第二章 直线和圆的方程（综合检测）-2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）（新高考通用）

第二章 直线和圆的方程综合检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（23-24高二下·浙江·期中）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·重庆·期末）若直线的倾斜角为，则实数值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 4．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（    ） A．-2 B． C．1 D．2 6．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 7．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知圆直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点．则下列说法正确的是（   ） A．四边形的面积最小值为 B．最短时，弦AB长为 C．最短时，弦AB直线方程为 D．直线AB过定点 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二上·浙江宁波·期末）下列说法中正确的是（   ） A．直线在轴上的截距是 B．直线恒过定点 C．点关于直线对称的点为 D．过点且在轴､轴上的截距相等的直线方程为 10．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圆，圆，则（    ） A．圆心距 B．当时，两圆公共弦所在直线方程为 C．若圆与圆无公共点，则 D．若圆与圆只有一条公切线，则 11．（23-24高二下·浙江·期中）已知直线与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．的最小值为 C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 D．若，，，（为坐标原点）四点共圆，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（23-24高二下·云南玉溪·期中）过三点的圆的标准方程是 . 13．（23-24高二下·上海·期中）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 . 14．（23-24高二上·湖北·期末）已知直线与直线相交于点，其轨迹记为曲线，曲线的方程为，点，分别在曲线，上运动，点在直线上，若直线经过点，且与两曲线，的公共弦所在的直线垂直，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）已知点，求下列直线的方程： (1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； (2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 16．（15分）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M． (1)求圆C的圆心坐标及半径； (2)求满足的点P的轨迹方程． 17．（15分）（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知圆C：，直线l：与圆C交于两点A，B． (1)若，求实数m的值； (2)若点P为直线l所过定点，且，求直线l的方程． 18．（17分）（23-24高二下·上海·期中）已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求证：的面积为定值． (2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． (3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 19．（17分）（23-24高二上·四川内江·期中）在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得的弦长为．经过坐标原点的直线与圆交于两点． (1)求圆的方程； (2)求当满足时对应的直线的方程； (3)若点，直线与圆的另一个交点为，直线与圆的另一个交点为，分别记直线、直线的斜率为，，求证：为定值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线和圆的方程综合检测 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C A B B C D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC AD BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．或 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）【详解】（1）当直线过原点时，满足在轴上的截距是轴上截距的2倍， 此时直线方程为，将代入，可得，化简可得； 当直线不过原点时，设直线方程为，且， 即，将代入，可得，解得， 则直线方程为，化简可得； 综上，直线方程为或. （2）点关于轴的对称点的坐标为， 由题意可知，反射光线所在的直线经过点与， 所以反射光线所在的直线斜率为， 则反射光线所在的直线方程为， 化简可得. 16．（15分）【详解】（1）圆C的标准方程为，所以圆C的圆心坐标为．又圆C与y轴相切，所以，即，故圆C的半径为1． （2）设，则，． 由于，则， 整理得点P的轨迹方程为：． 经检验，上的点都符合条件． 17．（15分）【详解】（1）由题意可知：圆C：的圆心为，半径为． 圆心C到直线l：的距离为：， 由解得：． （2）直线l的方程：可化为：， 直线l过定点，且在圆内； 设，， ，， ， ，① 由得： （※） ，② 由①②解得，带入（※）式，解得， 直线l的方程为或． 18．（17分）【详解】（1）由题意可得圆的方程为：， 化简可得， 与坐标轴的交点分别为：，， 为定值. （2）如图所示， ， 原点在线段的垂直平分线上， 设线段的中点为，则，，三点共线， 又的斜率， ， 解得， 又，所以， 可得圆心， 圆的方程为：； （3）如图所示， 由（2）可知：圆心，半径，， 设点关于直线的对称点为， 则中点为， 且，解得，即， 则， 又点到圆上点的最短距离为， 则的最小值为， 此时直线的方程为：， 点为直线与直线的交点， 则，解得， 即点. 19．（17分）【详解】（1） 由已知圆的圆心在轴上，经过点， 且被轴截得的弦长为．设圆， 所以，解得， 所以圆的方程为； （2） 过点C作CD⊥MN于D，由是中点， 由得到，， 所以， 即， 所以 设直线l的方程为（直线l与x轴重合时不符题意） 由圆心到直线距离公式得，， 所以直线l的方程为． （3） 设，，，， 直线的方程为，其中． 与联立得， 由韦达定理得， 所以，， 所以，同理， 所以 ， 所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线和圆的方程综合检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（23-24高二下·浙江·期中）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径. 【详解】，即， 故该圆的圆心坐标为，半径为． 故选：A． 2．（23-24高一下·重庆·期末）若直线的倾斜角为，则实数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率定义，结合诱导公式可得. 【详解】由题知，， 解得. 故选：C 3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】A 【分析】求出两圆圆心坐标与半径，再求出圆心距与半径之和、半径之差的绝对值比较，即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 则，故，所以两圆内含； 故选：A 4．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意点在圆上，故由直线的斜率可得切线的斜率，进而由点斜式化为一般式子即可得解. 【详解】因为圆的圆心坐标为，且点的坐标满足， 这表明点在圆上，所以直线的斜率为，过点的切线的斜率为， 所以该切线方程为，化为一般式得. 故选：B. 5．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（    ） A．-2 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据直线平行求出即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或1，经检验均满足题意， 所以实数的所有取值之和为. 故选：B 6．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 【答案】C 【分析】求出圆的圆心和半径，直线所过的定点，再由该定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置即可. 【详解】圆的圆心，半径， 直线恒过定点， 显然， 因此点在圆内，直线与圆相交，ABD错误，C正确. 故选：C 7．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解. 【详解】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 8．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知圆直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点．则下列说法正确的是（   ） A．四边形的面积最小值为 B．最短时，弦AB长为 C．最短时，弦AB直线方程为 D．直线AB过定点 【答案】B 【分析】A选项，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，又因切线长定理可知，当最短时，面积最小；B选项，由圆的弦长公式结合锐角三角函数即可求解；C选项，两垂直直线的斜率相乘等于，两平行直线斜率相等；D选项，由向量积公式求定点坐标． 【详解】对于A，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和， 即， 最短时，面积最小，故当时，最短， 即， ，故A错误； 由上述可知，时，最短，故最小， 且最小值为， 所以，故B正确； 当最短时，则，又，所以，， ， 可设的直线方程为， 圆心到直线的距离， 解得或， 由于直线在圆心的右侧，且在直线的左侧， 所以， 所以， 即直线的方程为，故C错误； 设圆上一点，，， ，，， 易知， 由于， 所以， 同理， ， ， ，即， 令，解得， 所以直线过定点为，故D错误． 故选：B． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二上·浙江宁波·期末）下列说法中正确的是（   ） A．直线在轴上的截距是 B．直线恒过定点 C．点关于直线对称的点为 D．过点且在轴､轴上的截距相等的直线方程为 【答案】BC 【分析】对于A项，将直线方程化成斜截式方程即得；对于B项，把直线方程化成关于参数的方程，依题得到，解之即得；对于C项，只需验证两点间的线段中点在直线上，且两点的直线斜率与已知直线斜率互为负倒数即可；对于D项，需注意截距相等还包括都为0的情况. 【详解】对于A项，由可得：，可得直线在轴上的截距是，故A项错误； 对于B项，由可得：，因，则有：， 故直线恒过定点，故B项正确； 对于C项，不妨设,直线，因直线的斜率为与直线的斜率为1的乘积为，则得, 又由点到直线的距离为与点到直线的距离为相等，且在直线的两侧，故点关于直线对称的点为，即C项正确； 对于D项，因过点且在轴､轴上的截距相等的直线还有，故D项错误. 故选：BC. 10．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圆，圆，则（    ） A．圆心距 B．当时，两圆公共弦所在直线方程为 C．若圆与圆无公共点，则 D．若圆与圆只有一条公切线，则 【答案】AD 【分析】首先得到两圆圆心坐标与半径，即可求出圆心距，从而判断A；两圆方程作差得到公共弦方程，即可判断B；由或即可判断C；两圆内切，即可求出，从而判断D. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以，故A正确； 当时，圆，则， 此时，即两圆相交， 则公共弦方程为，整理可得，故B错误； 若圆与圆无公共点，则或， 即可得或，解得或，故C错误； 若圆与圆只有一条公切线，则圆与圆相内切，则，即，解得，故D正确. 故选：AD 11．（23-24高二下·浙江·期中）已知直线与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．的最小值为 C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 D．若，，，（为坐标原点）四点共圆，则 【答案】BC 【分析】对于A，根据直线过圆心可得；对于B，由直线时弦可解；对于C，对曲线方程整理，结合圆系方程可得；对于D，由的垂直平分线确定圆心纵坐标，根据两圆方程求出直线方程，由直线过点D即可求解. 【详解】直线过定点， 圆，即，圆心为，半径． 对于A选项，若圆关于直线对称，则直线过圆心，得，故A错误． 对于B选项，圆的圆心为，半径为4， 圆心到直线的距离的最大值为， 所以的最小值为，故B正确． 对于C选项，当时，直线：， 曲线：，即， 所以曲线即为过直线与圆的交点的曲线方程，故C正确． 对于D选项，若，，，四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心为， 的中点为，所以的垂直平分线方程为：，所以， 圆的方程为，整理得， 直线是圆和圆的交线，所以直线的方程为， 将点坐标代入上式得，解得， 所以直线即直线的斜率为，所以，故D错误． 故选：BC 【点睛】结论点睛：过直线与圆交点的圆系方程为； 圆和圆的公共弦所在直线方程为. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（23-24高二下·云南玉溪·期中）过三点的圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】首先设出圆的标准方程，再代入3点，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 得，得， 所以圆的标准方程是. 故答案为： 13．（23-24高二下·上海·期中）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】注意分斜率不存在和存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式以及垂径定理即可求得答案. 【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时直线l截圆所得弦长为，满足题意， 设直线l的方程为，即. 由垂径定理，得圆心到直线l的距离， 结合点到直线距离公式，得， 化简得，解得，即直线l的方程为. 故答案为：或. 14．（23-24高二上·湖北·期末）已知直线与直线相交于点，其轨迹记为曲线，曲线的方程为，点，分别在曲线，上运动，点在直线上，若直线经过点，且与两曲线，的公共弦所在的直线垂直，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意首先得，，取点关于直线的对称点为，结合三角形三边关系即可求解. 【详解】 由题意即，即， 所以， 注意到点不满足和， 所以化简得， 又， 两式相减得公共弦方程为， 所以直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点为， 所以，解得， 所以 ， 当且仅当点与与直线的交点重合时，等号成立， 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是取点关于直线的对称点为，由此即可顺利得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）已知点，求下列直线的方程： (1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； (2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据题意，分直线过原点与不过原点讨论，结合直线的截距式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，求得点关于轴的对称点的坐标为，再由直线的点斜式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）当直线过原点时，满足在轴上的截距是轴上截距的2倍， 此时直线方程为，将代入，可得，化简可得； 当直线不过原点时，设直线方程为，且， 即，将代入，可得，解得， 则直线方程为，化简可得； 综上，直线方程为或. （2）点关于轴的对称点的坐标为， 由题意可知，反射光线所在的直线经过点与， 所以反射光线所在的直线斜率为， 则反射光线所在的直线方程为， 化简可得. 16．（15分）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M． (1)求圆C的圆心坐标及半径； (2)求满足的点P的轨迹方程． 【答案】(1)圆心坐标为，圆C的半径为1． (2) 【分析】（1）将圆的一般方程配成标准方程，即可求解圆心，利用相切即可求解半径， （2）根据两点间的距离公式即可列等式，化简即可求解. 【详解】（1）圆C的标准方程为，所以圆C的圆心坐标为．又圆C与y轴相切，所以，即，故圆C的半径为1． （2）设，则，． 由于，则， 整理得点P的轨迹方程为：． 经检验，上的点都符合条件． 17．（15分）（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知圆C：，直线l：与圆C交于两点A，B． (1)若，求实数m的值； (2)若点P为直线l所过定点，且，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解， （2）根据向量的坐标运算即可得，联立直线与抛物线方程，即可根据韦达定理求解. 【详解】（1）由题意可知：圆C：的圆心为，半径为． 圆心C到直线l：的距离为：， 由解得：． （2）直线l的方程：可化为：， 直线l过定点，且在圆内； 设，， ，， ， ，① 由得： （※） ，② 由①②解得，带入（※）式，解得， 直线l的方程为或． 18．（17分）（23-24高二下·上海·期中）已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求证：的面积为定值． (2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． (3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)最小值为， 【分析】（1）由已知直接可得圆的方程，进而可得点与的坐标，进而可得证； （2）由已知可得，进而可得参数，及圆的方程； （3）根据对称可得点关于直线的对称点，进而可知，根据点与圆的位置关系可得的最小值，进而可得点的坐标. 【详解】（1）由题意可得圆的方程为：， 化简可得， 与坐标轴的交点分别为：，， 为定值. （2）如图所示， ， 原点在线段的垂直平分线上， 设线段的中点为，则，，三点共线， 又的斜率， ， 解得， 又，所以， 可得圆心， 圆的方程为：； （3）如图所示， 由（2）可知：圆心，半径，， 设点关于直线的对称点为， 则中点为， 且，解得，即， 则， 又点到圆上点的最短距离为， 则的最小值为， 此时直线的方程为：， 点为直线与直线的交点， 则，解得， 即点. 19．（17分）（23-24高二上·四川内江·期中）在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得的弦长为．经过坐标原点的直线与圆交于两点． (1)求圆的方程； (2)求当满足时对应的直线的方程； (3)若点，直线与圆的另一个交点为，直线与圆的另一个交点为，分别记直线、直线的斜率为，，求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 （1）由题意设圆方程为，然后由已知点坐标和轴上的弦长列方程组，得方程； （2）过点C作于D，由是中点，由平面向量的性质得，从而利用勾股定理求得，再设出直线方程，由点到直线距离公式求得参数值得直线方程； （3）设，，，，写出直线方程，与圆方程联立求得点坐标（用表示），同理得点坐标，然后计算斜率进行证明． 【详解】（1） 由已知圆的圆心在轴上，经过点， 且被轴截得的弦长为．设圆， 所以，解得， 所以圆的方程为； （2） 过点C作CD⊥MN于D，由是中点， 由得到，， 所以， 即， 所以 设直线l的方程为（直线l与x轴重合时不符题意） 由圆心到直线距离公式得，， 所以直线l的方程为． （3） 设，，，， 直线的方程为，其中． 与联立得， 由韦达定理得， 所以，， 所以，同理， 所以 ， 所以． 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设点法，再得到直线方程与圆方程联立求出的坐标，最后得到斜率表达式并化简即可. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$