空间直线、平面的垂直(一)专项训练——2025届高三数学一轮复习

空间直线、平面的垂直(一) 一、单项选择题 1．已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是(　　) A．a∥α，b∥β，a⊥b B．α⊥γ，β⊥γ C．a∥α，a⊥β D．α∩β＝a，a⊥b，b⊂β 2．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是(　　) A．平面ABCD　　　 B．平面PBC C．平面PAD 　 D．平面PAB 3．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在平面ABC上的射影H必在(　　) A．直线AB上 　 B．直线BC上 C．直线AC上 　 D．△ABC内部 4．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，F是PB上一点，则下列判断错误的是(　　) A．BC⊥平面PAC B．AE⊥EF C．AC⊥PB D．平面AEF⊥平面PBC 5．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列选项不正确的是(　　) A．直线A1B与B1C所成的角为60° B．A1B⊥DB1 C．DB1⊥平面ACD1 D．B1C⊥B1D 6．已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中(　　) A．存在某个位置，使得直线BD与直线AC垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线BC与直线AD垂直 D．对任意位置，三对直线“AC与BD”“CD与AB”“AD与BC”均不垂直 二、多项选择题 7．已知平面α∩平面β＝l，B，D是l上两点，直线AB⊂α且AB∩l＝B，直线CD⊂β且CD∩l＝D.下列结论中，错误的有(　　) A．若AB⊥l，CD⊥l，且AB＝CD，则四边形ABCD是平行四边形 B．若M是AB的中点，N是CD的中点，则MN∥AC C．若α⊥β，AB⊥l，AC⊥l，则CD在α上的射影是BD D．直线AB，CD所成角的大小与二面角α-l-β的大小相等 8．已知正方体ABCD -A1B1C1D1，则(　　) A．直线BC1与DA1所成的角为90° B．直线BC1与CA1所成的角为90° C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45° 三、填空题 9．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可) 10．如图，△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角 A-BD-C的余弦值为_________． 11．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么点P到平面ABC的距离为________. 12．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为邪田，两畔CD，AB分别为1，3，正广AD为2，PD⊥平面ABCD，则邪田ABCD的邪长为________；邪所在直线与平面PAD所成角的大小为________． 四、解答题 13．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. (1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； (2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高． 14．在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P-BCDE. (1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P-BCDE的体积； (2)若PB＝PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE. 参考答案 1．C　[对于A，a∥α，b∥β，a⊥b时，α∥β也可能满足，如图1，故A错误； 对于B，α⊥γ，β⊥γ时，α∥β也可能满足，如图2，故B错误； 对于C，a∥α，a⊥β时，一定有α⊥β，故C正确； 对于D，α∩β＝a，a⊥b，b⊂β时，α⊥β不一定成立，如图3，故D错误． 故选C.] 2．C　[因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， 所以PA⊥CD， 由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD， 因为PA∩AD＝A， 所以CD⊥平面PAD. 又CD⊂平面PCD， 所以平面PCD⊥平面PAD. 故选C.] 3．A　[由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1. 因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC. 所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．故选A.] 4．C　[对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而BC⊂底面圆面，则PA⊥BC， 又由圆的性质可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，则BC⊥平面PAC，所以A正确； 对于B，由A选项可知BC⊥AE， 由题意可知AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PCB，所以AE⊥平面PCB，而EF⊂平面PCB， 所以AE⊥EF，所以B正确； 对于C，由B选项可知AE⊥平面PCB，因而AC与平面PCB不垂直，所以AC⊥PB不成立，所以C错误； 对于D，由B选项可知，AE⊥平面PCB，AE⊂平面AEF，由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC.所以D正确．故选C.] 5．D　[正方体ABCD-A1B1C1D1，如图所示， ∵A1B∥D1C，∴直线D1C与B1C所成的角即为直线A1B与B1C所成的角． 又△B1CD1为等边三角形， ∴∠D1CB1＝60°， 故A正确； ∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD， ∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC. ∵BD⊂平面BB1D1D，BB1⊂平面BB1D1D，BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D. 又B1D⊂平面BB1D1D，∴AC⊥DB1. 同理AD1⊥DB1， 又AC⊂平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，AC∩AD1＝A， ∴DB1⊥平面ACD1，∴DB1⊥D1C. 又A1B∥D1C，∴DB1⊥A1B，故B，C正确； 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1， 则DC＝1，B1C＝，DB1＝，cos ∠CB1D＝＝，故D错误． 故选D.] 6．B　[矩形在翻折前和翻折后的图形如图1，图2所示． 在图1中，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F， 由边AB，BC不相等可知点E，F不重合； 在图2中，连接CE. 若AC⊥BD，又知BD⊥AE，AE∩AC＝A，所以BD⊥平面ACE， 所以BD⊥CE，与点E，F不重合相矛盾，A错误； 若AB⊥CD，又知AB⊥AD，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC，所以AB⊥AC， 由AB<BC可知存在这样的直角三角形，使得直线AB与直线CD垂直，B正确； 若AD⊥BC，又知DC⊥BC，AD∩DC＝D，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AC， 由已知AB＝2，BC＝2，则BC>AB，所以不存在这样的直角三角形，C错误； 由以上可知D错误． 　 故选B.] 7．ABD　[由题意，AB，CD为异面直线，所以四边形ABCD为空间四边形，不能为平行四边形，A错误； 取BC的中点H，连接HM，则HM是△ABC的中位线，所以HM∥AC， 因为HM与MN相交，所以MN与AC不平行，B错误； 若AB⊥l，AC⊥l，所以由线面垂直的判定定理可得l⊥平面ABC，所以l⊥BC， 由α⊥β结合面面垂直的性质可得BC⊥α，所以点C在平面α内的投影为点B， 所以CD在平面α内的射影为BD，C正确； 由二面角的定义可得当且仅当AB⊥l，CD⊥l时，直线AB，CD所成的角或其补角才为二面角的大小，D错误． 故选ABD.] 8．ABD　[如图，连接B1C，BC1，因为DA1∥B1C ，所以直线BC1与B1C所成的角即为直线BC1与DA1所成的角， 因为四边形BB1C1C为正方形，则B1C⊥BC1，故直线BC1与DA1所成的角为90°，A正确； 连接A1C，因为A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，则A1B1⊥BC1 ， 因为B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1C，又A1C⊂平面A1B1C，所以BC1⊥CA1，B正确； 连接A1C1，B1D1，设A1C1∩B1D1＝O，连接BO， 因为BB1⊥平面A1B1C1D1，C1O⊂平面A1B1C1D1，则C1O⊥B1B，因为C1O⊥B1D1, B1D1∩B1B＝B1，所以C1O⊥平面BB1D1D， 所以∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角， 设正方体棱长为1，则C1O＝，BC1＝，sin∠C1BO＝＝， 所以直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°，C错误； 因为C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，易得∠C1BC＝45°，D正确．故选ABD.] 9．DM⊥PC(或BM⊥PC等)　[∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC(图略)，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC. ∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.] 10．－　[过A作AE⊥CB，交CB的延长线于点E，连接DE， ∵平面ABC⊥平面BCD，∴ AE⊥平面BCD， ∴点E即为点A在平面BCD内的射影， ∴△EBD为△ABD在平面BCD内的射影， 设AB ＝a，则AE＝DE ＝ABsin 60°＝a， ∴AD＝a，cos ∠ABD＝，∴sin ∠ABD＝， ∴S△ABD＝a2×＝a2, 又BE＝a， ∴S△BDE＝a×a＝a2， 设θ为射影面与原面所成的二面角的平面角， ∴cos θ＝＝. ∵所求的角θ是二面角A-BD-E，而二面角A-BD-C与A-BD-E互补， ∴二面角A-BD-C的余弦值为－.] 11．　[如图，过点P作PO⊥平面ABC于点O，则PO为点P到平面ABC的距离． 再过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F， 连接PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC. 又PE＝PF＝，所以OE＝OF， 所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°. 在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1， 所以OE＝1，所以PO＝＝＝.] 12．4　30°　[过点C作CE⊥AB，垂足为点E，延长AD，BC，使得AD∩BC＝F，如图所示．由题意可得CE＝2，BE＝2，则BC＝＝4．即邪田ABCD的邪长BC为4．由题意知AB⊥AD，CD∥AB，所以＝＝，所以DF＝.因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AB，又AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，则∠AFB是直线BC与平面PAD所成角的平面角， tan ∠AFB＝＝＝，所以∠AFB＝30°.即邪所在直线与平面PAD所成角的大小为30°.] 13．解：(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC， 因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC， 又A1C∩AC＝C，A1C，AC⊂平面ACC1A1， 所以BC⊥平面ACC1A1， 又BC⊂平面BB1C1C， 所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. (2)如图，过点A1作A1H⊥CC1，交CC1于点H，由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C， 又平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1， A1H⊂平面ACC1A1，所以A1H⊥平面BB1C1C， 即四棱锥A1-BB1C1C的高为A1H. 由题意知AB＝A1B，BC＝BC，∠A1CB＝∠ACB＝90°，则△ACB≌△A1CB，故CA＝CA1. 又AA1＝2，∠ACA1＝90°， 所以A1C1＝CA1＝. 法一：由＝·A1C1＝·A1H·CC1，得A1H＝＝＝1， 故四棱锥A1-BB1C1C的高为1. 法二：在等腰直角三角形CA1C1中，A1H为斜边中线，所以A1H＝CC1＝1， 故四棱锥A1-BB1C1C的高为1. 14．解：(1)如图所示，取DE的中点M，连接PM，由题意知，PD＝PE，∴PM⊥DE， 又平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，PM⊂平面PDE，∴PM⊥平面BCDE，即PM为四棱锥P-BCDE的高． 在等腰直角三角形PDE中，PE＝PD＝AD＝2， ∴PM＝DE＝， 而梯形BCDE的面积S＝(BE＋CD)·BC＝×(2＋4)×2＝6， ∴四棱锥P-BCDE的体积V＝PM·S＝×6＝2. (2)证明：取BC的中点N，连接PN，MN，则BC⊥MN， ∵PB＝PC，∴BC⊥PN， ∵MN∩PN＝N，MN，PN⊂平面PMN，∴BC⊥平面PMN， ∵PM⊂平面PMN，∴BC⊥PM，由(1)知，PM⊥DE， 又BC，DE⊂平面BCDE，且BC与DE是相交的， ∴PM⊥平面BCDE， ∵PM⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面BCDE 学科网（北京）股份有限公司 $$