福建省厦门市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题

厦门市2023一2024学年第二学期高一期末质量检测 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡 上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.若(1-i)z=1+3i,则z= A.2+i B.2+2i C.1+2i D.-1+2i 2.为了解某校高一年级学生体育锻炼情况，用比例分配的分层随机抽样方法抽取50人作为 样本，其中男生20人.已知该校高一年级女生240人，则高一年级学生总数为 A.600 B.480 C.400 D.360 3.在梯形ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2CD=2,以AD所在直线为旋转轴，其余各 边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为 A罗 B.号 C.5m D.7m 4.甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲、乙两人同时获奖的 概率为02，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为 A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.9 5.如图，甲在M处观测到河对岸的某建筑物在北偏东15方向，顶 部P的仰角为30°，往正东方向前进150m到达N处，测得该建筑 物在北偏西45°方向.底部Q和M,N在同一水平面内，则该建筑 物的高PQ为 A.502m B.503m C.1502m D.1506m 6.已知a,B,y是三个不重合的平面，axnB=m,a∩y=n,则 第5题图 A若m∥n,则B∥y B.若m⊥n,则B⊥y C.若a⊥B,a⊥y,则m∥n D.若a⊥Y,B⊥y,则m⊥n 7.若引z=z-5=|z-i,则|z= A.1 B.迈 C.5 D.2 高一数学第1页（共4页） 8向量6,4，a满足e6,=0,e,=e=1,a-,a-e,)=号，则a的最大值为 A.迈 B.5+6 2 C. D.6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某学校开展消防安全知识培训，对甲、乙两班学员进行消防安全知识测试，绘制测试成绩的 频率分布直方图，如图所示： 颜率/组距 频率/组距个 0.064 0.064 0.040 0.040 0.032 0.032 0.024 0.024 0.016 0.016 0.008 0.008 01 65707580859095100成绩/分 657075808p9095100成绩/分 甲班 乙班 A.甲班成绩的平均数<甲班成绩的中位数 B.乙班成绩的平均数<乙班成绩的中位数 C.甲班成绩的平均数<乙班成绩的平均数 B乙班成绩的中位数<甲班成绩的中位数 10.在梯形ABCD中，A⑦=2B元，|AD1=2A1,A=2N,则 A成=店-分d B.AB.BD=0 c.A元.ci=0 D在花上的投影向量为子记 11.在长方体ABCD-A,B,CD,中，AB=AD=1,AA1=2,动点P满足B=ABC+BB (入4∈[0,1])，则 A.当入=0时，AC⊥DP B.当入=1时，AC与DP是异面直线 C,当4=1时，三棱锥P-ABB,的外接球体积的最大值为 3 D.当u=时，存在点P,使得DP1平面ACD, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.向量a=(2,-4),b=(-1,x),若a∥b,则x=▲ 13.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,四边形ABCD为正方形，∠PDA=45°，则直线PB 与AC所成角的大小为▲： 14.在△ABC中，AB=2AC,D为边BC的中点，∠A的平分线交BC于点E,若△ADE的面积为1， 则△ABC的面积为▲，DE的最小值为▲.（第一空2分，第二空3分） 高一数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 某厂为了提升车载激光雷达质量的稳定性，对生产线进行升级改造.为了分析升级改造的 效果，随机抽取了12台车载激光雷达进存检测，检测结果如下： 序号i 3 5 6 8 9 10 11 12 探测距离x 146 151 152 149 153 150 144 150 156 (单位：m) 统计后得到样本平均数元=150，方差s=9,,x4,x∈(147,153) (1)升级改造后，若有65%的产品的探测距离在(：-s,元+s)内，则认为升级改造成功：若改 造成功且有95%的产品的探测距离在(-2s,x+2s)内，则认为升级改造效果显著. 根据样本数据，分析此次升级改造的效果： (2)采用在(x-2s,E+2s)内的数据作为新样本，求新样本的平均数x和方差s2 16.(15分) 甲每次投篮投进的概率是07.连续投篮三次，每次投篮结果互不影响.记事件A为“甲至 少投讲两建” (1)用x(i=1,2,3)表示甲第i次的投篮结果，则(x1,2,x3)表示试验的样本点.用1表示 “投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生0~9之间的整数随机数，当出现随机数0-6时，表示“投进”，出现7,8,9 时表示“未投进”.以每3个随机数为一组，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数： 062c44228933r,7743.783076276 9所134911149叫99539653101665140 利用该模拟试验，估计事件A的概率，并判断事件A的概率的精确值与估计值是否存 在差异，并说明星由. 17.(15分) 已知a,b,c分别为锐角三角形ABC三个内角A,B,C的对边，且asinC+5 acosC=3b, (1)求A: (2)已知a=3,点O为△4BC的垂心，求△B0C的周长的最大值 高一数学第3页（共4页） 18.(17分) 在三棱柱ABC-A,B,C,中，侧面ACC1A1⊥平面ABC,CA⊥CB,CA=CB=2CC1=4,E,F分 别为AC,AB,的中点. (1)求证：A,E∥平面BCF; (2)若二面角A-BC-C,的大小为，求证：BF与AC,不垂直； (3)若c0 osLArAB∈(0，朵1，求AB与平面BCF所成角的正弦值的取值范围 第18题图 19.(17分) 已知点0为坐标原点，将向量0A绕0逆时针旋转角α后得到向量O尼. (1)若0=(2,2)，a=石，求0的坐标； (2)若0A-(a,b),求0B的坐标（用a,b,a表示）； (3)若点M,N在抛物线y=x2-t(teR)上，且△OMW为等边三角形，讨论△OMN的个数. 高一数学第4页（共4页）》厦门市2023-2024学年度第二学期高一年级质量检测 数学试题参考答案与评分标准 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.D2.C3.B4.B5.A6.D7.A8.B 第8题提示：OE,=e,OE,=e,OA=a,因为ee2=0,|e月e=1, 所以E6,=5.因为<a-Ga-6入了所以∠B4=背过 3 6,4,6,的圆C的半径r=6C=6,且oC=2+6 则 3 2 6 1Oi的最大值为0c+r=5+6 2 ,所以选B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个 选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.BC 10.ACD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2 13.号 14.①6 ⑧ 2 第14题提示：(1)在△ABC中，设A,B,C对应的边分别为a,b,c, 因为D为BC的中点，所以DC=号· 因为AE为∠BAC的平分线，AB=2AC,所以4B=B5=2,所以EC=BE=9 AC EC 23 所以DE=DC-EC=9 6 因为SAE=。Sa=1,所以Sac=6 b2=24 (2)在△ABC中， (Ibcsin A=6. 2 所以 sin A' 6 b=2c sinA 因为d2=b+c2-2 bccosA=24+ 624c0sA30-24c0sA sin 4 sin 4 sin sin A 30(sin+eos)-24(cos-sin 2 2 2 A 2sin 4 cos -=27 tan 3 + ≥18， 2 A tan 2 2 2 当且仅当am-}时，等号成立，所以a≥3W5,所以DE≥5 23 2 高一数学试题答案第1页（共8页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.本题考查样本的数字特征、样本估计总计等基本知识：考查数据处理、运算求解、推理 论证等数学能力：考查样本估计总体、化归与转化等思想，本题满分13分 解：(1)依题意得s=3,(x-8,x+)=(147,153),(x-2s,x+2s)=(144,156), 共有8个数据落在(G-s,x+s)内， 8≈66.7%>65%，2分 12 所以有65%产品的探测距离在(x-s,x+s)内， 所以升级改造成功： 3分 共有10个数据落在代-25，x+2)内， ≈83.3%<95%，4分 所以没有95%产品的探测距离在(x-2s,x+2s)内， 所以升级改造成功，但效果不显著。…。 5分 (2)依题意，需剔除数据x。=144,x2=156, 6分 因为样本平均数x=150,方差s2=9, 所以x=l50,G-l150=9,8分 12台 所以2x=1800,龙x-150y°=108， 9分 所以新样本的平均数之_白 x-(x+) 1800-044+156=150’11分 10 10 新样本的方差为 =2-150-6化-150-6-1501-008-36-30-g .13分 16.本题考查样本空间、古典概型、概率的基本性质、相互独立事件、频率与概率等基本数 学知识：考查逻辑推理、运算求解等数学能力：考查化归与转化、分类讨论等数学思想.本 题满分15分 解：(1)该试验的样本空间为 2={11,1),1,1,0),(1,0,1),1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(0,01),(0,0,0)}, 共有8个样本点。… 4分 样本点(L,1,1)的概率为0.7，样本点(0,0,0)的概率为0.3，这两个样本点的概率不相等， 所以这个试验不是古典概型.… .6分 (2)产生20组随机数相当于做了20次重复试验，其中事件A发生了18次， 则事件A的频率为)8=0.9，所以事件A的概率的估计值为0.9.…8分 20 设事件B=“甲第i次投进”，i=1,2,3,则A=BB,B,+BB,B,+BBB,+BB,B 因为PB)=PB)=P(B)=0.7,P(B)=P(B)=P(B)=0.3 又因为每次投篮结果互不影响，所以B,B,与B,相互独立，B，B,与B相互独立， B,B,与B相互独立，B,B,与B相互独立且BB,B,BB,B,BB,B,BB,B 两两互斥，10分 所以P(A)=P(BB2B,+B,B,B,+BBB,+B,BB,） =P(BB,B)+P(B B2B)+P(BB,B)+P(BB,B) =P(B)P(B )P(B)+P(B)P(B )P(B)+P(B)P(B )P(B)+P(B)P(B,)P(B) =0.7×0.7×0.3+0.7×0.3×0.7+0.3×0.7×0.7+0.7×0.7×0.7=0.784.13分 所以事件A的概率的估计值和P(A)有差异.原因如下： 高一数学试题答案第2页（共8页） (①随机事件发生的频率具有随机性，频率和概率有一定的差异： ②重复试验次数为20，样本量较少，频率偏离概率的幅度大的可能性更大.…15分 17.本题考查三角形边角关系，正余弦定理等基本知识：考查推理论证、运算求解等能力， 考查化归与转化、数形结合等数学思想.本题满分15分 解：解法一：(1)依题asinC+√5 acosC=√56，由正弦定理a= b sin A sin B sinC 得sin AsinC+√5 sin AcosC=√3sinB, 1分 由A+B+C=π，得sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cos AsinC,代入得 sin Asin C+3sin AcosC=3sin AcosC+3 cos Asin C, 2分 即sin AsinC=√3 cos Asin C,… 3分 由sinC≠0，得sinA=3c0sA，4分 得tanA=√5，… 5分 02得4 由Ae0, 3 .6分 (2)如图，由O为锐角三角形ABC的垂心，有BO⊥AC,垂足为E,CO⊥AB,垂 足为F,即∠AFO=∠AEO=T, 2 由A-号，四边形FOEA内角和为2，得∠POE 2π =∠BOC 8分 设BO=m,CO=n, 在△B0C中，由余弦定理a2=m2+m2-2 mn cos2n 得m2+n2+in=3,即(m+n）-3=mm,…10分 由”之m,得mn≤m+,当且仅当m=n时，等号成立1分 2 4 m+m-3（m+川，得0<m+n≤23分 4 当m=刀=1时，m十n的最大值为214分 故△BOC周长的最大值为1+1+√5=2+√5…15分 解法二：(1)同解法一： (2)由O为锐角三角形ABC的垂心，有BO⊥AC,垂足为E,CO⊥AB,垂足为F, 即∠AF0=∠AB0-号 三，四边形F0EA内角和为2x,得∠F0E=经=∠B0C 3 设∠OCB=0, 则∠0BC=-0, 2 OB oc BC 5 在△BOC中，由正弦定理sin0 -2 sin∠BOC .2π sin sin- …10分 3 3 则OB=2sin0, OC=2sin -0 3 OB+OC=2sin+2sin 3 11分 高一数学试题答案第3页（共8页） =2sin0+3cos0-sin0=2sin(0+) …13分 因为0(0写引故当0=君时，(o8+0C)=2. 6 】4分 故△BOC周长的最大值为2+√515分 18.本题考查空间中点、线、面之间的位置关系，线面角、二面角等基本知识：考查空间想 象、推理论证、运算求解等能力，考查化归与转化、数形结合等数学思想.本题满分17分， 解：解法一：(1)证明：取BC中点M,连接EM,FM, 在△ABC中，E,M分别是AC,BC的中点，所以EM//AB,EM=} 又F是AB的中点，所以AF∥AB,AF=AB, 2 所以EM∥AF,EM=AF,o= 1分 所以四边形AEMF为平行四边形，… B12分 所以AE/∥FM,m冰 23分 B 因为AE文平面BCF,FMC平面BCF，所以AE∥平面BCF.4分 (2)证明：假设BF⊥AC, 因为侧面ACCA⊥平面ABC,侧面ACC,A∩平面ABC=AC,AC⊥CB, BCC平面ABC,所以BC⊥侧面ACCA, 5分 所以BC⊥AC,BC⊥CC,所以二面角A-BC-C的平面角为∠ACC, 所以∠ACC=120,.6分 又BC⊥侧面ACCA,所以BC⊥AC, 因为BF⊥AC,BC∩BF=B,BC,BFC平面BCF, 所以AC⊥平面BCF. 因为FMC平面BCF,所以AC,⊥FM,A 由(1)知AE∥FM,所以AC⊥AE …B8分 在平行四边形ACCA中，AC=4,CC=2,∠ACC=120, 所以AE=2,EC=25, 高一数学试题答案第4页（共8页） 所以4E2+EC2=AC2,所以EC1AE,9分 所以AC∥EC,与AC∩EC=C矛盾，所以BF与AC不垂直.10分 (3)作AP⊥AC于点P,作PQ⊥AB于点Q,连接AQ, 由BC⊥侧面ACC,A,APC侧面ACCA,得BC⊥AP, 又BC∩AC=C,BC,ACC平面ABC,所以AP⊥平面ABC. 所以AP⊥AB,又PQ⊥AB,AP∩PQ=P, 所以AB⊥平面APQ,所以AQ⊥AQ,…11分 在R1△AAP,R1△APQ,R△AAQ中， cos∠AAC=P A'cos∠BAC= AP ，cos∠4AB=Ag A AA AP AOAO 因为44 AP A4 A B 所以coS∠AAC.CoS∠BAC=coS∠AAB,. .12分 因为∠BAC=45,所以cOs∠AAC=V2cos∠AAB, 4ABe(0,2],所以cos∠AAC 13分 所以A4Ce婚所∠4ce昏. 取AC中点G,所以FG∥B,C,所以FG∥BC, 所以B,C,G,F四点共面， 连接EG,因为AE=EC=EG=2, 所以AG1CG,14分 由(2)知BC⊥侧面ACC,A,所以平面BCGF⊥侧面ACC,A, 平面BCGF∩侧面ACCA=CG,，AGc侧面ACCA,所以AG⊥平面BCGF, 所以AB与平面BCF所成角为∠ABG,I5分 在等腰△AAG中，AG=2A4:sin∠AMC=4sin∠AMG 2 由∠4C∈受1，得4Gew2.,2. 16分 高一数学试题答案第5页（共8页） 连接BG,在R△ABG中，AB=42,所以sin∠ABG=名E(,1, .e( AB 所以AB与平面BCF所成角正弦值的取值范围为 16 …17分 解法二：(1)(2)同解法一： (3)设点A到平面BCF的距离为d, 因为AB,∥平面ABC, 所以V-Cr=Ve-AC=V4-AC=gAdC… 11分 由(1)(2)知BC⊥侧面ACC,A,AE∥FM, 所以BC⊥FM, 因为FM=AE=4sim∠44C 2 所以s5mc.RM-4x44 2 2=8sin∠A4C 2 2x4,4C-sim∠A4C=x2x4sin乙A4C=4im∠44C. 所uagd=eBC,即时×8sn41Cd-x4x4m乙A4C, 2 3 所以d=4cos∠44C .13分 设AB与平面BCF所成角为0，则sin0= 4cos∠44C cos 244C 2 2 ,14分 AB 4W2 √2 作AP⊥AC于点P,作PQ⊥AB于点Q,连接AQ, 由BC⊥侧面ACC,A,APC侧面ACCA,得BC⊥AP, 又BC∩AC=C,BC,ACC平面ABC,所以AP⊥平面ABC, 所以AP⊥AB,又PQ⊥AB,AP∩PQ=P,所以AB⊥平面APQ,所以AQ⊥AQ, 在R1△AAP,R1△APQ,R1△AAQ中， cos∠A4C= A4'Cos∠BAC=4 ,cos∠A4B=4 AP AA' AP AO AQ 因为AA APAA' 所以coS∠AAC·coS∠BAC=coS∠AAB, 高一数学试题答案第6页（共8页） 因为∠BAC=45',所以cOs∠AAC=V√2cos∠AAB, 又os∠44Beo经.所以eo∠A4Ceo, .16分 2 64 2 2’2 ∠AAC 所以sin0= 2 16 2 所以B与平面BCF所成角正弦值的取值范围为（宁） 1v6 …17分 19.本题考查平面向量、三角函数、方程的解等基本知识：考查推理论证、运算求解等能力： 考查数形结合、化归与转化等数学思想：本题满分17分 解：(1)设∠xOA=B,B∈[0,2π)， 已知42,2)，则oi=25,B- 1分 因为逆时针旋转2，则OB卡22，∠0B=B+a=+”-50 6 4612 .2分 设Bm,m,m=2W5cs∠0B=2W2×6-5=5-1. m=25sim∠r08=22×6+5.5+1, 4 所以OB=(√5-L,5+). 4分 (2)设OA=r,有OA=(rcos B,rsinB), 因为OB由OA绕坐标原点O逆时针旋转角α后所得 所以OB上r,OB=(rcos(B+a),rsin(B+a), 5分 因为a=rcos B,b=rsin B, 所以rcos(B+a)）=rcos Bcosa-rsin Bsina=acosa-bsina, rsin(B+a)=rsin Bcosa+rcospsina =asina+bcosa,........................ 所以OB=(acosa-bsina,asina+bcosa). 8分 3)设M,)=0时，x≠0)，由(2)知逆时针旋转号得：N5-B,5+为， 222 [y=x2-1 M,N也在抛物线上，得B+=传-y-1 …9分 22 2 2 消1得：B-上=5X-5, 22 22 22 22 22 22八22 3 即(W5x-y)(3x+3W3y+2V3)=0 将y=x2-1代入，得(x2-√3x-103x2+√5.x+2-3)=0(*) 由y=x2-1,可知x确定，则y与之唯一确定。 所以讨论△OMN的个数等价于讨论方程(*)中解（除去1=0时的非零解）的个数 高一数学试题答案第7页（共8页） 令3x2+V5r+2-3t=0①，4，=312t-7) 令x2-√5x-t=0②，△2=4t+3 联立方程O②得，x:-5 ，7 ,1= ，所以r二7时，方程①②有相同解：x-3 12 6 .11分 当1<-3时，方程D2均无解，所以△ON的个数为0：…12分 4 当1=-3时，方程O无解，②仅有一个解，所以△OMN的个数为1：…13分 4 当1=0时，方程①无解，②有一个非零解：x=√5，所以△OMN的个数为1：14分 当-1<0或0<1<3时，方程①无解，②有两个解，所以A0MW的个数为2 .15分 当1=时，方程0仅有-解=-，②有两解x=-怎发-25，所以40N的 6 6 6 个数为2… …16分 当心时，方程O、②均有两个解，且两方程不同解，所以A0N的个数为4 综上所适：当1<-子时，ON的个数为0：当1=-子或0时，A0V的个数为1： 4 当-子1<0或0<1≤径时，A0N的个数为2：当>品时，A0N的个数为4 4 12 17分 高一数学试题答案第8页（共8页）