时M为的中点，取的中点为N，连接， 则,故即为异面直线与所成角或其补角， 又,， 故， 而异面直线所成角的范围为， 故异面直线与所成角的余弦值为，B错误； 对于C，当时，可得点M的轨迹在内（包括边界）， 由于平面，平面，故， 又，平面，故平面， 平面，故，同理可证, 平面，故平面， 设与平面交于点P，由于， 为边长为的正三角形，则点A到平面的距离为， 若，则， 即M点落在以P为圆心，为半径的圆上， P点到三遍的距离为， 即M点轨迹是以P为圆心，为半径的圆的一部分，其轨迹长度小于圆的周长，C错误； 对于D，因为平面，平面，故平面， 因为当时，，即M在上， 点M到平面的距离等于点B到平面的距离，设点B到平面的距离为d， 则， 为边长为的正三角形，即， 解得， 又M在上，当M为的中点时，取最小值， 设直线与平面所成角为， 则，即与平面所成角的正弦值的最大值为，D正确， 故选：AD 【点睛】难点点睛：本题考查了空间几何体中线段和差最值以及几何体中的轨迹问题，以及线线角和线面角的求解，综合性较强，难度较大，解答时要发挥空间想象，明确空间的位置关系，难点在于C，D选项的判断，对于C，要结合空间距离，确定动点的轨迹形状；对于D，要结合等体积法求得点到平面的距离，结合线面角的定义求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题纸的横线上． 12. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由两角和的正切公式可得出关于的等式，解出的值，在利用二倍角的正切公式可求得的值. 【详解】由得，所以. 故答案为：. 13. 已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意转化为 ，求导函数，分别求出函数的最大值，的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围． 【详解】由，可得， 当，，所以在单调递减， ， ，在上单调递增， ， 对任意的，都有成立， ， ， 故答案为：． 14. 用组成没有重复数字的五位数，其中个位数字小于百位数字且百位数字小于万位数字的五位数有n个，则的展开式中，的系数是_______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据排列和组合计数公式求出，然后利用二项式定理进行求解即可． 【详解】用组成没有重复数字的五位数中， 满足个位小于百位且百位小于万位的五位数有个，即， 当时，不妨设，则 ， 所以的系数是. 故答案为：2023． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为，满足． （1）求证：； （2）求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可. （2）利用（1），求出，表示出，并进行换元转化为二次函数,进而求得最大值. 【小问1详解】 由题， 由正弦定理：， 所以， 整理， 所以，结合三角形内角性质， 或（舍）, . 【小问2详解】 由，则由（1）问，得：， 所以， 且 又， 令，则， 所以 因为, 当时，所求的最大值为. 16. 如图所示，已知三棱台中，，，，，． （1）求二面角的余弦值； （2）设E、F分别是棱、的中点，若平面，求棱台的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二面角定义可得二面角的平面角为，结合垂直关系及余弦定理求其余弦值即可； （2）将棱台补全为棱锥，利用垂直关系证明面，进而得到相关线段垂直并求出线段的长度，根据求体积. 【小问1详解】 因为，，所以二面角的平面角为． 因为，，所以，． 因为，所以． 因为， 所以，故二面角余弦值为． 【小问2详解】 因为是三棱台，所以直线、、共点，设其交点为O， 因为E、F分别是棱、的中点，所以直线经过点O． 因为，，且面，所以面， 又面，所以． 因为，，所以． 因为平面，平面，所以， 所以，，故F为的中点． 三棱台的体积． 17. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） （2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求； （3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望． 附参考数据：若，则①；②；③． 【答案】（1） （2） （3）的分布列为： 0 1 2 3 期望为【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可； （2）依据，利用正态分布的对称性计算即可； （3）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可. 【小问1详解】 根据频率分布直方图得： ． 【小问2详解】 由题意知，即， 所以． 【小问3详解】 由题意可知，和的频率之比为：， 故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人， 随机变量的取值可以为， ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 所以. 18. 已知双曲线，过该曲线上的点作不平行于坐标轴的直线交双曲线的右支于另一点，作直线交双曲线的渐近线于两点A，B（A在第一象限）,其渐近线方程为，且， （1）求双曲线方程． （2）证明：直线过定点. （3）当的斜率为负数时，求四边形的面积的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程可得，结合双曲线所过的点可求，故可得双曲线方程. （2）联立直线方程和双曲线方程，结合判别式可得的斜率的范围，再由渐近线方程可得的坐标，由平行四边形可求出的方程，故可得定点. （3）利用（2）的结果结合弦长公式可用的斜率表示面积，结合斜率的范围可求面积的范围. 【小问1详解】 因为渐近线，则，代入点可得， 故，即双曲线方程为：． 【小问2详解】 设 ， 由可得， 故且， 故或且， 又，故， 由解得，则， 同理可得， 故， 而，可得， 故，故， 故，， 设直线的斜率为，则， 直线的方程为，即， 所以过定点． 【小问3详解】 由（2）可得直线与的距离为，故， 由题意可得四边形是平行四边形， 而， 故四边形的面积为， ，结合（2）中的取值范围可得．故， 故. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要联立不同类型的方程，用合适的变量变式目标函数，而后者的最值往往可以通过函数的单调性或基本不等式来处理. 19. 若有穷数列（n是正整数），满足即（i是正整数，且），就称该数列为“对称数列”． （1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项； （2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当k为何值时，取到最大值？最大值为多少？ （3）对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，并分别求出所有对称数列的前2024项和． 【答案】（1） （2）128 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）设前项的公差为，求出公差，从而得到，，再根据对称性得到其余项； （2）首先利用等差数列求和公式求出，则，再由二次函数的性质计算可得； （3）依题意列出满足该条件的对称数列，再分、两种情况利用等比数列求和公式及分组求和法计算可得. 【小问1详解】 设的公差为，则， 解得 ， 数列为； 【小问2详解】 因为构成首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以， 所以当时取得最大值，且. 【小问3详解】 因为，，，，成为数列中的连续项，且该对称数列的项数为， 所以这样的对称数列有： ①，，，，，，，，，，； ②，，，，，，，，，，； 因为， 对于①，当时； 当时 ， 所以； 对于②，当时； 当时 ， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解对称数列的定义，第三问关键是得到数列的两种形式，再分、两种情况分别求和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $