2024年广西南宁市中考模拟数学试卷（三）

2024年广西南宁市中考模拟数学试卷（三） (考试时间：120分钟，满分：120分) 姓名________　　班级________　　分数________ 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1．－2 024的相反数是（ ） A．2 024 B．－2 024 C. D．－ 2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ） 3．下列计算中正确的是（ ） A．a2·a3＝a6 B．(3a)2＝6a2 C．a6÷a3＝a2 D．3a2－a2＝2a2 4．如图是某工厂要设计生产的零件的主观图，这个零件可能是（ ） 5．数据2 370 000用科学记数法可表示为（ ） A．2.37×106 B．2.37×105 C．0.237×107 D．237×104 6．若点P(m－1，5)与点Q(3，2－n)关于y轴对称，则m＋n的值是（ ） A．－5 B．1 C．5 D．11 7．在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx与一次函数y＝－kx－k(k≠0)的大致图象是（ ） 8．已知▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，现从以下四个关系：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AB⊥BC中随机取出一个作为条件，即可推出▱ABCD是菱形的概率为（ ） A. B. C. D．1 9．《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”如果设鸡有x只，兔有y只，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10．《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深1寸(DE＝1寸)，锯道长1尺(AB＝1尺＝10寸)，问这块圆形木材的直径是多少．”如图，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（ ） A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸 11．定义一种新的运算：若a≠0，有a△b＝a－2＋ab＋|－b|，则△2的值是（ ） A．－3 B．5 C．－ D. 12．如图，▱OABC的顶点O(0，0)，A(1，2)，点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D.将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD′A′，当点D的对应点D′落在OA上时，D′A′的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为（ ） A．(2，0) B．(2，0) C．(2＋1，0) D．(2＋1，0) 二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分) 13．不等式组2≤3x－7＜8的所有整数解的和是 . 14．分解因式：ax2－4ax＋4a＝ . 15．学校要从小王、小李两同学中选拔1人参加运动会志愿者工作，选拔项目为普通话、体育知识和旅游知识，并将成绩依次按4 ∶3 ∶3记分．两人的各项选拔成绩如下表所示，则最终胜出的同学是 ． 普通话 体育知识 旅游知识 小王 80 90 70 小李 90 80 70 16.如图，无人机在空中A处测得某建筑物顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°.若无人机的飞行高度AD为62 m，则该建筑的高度BC为 m.(参考数据：sin 17°≈0.29，cos 17°≈0.96，tan 17°≈0.31) 17．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计)，若该圆锥的底面圆周长为20π cm，侧面积为240π cm2，则这个扇形的圆心角的度数是 . 18．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3交x轴于点A(a，0)和B(b，0)，交y轴于点C，抛物线的顶点为D，点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG的周长的最小值为 . 三、解答题(本大题共8小题，满分72分) 19．(6分)计算：(－1)2 024＋6÷(－2)－(－5)＋. 20．(6分)先化简，再求值： ·＋，其中x＝1＋. 21．(10分)如图，已知E是▱ABCD对角线AC上的点，连接DE. (1)过点B在平行四边形内部作射线BF交AC于点F，使∠CBF＝∠ADE；(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明) (2)连接BE，DF，判断四边形BFDE的形状并证明． 22.(10分)学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试(满分100分)．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位：分)进行统计： 七年级　86　94　79　84　71　90　76　83　90　87 八年级　88　76　90　78　87　93　75　87　87　79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：a＝ ，b＝ ， A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是七年级的学生； (2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生有 人； (3)哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由． 23．(10分)某县贡桔成本为10元/斤，售价不低于15元/斤，不高于30元/斤． (1)每日贡桔销售量y(斤)与售价x(元/斤)之间的函数关系如图所示，求y与x之间的函数关系式； (2)若每天销售利润率不低于60%，且不高于80%，求每日销售的最大利润． 24. (10分)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E, ⊙O与AC相切于点D. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC＝4，求FG的长． D运动．设运动时间为x(s)(x＞0)，直线PQ，BQ，PC，BC所围成的图形的面积为y(cm2)． (1)当点P与点D重合时，AQ的长为 cm； (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当△PBQ为直角三角形时，直接写出x的值． 26．(10分)【探究与证明】 【问题背景】数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究． 【探究发现】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC. (1)操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边BA上，点C的对应点是点E，折痕交AC于点D，连接DE，DB，则∠BDE＝ ，设AC＝1，BC＝x，那么AE＝ (用含x的式子表示)； (2)进一步探究发现：＝，这个比值被称为黄金比．在(1)的条件下试证明：＝； 【拓展应用】当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图①中的△ABC是黄金三角形． (3)如图②，在菱形ABCD中，∠BAD＝72°，AB＝1.求这个菱形较长对角线的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$答案： 1．（A） 2．（B） 3．（D） 4．（B） 5．（A） 6．（A） 7．（C） 8．（B） 9．（D） 10．（C） 11．（B） 12．（B） 13．7. 14．a(x－2)2. 15．小李． 16.262m. 17．150°. 18．＋. 【解析】分别作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，连接D′E′，交x轴于点G，交y轴于点F，此时四边形EDFG周长最小，为D′E′＋DE的值． 19．解：原式＝1＋(－3)＋5＋3＝6. 20． 解：原式＝·＋＝＋＝＝， 当x＝1＋ 时，原式＝＝. 21． 解：(1)尺规作图如图所示． (2)四边形BFDE是平行四边形， 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠DAC＝∠BCA， ∴△ADE≌△CBF(ASA)，∴DE＝BF，∠AED＝∠BFC， ∴DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形． 22. (1)a＝85，b＝87， (2)有220人； (3) 解：(3)八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好． 理由：因为八年级的优秀率为0.6，高于七年级的优秀率0.5.(答案不唯一) 23． 解：(1)y与x之间的函数关系式为 y＝－8x＋320. (2)由题意得60%≤×100%≤80%， 解得16≤x≤18，设每日销售利润为w元， ∴w＝(－8x＋320)(x－10)＝－8x2＋400x－3 200， ∵a＝－8，∴开口向下， ∵对称轴为直线x＝25，16≤x≤18，∴w随x的增大而增大， ∴当x＝18时，利润最大为 w＝(－8×18＋320)(18－10)＝1 408(元)． 答：每日销售的最大利润为1 408元． 24. (1)证明：连接OD，过点O作OP⊥BC于点P， ∵⊙O与AC相切于点D.∴OD⊥AC， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，O为AB的中点，∴∠OCD＝∠OCP＝45°， ∴OD＝OP，即OP是⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线． (2)解：∵AC＝4，BC＝AC，∠ACB＝90°，∴AB＝AC＝8， ∵O为AB的中点，∴OA＝AB＝4，∵OD⊥AC，∴OG＝OD＝2， 在Rt△AOG中，AG＝2，连接OF，过点O作OH⊥AG于点H， ∴OH＝＝＝，∴HG＝， ∵OF＝OG，∴FG＝2HG＝. 25．(1)2cm； 解：在矩形ABCD中，∵AB＝5 cm，BC＝3 cm， ∴AD＝BC＝3 cm，DC＝AB＝5 cm，∠A＝90°， 由题意知AP＝BQ＝x cm， ∴AQ＝(5－x)cm，PD＝(3－x)cm. (2)由题意，得 y＝S矩形ABCD－S△APQ－S△CDP＝AB·BC－AQ·AP－CD·PD ＝3×5－(5－x)x－×5(3－x)＝x2＋(0≤x≤3)． (3)当△PBQ为直角三角形时， Ⅰ)∠PQB＝90°，如答图①，则四边形ADPQ是矩形，∴AQ＝PD＝5－x， ∵BQ＝AD＋PD，∴x＝3＋5－x，∴x＝4； Ⅱ)∠QPB＝90°，答图②，则∠DPQ＋∠BPC＝90°， ∵∠D＝∠C＝90°，∴∠DQP＋∠DPQ＝90°，∴∠DQP＝∠BPC， ∴△PDQ∽△BCP，∴＝，∴＝，∴x＝6. 综上所述，当△PBQ为直角三角形时，x的值为4或6. 26． (1)1－x(2) (2)证明：由题意得 ∠ABC＝∠ACB＝72°. ∠CBD＝∠EBD＝∠ABC＝36°， ∠C＝∠BED＝72°，CD＝ED， BE＝BC＝x， ∴∠ADE＝∠BED－∠A＝36°＝∠A.∴AE＝DE＝CD＝1－x. 又∵∠CBD＝∠A，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC. ∴＝，即＝，解得x＝(负舍)，∴＝＝. (3)解：连接AC，在AC上截取AE＝AD，连接DE， ∴∠ADE＝∠AED.∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DAE＝∠DAB＝36°＝∠DCA，AB∥CD，AB＝AD＝AE＝1， ∴∠ADE＝∠AED＝72°，∴＝， ∴DE＝AD＝×1＝. 又∵AB∥CD，∴∠ADC＝180°－∠BAD＝108°， ∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝36°＝∠DCA， ∴CE＝DE＝，∴AC＝AE＋EC＝1＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$