3.2.2 奇偶性（2）导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版（2019）数学必修第一册导学案 第三章 函数的概念与性质 3.2.2 奇偶性（2） 函数奇偶性的应用 知识点一　函数奇偶性的性质 1．函数奇偶性的性质 由f(－x)＝－f(x)，可得f(－x)＋f(x)＝0或＝－1(f(x)≠0)；由f(－x)＝f(x)，可得f(－x)－f(x)＝0或 ＝1(f(x)≠0)．在判定函数的奇偶性方面，有时利用变通后的等式更为方便． 2．函数奇偶性的重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数． (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． [答一答] 1．什么函数既是奇函数又是偶函数？ 2．利用奇、偶函数的图象特征，直接观察函数奇偶性与单调性、最值之间有怎样的关系？ 知识点二　函数奇偶性与单调性的联系 由于奇函数的图象关于原点对称，因此奇函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性相同，而偶函数的图象关于y轴对称，因此偶函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性相反，求解函数单调性与奇偶性的综合问题，要注意应用函数单调性和奇偶性的定义． [答一答] 3．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是_____________________． 【题型探究】 类型一　利用奇偶性求函数的值 [例1]　(1)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于(　　) A．－26　　　　　　 B．－18 C．－10 D．10 (2)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________. [思路分析]　根据函数解析式的特征，均可分拆成一个奇函数与常数和的形式，进而可利用奇函数的特征求解． [变式训练1]　已知f(x)，g(x)均为R上的奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上的最大值为5，则F(x)在(－∞，0)上的最小值为___________. 类型二　利用奇偶性求函数的解析式 [例2]　已知f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1. (1)求f(0)的值； (2)求函数f(x)的解析式． [变式训练2]　(1)已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝___________． (2)若函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，则f(x)＝___________. 类型三　函数的奇偶性与单调性的综合应用 命题视角1：比较大小 [例3]　若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f的大小关系是(　　) A．f>f B．f<f C．f≥f D．f≤f [变式训练3]　已知定义域为R的函数f(x)在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则(　 　) A．f(6)>f(7)　　　　　 B．f(6)>f(9) C．f(7)>f(9) D．f(7)>f(10) 命题视角2：解不等式 [例4]　设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． [变式训练4]　已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增．若实数a满足f(|a－1|)>f，则a的取值范围是(　 　) A. B.∪ C. D. 命题视角3：奇偶性与单调性的综合应用 [例5]　设函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2. (1)求证：f(x)是奇函数； (2)试问：当－3≤x≤3时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由． [变式训练5]　已知定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝是增函数，且f()＝. (1)求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(t－1)＋f(2t)<0. 【课堂小练】 1．若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则a＝f(－)，b＝f()，c＝f()的大小关系是(　 　) A．b<a<c B．b<c<a C．a<c<b D．c<a<b 2．已知函数f(x)是偶函数，且x<0时，f(x)＝3x－1，则x>0时，f(x)＝(　 　) A．3x－1 B．3x＋1 C．－3x－1 D．－3x＋1 3．若f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且f(4)>f(1)，则下列各式一定成立的是(　 　) A．f(0)<f(6) B．f(4)>f(3) C．f(2)>f(0) D．f(－1)<f(4) 4．已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a－1)＋f(1)>0，则实数a的取值范围是___________． 5．已知奇函数f(x)在R上是减函数，且f(3a－10)＋f(4－2a)<0，求a的取值范围． 【课堂小结】 1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用． 2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论． 3．具有奇偶性的函数的单调性的特点： (1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性． (2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性． 【答案解析】 [答一答] 1．什么函数既是奇函数又是偶函数？ 提示：设f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，故－f(x)＝f(x)，所以f(x)＝0，但定义域需关于原点对称．故既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个，它们为f(x)＝0且其定义域是关于原点对称的非空数集． 2．利用奇、偶函数的图象特征，直接观察函数奇偶性与单调性、最值之间有怎样的关系？ 提示：(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性． (2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 3．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是f(－π)>f(3)>f(－2)． 解析：∵f(x)是R上的偶函数， ∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)， 又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π， ∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2)． 【题型探究】 类型一　　　利用奇偶性求函数的值 [例1]　(1)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于(　　) A．－26　　　　　　 B．－18 C．－10 D．10 (2)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________. [思路分析]　根据函数解析式的特征，均可分拆成一个奇函数与常数和的形式，进而可利用奇函数的特征求解． [解析]　(1)方法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(－2)＝－g(2)，又f(x)＝g(x)－8， ∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18， ∴g(2)＝－g(－2)＝－18， ∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26. 方法二：由已知条件，得 ①＋②得f(2)＋f(－2)＝－16. 又f(－2)＝10，∴f(2)＝－26. (2)f(x)＝＝＝＋1， 其中g(x)＝为奇函数，根据其图象的对称性， 函数f(x)最大值与最小值的和M＋m＝2×1＝2. [答案]　(1)a　(2)2 【方法提炼】 利用函数的奇偶性求函数值的思路 已知fa求f－a的思路：判断fx的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出fa与f－a的关系，若还有其他条件，可再利用其转化，进而求f－a. [变式训练1]　已知f(x)，g(x)均为R上的奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上的最大值为5，则F(x)在(－∞，0)上的最小值为－1. 解析：方法一：因为f(x)，g(x)均为R上的奇函数，所以y＝af(x)＋bg(x)也是奇函数，若设F(x)的最小值为m，则m＋5＝2×2，解得m＝－1. 方法二：F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上的最大值为5，且f(x)，g(x)均为奇函数，则F(x)－2＝af(x)＋bg(x)为奇函数，且其在(0，＋∞)上的最大值为3.根据奇函数的性质可知F(x)－2＝af(x)＋bg(x)在(－∞，0)上的最小值为－3，故F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(－∞，0)上的最小值为－3＋2＝－1. 类型二　利用奇偶性求函数的解析式 [例2]　已知f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1. (1)求f(0)的值； (2)求函数f(x)的解析式． [思路分析]　可先设x<0，则－x>0，代入已知解析式，再利用f(x)的奇偶性可求出f(x)的解析式． [解]　(1)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(－0)＝－f(0)， ∴f(0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，∴f(0)＝0. (2)当x<0，即－x>0时， f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1. ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即－f(x)＝－2x2－3x＋1，∴f(x)＝2x2＋3x－1(x<0)． ∴函数f(x)的解析式为 f(x)＝ 【方法提炼】 利用奇偶性求函数解析式的方法 已知函数的奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：先设出未知区间上的自变量，再利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后利用函数的奇偶性求解即可. 具体如下：1求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；2将－x代入已知区间上的解析式；3利用fx的奇偶性把f－x写成－fx或fx，从而解出fx. [提醒]　本例题中是求x∈R时的解析式，不要忽略x＝0时的特殊情况. [变式训练2]　(1)已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝x(x＋1)． 解析：当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)，因为函数f(x)为R上的偶函数，故f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)． (2)若函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，则f(x)＝. 解析：∵f(x)＋g(x)＝　①， 以－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝. 又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， ∴f(x)－g(x)＝－　②. ①＋②，得2f(x)＝－＝， ∴f(x)＝. 类型三　函数的奇偶性与单调性的综合应用 命题视角1：比较大小 [例3]　若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f的大小关系是(　　) A．f>f B．f<f C．f≥f D．f≤f [思路分析]　利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间内，再根据函数的单调性对函数值进行大小比较． [解析]　因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，又f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f＝f≥f. [答案]　C 【方法提炼】 奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大.对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值化归到同一个单调区间内，然后再根据单调性判断. [变式训练3]　已知定义域为R的函数f(x)在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则(　D　) A．f(6)>f(7)　　　　　 B．f(6)>f(9) C．f(7)>f(9) D．f(7)>f(10) 解析： 由题易知y＝f(x＋8)为偶函数，则f(－x＋8)＝f(x＋8)，则f(x)的图象的对称轴为x＝8.不妨画出符合已知条件的一个函数的大致图象(如图)，则有f(6)<f(7)，f(6)＝f(10)<f(9)，f(7)＝f(9)>f(10)．故选D. 命题视角2：解不等式 [例4]　设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． [思路分析]　由于f(x)是奇函数，可得f(x)在[－2,0]上递减，借助函数的奇偶性及其单调区间，可将抽象不等式f(1－m)<f(m)转化为具体的不等式组求解． [解]　因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数， 所以f(x)在[－2,2]上是减函数． 所以不等式f(1－m)<f(m) 等价于解得－1≤m<. 所以实数m的取值范围是. 【方法提炼】 解抽象不等式时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成fx1>fx2或fx1<fx2的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响. [变式训练4]　已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增．若实数a满足f(|a－1|)>f，则a的取值范围是(　C　) A. B.∪ C. D. 解析：∵f(x)是偶函数且在(－∞，0]上单调递增， ∴f(x)在(0，＋∞]上单调递减，且f＝f， ∴原不等式可化为f(|a－1|)>f. ∴|a－1|<，解得<a<. 命题视角3：奇偶性与单调性的综合应用 [例5]　设函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2. (1)求证：f(x)是奇函数； (2)试问：当－3≤x≤3时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由． [思路分析]　(1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对一切x，y∈R均成立，先计算f(0)，再令y＝－x，可证得f(x)为奇函数．(2)利用函数的单调性来确定是否存在最值． [解]　(1)证明：令x＝y＝0，则有f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝2f(0)， ∴f(0)＝0. 令y＝－x，则有0＝f(0)＝f(x)＋f(－x)， ∴f(x)为奇函数． (2)f(x)有最值．任取x1，x2，且－3≤x1<x2≤3，则x2－x1>0.由题意得f(x2－x1)<0，且f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x1＋(x2－x1))＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)]＝－f(x2－x1)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[－3,3]上单调递减． ∴f(3)为函数f(x)在[－3,3]上的最小值，f(－3)为函数f(x)在[－3,3]上的最大值． f(3)＝f(1＋1＋1)＝3f(1)＝－6， f(－3)＝－f(3)＝6， ∴当－3≤x≤3时，函数f(x)的最大值、最小值分别为6，－6. 【方法提炼】 奇偶性、单调性的综合应用 1利用奇偶性可以求值以及解析式，利用奇偶性及单调性主要解决不等式的转化问题，在综合性题目中要熟悉奇偶性、单调性的应用技巧，熟练应用. 2抽象不等式问题，解题步骤是：1将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；2利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f ”，转化为解不等式组的问题. [提醒]　在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0＝f1，fx－1<0，则fx－1<f1；偶函数中结论fx＝f|x|的灵活运用. [变式训练5]　已知定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝是增函数，且f＝. (1)求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(t－1)＋f(2t)<0. 解：(1)因为f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，则f(0)＝0，得b＝0. 又因为f＝， 则＝⇒a＝1. 所以f(x)＝. (2)因为定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是增函数， 由f(t－1)＋f(2t)<0， 得f(t－1)<－f(2t)＝f(－2t)． 所以有 解得0<t<. 故不等式f(t－1)＋f(2t)<0的解集为. 【课堂小练】 1．若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则a＝f(－)，b＝f()，c＝f()的大小关系是(　C　) A．b<a<c B．b<c<a C．a<c<b D．c<a<b 解析：f(x)为偶函数，则a＝f(－)＝f()． 又∵<<，f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴f()<f<f，即a<c<b. 2．已知函数f(x)是偶函数，且x<0时，f(x)＝3x－1，则x>0时，f(x)＝(　C　) A．3x－1 B．3x＋1 C．－3x－1 D．－3x＋1 解析：设x>0，则－x<0.∴f(－x)＝－3x－1. 又∵f(x)是偶函数，∴x>0时，f(x)＝f(－x)＝－3x－1. 3．若f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且f(4)>f(1)，则下列各式一定成立的是(　D　) A．f(0)<f(6) B．f(4)>f(3) C．f(2)>f(0) D．f(－1)<f(4) 解析：∵f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数， ∴f(－1)＝f(1)．又f(4)>f(1)，∴f(4)>f(－1)． 4．已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a－1)＋f(1)>0，则实数a的取值范围是(－∞，0)． 解析：∵f(a－1)＋f(1)>0，∴f(a－1)>－f(1)． ∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)． ∴f(a－1)>f(－1)． 又f(x)在R上是减函数，∴a－1<－1，即a<0. 5．已知奇函数f(x)在R上是减函数，且f(3a－10)＋f(4－2a)<0，求a的取值范围． 解：∵f(3a－10)＋f(4－2a)<0， ∴f(3a－10)<－f(4－2a)， ∵f(x)为奇函数，∴－f(4－2a)＝f(2a－4)， ∴f(3a－10)<f(2a－4)． 又f(x)在R上是减函数，∴3a－10>2a－4，∴a>6. 故a的取值范围为(6，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $$