精品解析：北京市丰台区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

丰台区2023~2024学年度第二学期期末练习 七年级数学 注意事项 1．本练习卷共8页，共三道大题，26道小题，满分100分．练习时间90分钟． 2．在练习卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和考号． 3．练习答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题和作图题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 5．练习结束，将本练习卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共30分，每题3分） 第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 图1是丰台区城市形象标识的图案，下列图案可以由图1平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，由此逐项判断即可． 【详解】解：A．形状和大小都不变，可以由图1平移得到，符合题意； B．形状改变，不可以由图1平移得到，不合题意； C．形状改变，不可以由图1平移得到，不合题意； D．大小改变，不可以由图1平移得到，不合题意； 故选A． 2. 生物老师直观地介绍某种大麦穗长的分布情况，最适用的统计图是（ ） A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图 【答案】D 【解析】 【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之间频数的差别以及分布情况．据此作答．此题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图、频数分布直方图各自的特点． 【详解】解：∵生物老师直观地介绍某种大麦穗长的分布情况 ∴最适用的统计图是频数分布直方图 故选：D． 3. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．分别根据无理数、有理数的定义对选项进行判断，即可得出结果． 【详解】解：根据无理数的定义可知，是无理数； 故选：C 4. 若是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程的解，把与的值代入方程计算即可求出的值． 【详解】把代入方程得：， 解得：， 故选：A． 5. 能说明命题“如果，那么”是假命题的的值可以是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟知不等式的性质． 命题“如果，那么”在时，有．故是假命题． 根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】A． ：这是一个负数，所以如果，那么，因此命题是假命题． B． ：这是一个正数，所以如果，那么，命题是真命题． C． 1：这也是一个正数，所以如果，那么，命题是真命题． D． ：这同样是一个正数，所以如果，那么，命题是真命题． 故选： A． 6. 用三角板过点作所在直线的垂线，如图三角板的位置摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作垂线，根据过点作已知直线的垂线方法进行判断即可． 【详解】解：选项A中三角板过点，但不垂直，故不符合题意； 选项B中三角板过点且垂直，故符合题意； 选项C中三角板不过点，故不符合题意； 选项D中三角板过点但不垂直，故不符合题意， 故选：B． 7. “燕几”是世界上最早的组合家具，由七张桌子（包括2张长桌、2张中桌和3张小桌）拼成，每张桌子高度、宽度均相同，只有桌面的长度不同，七张桌面可以拼成不同的图形．如图是《燕几图》中名为“回文”的桌面拼合方式．如果设长桌的长为尺，中桌的长为尺，小桌的长为尺，那么下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用代数式表示几何图形的长度，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的关键． 设每张桌面的宽为a尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，即可得出正确的结论． 【详解】如下图，设每张桌面的宽为a尺， 根据图形可得：长桌的长为尺，中桌的长为尺，长桌的长为尺， ∴， 故选：A． 8. 地铁是一个城市幸福指数的标配．途经丰台区的部分地铁线路如图所示．在图中分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下三个结论： ①当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为； ②当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为； ③当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标以及平面直角坐标系的性质，注意在图中分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，分别根据每个选项的原点坐标进行逐个查找具体地点的坐标，再逐一比较，即可作答． 【详解】解：∵在图中分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， ∴①当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为； 故①是正确的； ∵在图中分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， ∴②当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为； ∴故②是正确的； ∵在图中分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， ∴③当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为． ∴故③是正确的； 故选：D 9. “低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图，这是某研究院关于低空经济市场规模的统计图：根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（ ） A. 2021至2026年低空经济市场规模逐年上升 B. 2023年低空经济市场规模增量最多 C. 从2024年开始低空经济市场规模增长率变小 D. 2026年低空经济市场规模将突破万亿元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与折线统计图，根据统计图逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、2021至2026年低空经济市场规模逐年上升，说法正确，不符合题意； B、2022年低空经济市场规模增量（亿元）， 2023年低空经济市场规模增量（亿元）， 2024年低空经济市场规模增量（亿元）， 2025年低空经济市场规模增量（亿元）， 所以2025年低空经济市场规模增量最多，选项说法错误，符合题意； C、从2024年开始低空经济市场规模增长率变小，说法正确，不符合题意； D、2026年低空经济市场规模约亿元，将突破万亿元，说法正确，不符合题意； 故选：B． 10. 为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道，上分别放置，两盏激光灯．如图，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动，灯先转动2秒，灯才开始转动，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是（ ） A. 3或21秒 B. 3或19.5秒 C. 1或19秒 D. 1或17.5秒 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，设A灯旋转时间为t妙，B灯光束第一次到达要则，分两种情况，分别画出图形利用平行线的性质列出关于t的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设A灯旋转时间为t妙，B灯光束第一次到达要， ∴， 由题意满足以下条件时，两灯的光束互相平行，如图1： ，即， 解得：， 如图2 此时， 即， 解得：， 综上：当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是1或17.5秒， 故选：D． 第二部分 非选择题 二、填空题（共24分，每题3分） 11. 16的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 【详解】，， 的平方根是． 12. 如图，数轴上表示的关于的不等式的解集是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了运用数轴表示不等式的解集，空心即为不取等号，在该点的左边即为小于该数，据此进行作答即可． 【详解】解：由图可知：数轴上表示的关于的不等式的解集是， 故答案为： 13. 如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当_____________时，木条与平行． 【答案】70 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据题意可知，再结合“同位角相等，两直线平行”得出答案． 【详解】解：如图， 木条转动时． 当时，． ∴当时，木条a与b平行． 故答案为：70． 14. 若，满足方程组则的值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握整体思想．根据两个方程系数的关系将两个方程相减即可得到答案． 【详解】解： 将可得： 故答案为： 15. 若关于的不等式组的解集是，则的值可以是_________（写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查解不等式组，解题的关键是正确理解不等式组的解集，本题属于基础题型．根据不等式组的解集即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：关于的不等式组的解集是， ∴ 则的值可以是2， 故答案为：2（答案不唯一） 16. 如图，某施工队计划在小区A处修建一条通向公路的道路，要使路程最短，道路应与公路垂直，依据的数学原理是_____________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】此题考查了垂线段的性质，根据题意和垂线段的性质进行解答即可． 【详解】解：某施工队计划在小区A处修建一条通向公路的道路，要使路程最短，道路应与公路垂直，依据的数学原理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短 17. 在平面直角坐标系中，点，．将线段向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，当线段的两个端点同时落在坐标轴上时，_____________． 【答案】4或5 【解析】 【分析】本题考查了点的平移以及坐标与图形，根据将线段向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得出点，平移后对应的坐标分别为，，根据点在轴上的性质进行列式，即可作答． 【详解】解：∵将线段向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∴点，平移后对应的坐标分别为，， 当，分别在轴 ∴ ∴； 当，分别在轴 ∴ ∴ 综上：或5 故答案为：4或5 18. 如果无理数满足（其中是满足不等式的最大整数，是满足不等式的最小整数），那么称为无理数的“相邻区间”．例如，，称为的“相邻区间” （1）无理数的“相邻区间”是_____________； （2）如果，其中关于，的二元一程的一组整数解，那么的值为_____________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查新定义、估算无理数的大小及二元一次方程的解等知识，根据新定义结合相关知识正确分析题意是解题关键．（1）根据“相邻区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“相邻区间”；（2）根据“相邻区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情况即可求出的值． 【详解】（1）解：； 故为的“相邻区间” 故答案为： （2）为无理数的“相邻区间”且且为整数 符合条件的和的值有：①，；②，； 当，， 则 代入可得： 当，，则 代入可得： 故答案为：或 三、解答题（共46分，第19-22题每题5分，第23，25题每题6分，第24，26题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算等知识点，灵活运用实数混合运算法则成为解题的关键．根据算术平方根、立方根、绝对值的知识化简，即可解答． 【详解】解：原式 ． 20. 解方程组 【答案】 【解析】 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解： ①2+②得 解得， 将代入①解得 方程组的解为. 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元方法与加减消元法． 21. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，运用数轴表示不等式组的解集．分别解出每个不等式，再取它们公共部分的解集，得出不等式的解集为，再运用数轴表示不等式组的解集，即可作答． 【详解】解： 解不等式①，得. 解不等式②，得. 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来 不等式组的解集为. 22. 如图，三角形中，，，分别为，，上的点，，．求证：． 证明：（已知），  （  ）（填推理的依据）． （已知），  （  ）（填推理的依据）． （  ）（填推理的依据）． 【答案】B；两直线平行，同旁内角互补； ； 同角的补角相等； 同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质证明，由平行线的性质可得出，再根据已知条件以及同角的补角相等得出，根据平行线的判定得出 ． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补） （已知）， （同角的补角相等） （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：B；两直线平行，同旁内角互补； ； 同角的补角相等； 同位角相等，两直线平行 23. 3月14日是国际数学日，也称“日”．今年3月14日某校七年级300名学生参加了华容道、鲁班锁、九连环等六项数学趣味游戏比赛．比赛采取积分制，每参加一项可获得10至20分，达到90分及90分以上的学生可获得“日”徽章．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了名学生，并对他们的积分进行整理、描述，绘制成下面的统计图（数据分为5组：，，，，）： 根据以上信息，完成下列问题． （1）下列抽取样本的方式中，最合理的是  （填写序号）： ①从七年级的学生中抽取名男生； ②从七年级参加鲁班锁游戏的学生中抽取名学生； ③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取名学生． （2）写出的值，并补全频数分布直方图； （3）这一组对应的扇形的圆心角度数是  ； （4）这一组的学生积分是：81，82，90，93，93，93，96，98，98，请估计七年级学生获得“日”徽章的人数． 【答案】（1）③ （2）40，见解析 （3） （4）120人 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握扇形统计图和频数分布直方图的特点． （1）根据样本的选取应该具有应具有代表性、客观性和随机性进行判断即可； （2）根据的人数为4人，占总调查人数的，求出m的值即可；求出的人数，然后补全频数分布直方图即可； （3）用乘的百分比，求出结果即可； （4）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：①从七年级的学生中抽取名男生不具有代表性和普遍性，故①不符合题意； ②从七年级参加鲁班锁游戏的学生中抽取名学生，不具有代表性和普遍性，故②不符合题意； ③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取名学生，具有代表性和普遍性，故③符合题意． 故答案为：③； 【小问2详解】 解：， 的人数为，补全频数分布直方图，如图所示： 【小问3详解】 解：这一组对应的扇形的圆心角度数为： ． 【小问4详解】 解：这一组的学生积分达到90分或90分以上的人数为7人， 估计七年级学生获得“日”徽章的人数为： （人）． 24. 端午节是中国四大传统节日之一，粽子是端午节期间不可缺少的美食．小超妈妈了解到包3个蜜枣粽子和4个鲜肉粽子，需要糯米390克：包2个蜜枣粽子和5个鲜肉粽子，需要糯米400克． （1）求包1个蜜枣粽子和1个鲜肉粽子各需要糯米多少克？ （2）家中现有2.1千克糯米，以及足量的蜜枣和鲜肉，小超妈妈计划包蜜枣粽子和鲜肉粽子共40个，她最多能包多少个鲜肉粽子？ 【答案】（1）包1个蜜枣粽子需要50克糯米，包1个鲜肉粽子需要60克糯米 （2）小超妈妈最多能包10个鲜肉粽子 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的应用，审清题意、正确列出方程组或不等式是解题的关键． （1）根据两种不同的包法共需的总糯米克数列出方程组即可． （2）设小超妈妈包个鲜肉粽子，依据题意列出不等式，求得最大的整数解即可． 【小问1详解】 解：设包1个蜜枣粽子需要克糯米，包1个鲜肉粽子需要克糯米． 根据题意得 解得 答：包1个蜜枣粽子需要50克糯米，包1个鲜肉粽子需要60克糯米 【小问2详解】 设小超妈妈包个鲜肉粽子，则包个蜜枣粽子．根据题意得： ， 解得， 故取a的最大整数解10． 答：小超妈妈最多能包10个鲜肉粽子． 25. 阅读下列材料： 如图，点P是线段所在直线之间的一点，且，连接．小马同学通过观察，度量，提出猜想：． 接着他时猜想进行了证明，证明思路是：如图1，过点P作，由．可得． 根据平行线的性质，可得，从而得证． 请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题： （1）如图2，点P是线段AB，CD所在直线上方的一点，且，连接．用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，和的角平分线所在直线交于点M．在图3中补全图形，用等式表示与之间的数量关系． 【答案】（1），理由见解析 （2）（或） 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，角平分线定义，三角形内角和定理，外角和定理等． （1）根据题意过点P作，利用平行线性质即可得到本题答案； （2）根据题意过点作，利用角平分线定义得，，再利用内角和定理和外角和定理即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：数量关系：． 证明：过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵ （如图）， ∴ （等量代换）． 即； 【小问2详解】 解：补全图形： ∵和的角平分线所在直线交于点M， ∴将图按如下命名： ∴，， 又∵， 过点作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 数量关系：（或）． 26. 在平面直角坐标系中，点和点，给出如下定义：对于任意实数，称点为点和点的“倍差点”．已知点． （1）在点，，中，点和点的“1倍差点”是  ； （2）已知横、纵坐标都为整数的点叫做整点．点和点的“倍差点”为点，点在第一、三象限的角平分线上． ①如果点是整点，且，写出三角形内部（不包括边界）整点的坐标； ②如果点和点关于轴对称，点为点和点的“倍差点”．四边形内部（不包含边界）至少有3个整点，至多有7个整点，那么的取值范围是  ． 【答案】（1） （2）① 或；② 或 【解析】 【分析】（1）根据点坐标的规律计算方法即可求解； （2）根据点坐标的计算方法表示出点的坐标，①根据第一、三象限角平分的性质，图形结合分析即可求解；②分别表示出点的坐标，可得点是点关于轴对称的点，根据四边形的性质，图形结合分析即可求解． 【小问1详解】 解：已知点和点，称点为点和点的“倍差点”， ∵，点和点的“1倍差点”， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：， ∴是点和点的“1倍差点”， 故选：； 【小问2详解】 解：已知横、纵坐标都为整数的点叫做整点．点和点的“倍差点”为点，且， ∴， ∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴， ∴，即， ∴， ①点是整点，且， ∴， ∴， 如图所示， 三角形内部（不包括边界）整点的坐标有：或； ②点和点关于轴对称，且 ∴， ∵点为点和点的“倍差点”， ∴，即， ∵， ∴点与点关于轴对称， 当四边形内部（不包含边界）至少有3个整点时，如图所示， 即四边形，四边形之间， ∴， 解得，； 四边形内部（不包含边界）至多有7个整点时，如图所示， 即四边形内部， ∴， 解得，， 综上所述，的取值范围是： 或． 【点睛】本题主要考查四边形与平面直角坐标系的综合题型，掌握平面直角坐标系中点的特点，点坐标的新运算规律，关于点的对称点的特征，构造方程求解，不等式的性质等知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰台区2023~2024学年度第二学期期末练习 七年级数学 注意事项 1．本练习卷共8页，共三道大题，26道小题，满分100分．练习时间90分钟． 2．在练习卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和考号． 3．练习答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题和作图题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 5．练习结束，将本练习卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共30分，每题3分） 第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 图1是丰台区城市形象标识的图案，下列图案可以由图1平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 生物老师直观地介绍某种大麦穗长的分布情况，最适用的统计图是（ ） A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图 3. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 4. 若是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 能说明命题“如果，那么”是假命题的的值可以是（ ） A. B. C. 1 D. 6. 用三角板过点作所在直线的垂线，如图三角板的位置摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 7. “燕几”是世界上最早的组合家具，由七张桌子（包括2张长桌、2张中桌和3张小桌）拼成，每张桌子高度、宽度均相同，只有桌面的长度不同，七张桌面可以拼成不同的图形．如图是《燕几图》中名为“回文”的桌面拼合方式．如果设长桌的长为尺，中桌的长为尺，小桌的长为尺，那么下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 地铁是一个城市幸福指数的标配．途经丰台区的部分地铁线路如图所示．在图中分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下三个结论： ①当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为； ②当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为； ③当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9. “低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图，这是某研究院关于低空经济市场规模的统计图：根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（ ） A. 2021至2026年低空经济市场规模逐年上升 B. 2023年低空经济市场规模增量最多 C. 从2024年开始低空经济市场规模增长率变小 D. 2026年低空经济市场规模将突破万亿元 10. 为打造生态湿地滨水景观，园林绿化局在永定河两岸笔直且互相平行的景观道，上分别放置，两盏激光灯．如图，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动，灯先转动2秒，灯才开始转动，当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是（ ） A. 3或21秒 B. 3或19.5秒 C. 1或19秒 D. 1或17.5秒 第二部分 非选择题 二、填空题（共24分，每题3分） 11. 16的平方根是___________． 12. 如图，数轴上表示的关于的不等式的解集是_____________． 13. 如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当_____________时，木条与平行． 14. 若，满足方程组则的值是_____________． 15. 若关于的不等式组的解集是，则的值可以是_________（写出一个即可）． 16. 如图，某施工队计划在小区A处修建一条通向公路的道路，要使路程最短，道路应与公路垂直，依据的数学原理是_____________． 17. 在平面直角坐标系中，点，．将线段向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，当线段的两个端点同时落在坐标轴上时，_____________． 18. 如果无理数满足（其中是满足不等式的最大整数，是满足不等式的最小整数），那么称为无理数的“相邻区间”．例如，，称为的“相邻区间” （1）无理数的“相邻区间”是_____________； （2）如果，其中关于，的二元一程的一组整数解，那么的值为_____________． 三、解答题（共46分，第19-22题每题5分，第23，25题每题6分，第24，26题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 19. 计算：． 20. 解方程组 21. 解不等式组： 22. 如图，三角形中，，，分别为，，上的点，，．求证：． 证明：（已知），  （  ）（填推理的依据）． （已知），  （  ）（填推理的依据）． （  ）（填推理的依据）． 23. 3月14日是国际数学日，也称“日”．今年3月14日某校七年级300名学生参加了华容道、鲁班锁、九连环等六项数学趣味游戏比赛．比赛采取积分制，每参加一项可获得10至20分，达到90分及90分以上的学生可获得“日”徽章．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了名学生，并对他们的积分进行整理、描述，绘制成下面的统计图（数据分为5组：，，，，）： 根据以上信息，完成下列问题． （1）下列抽取样本的方式中，最合理的是  （填写序号）： ①从七年级的学生中抽取名男生； ②从七年级参加鲁班锁游戏的学生中抽取名学生； ③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取名学生． （2）写出的值，并补全频数分布直方图； （3）这一组对应的扇形的圆心角度数是  ； （4）这一组的学生积分是：81，82，90，93，93，93，96，98，98，请估计七年级学生获得“日”徽章的人数． 24. 端午节是中国四大传统节日之一，粽子是端午节期间不可缺少的美食．小超妈妈了解到包3个蜜枣粽子和4个鲜肉粽子，需要糯米390克：包2个蜜枣粽子和5个鲜肉粽子，需要糯米400克． （1）求包1个蜜枣粽子和1个鲜肉粽子各需要糯米多少克？ （2）家中现有2.1千克糯米，以及足量的蜜枣和鲜肉，小超妈妈计划包蜜枣粽子和鲜肉粽子共40个，她最多能包多少个鲜肉粽子？ 25. 阅读下列材料： 如图，点P是线段所在直线之间的一点，且，连接．小马同学通过观察，度量，提出猜想：． 接着他时猜想进行了证明，证明思路是：如图1，过点P作，由．可得． 根据平行线的性质，可得，从而得证． 请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题： （1）如图2，点P是线段AB，CD所在直线上方的一点，且，连接．用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，和的角平分线所在直线交于点M．在图3中补全图形，用等式表示与之间的数量关系． 26. 在平面直角坐标系中，点和点，给出如下定义：对于任意实数，称点为点和点的“倍差点”．已知点． （1）在点，，中，点和点的“1倍差点”是  ； （2）已知横、纵坐标都为整数的点叫做整点．点和点的“倍差点”为点，点在第一、三象限的角平分线上． ①如果点是整点，且，写出三角形内部（不包括边界）整点的坐标； ②如果点和点关于轴对称，点为点和点的“倍差点”．四边形内部（不包含边界）至少有3个整点，至多有7个整点，那么的取值范围是  ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $