空间向量的运算及其应用专项训练——2025届高三数学一轮复习

空间向量的运算及其应用 一、单项选择题 1．已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|等于(　　) A．3　 B．2　 C．　 D．5 2．(2024·安徽滁州模拟)已知向量a＝(1，1，x)，b＝(－2，2，3)，若(2a－b)·b＝1，则x＝(　　) A．－3 　 B．3 C．－1 　 D．6 3．已知向量a＝(2，1，－3)，b＝(1，－4，－2)，c＝(－1，22，m)，若向量a，b，c共面，则实数m等于(　　) A．4 　 B．6 C．8 　 D．10 4．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O为坐标原点，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为(　　) A．± 　 B． C．－ 　 D．± 5．已知向量a＝(1，3，0)，b＝(2，1，1)，则向量a在向量b上的投影向量c＝(　　) A． 　 B． C． 　 D．(2，4，4) 6．在空间四边形ABCD中，＝(　　) A．－1 　 B．0 C．1 　 D．不确定 7．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点，＝2，则＝(　　) A． B． C．－ D．－ 8．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A．斜交 　 B．平行 C．垂直 　 D．MN在平面BB1C1C内 二、多项选择题 9．《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，＝2，则(　　) A．＝ B．＝ C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影向量为 10．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝＝，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是(　　) A．当＝2时，B1，P，D三点共线 B．当⊥时，⊥ C．当＝3时，D1P∥平面BDC1 D．当＝5时，A1C⊥平面D1AP 三、填空题 11．如图是某段新开河渠的示意图．在二面角α-l-β的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝2，AC＝3，BD＝4，CD＝，则该二面角的大小为________． 12．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P-ABCD，设底边和侧棱长均为4，则该正四棱锥的外接球表面积为________；过点A作一个平面分别交PB，PC，PD于点E，F，G进行切割，得到四棱锥P-AEFG，若＝＝，则的值为________． 四、解答题 13．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)． (1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积； (2)若|a|＝，且a分别与垂直，求向量a的坐标． 14．如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD. (1)求证：BD⊥AA1； (2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由． 参考答案 1．A　[∵a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，∴a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋2(3，1，0)＝(9，3，0)， ∴|a－b＋2c|＝＝3.故选A.] 2．B　[向量a＝(1，1，x)，b＝(－2，2，3)， 则2a－b＝(2，2，2x)－(－2，2，3)＝(4，0，2x－3)，(2a－b)·b＝1，则－8＋3(2x－3)＝1，解得x＝3.故选B.] 3．A　[因为向量a＝(2，1，－3)，b＝(1，－4，－2)，c＝(－1，22，m)，且向量a，b，c共面， 所以c＝xa＋yb，x，y∈R， 即解得x＝2，y＝－5，m＝4. 故选A.] 4．C　[由于＋λ＝(1，－λ，λ)，＝(0，－1，1)，则cos 120°＝＝－，解得λ＝±.经检验λ＝不符合题意，舍去，所以λ＝－.故选C.] 5．B　[向量a＝(1，3，0)，b＝(2，1，1)， 则a·b＝2＋3＋0＝5，|b|＝＝， 故向量a在向量b上的投影向量c＝＝b＝.故选B.] 6．B　[令＝a，＝b，＝c， 则 ＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a) ＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0. 故选B.] 7．D　[因为＝2，所以＝，又E是BC的中点， 所以＝)，所以＝＝)＝)． 因为＝，E，F分别是BC，CC1的中点， 所以＝)＝)． 因此＝＝)＋)＝－. 故选D.] 8．B　[建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1M＝AN＝，则M，N＝. 又C1D1⊥平面BB1C1C， 所以＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量． 因为＝0， 所以⊥，又MN⊄平面BB1C1C， 所以MN∥平面BB1C1C.] 9．BD　[因为＝＝＝)＝，故A错误，B正确． 如图所示，过点D作DE垂直于BC，过点E作EF垂直于AB，EG垂直于AC， 故向量在向量上的投影向量为，向量在向量上的投影向量为， 由题意易得＝＝，故＝＝，C不正确，D正确．故选BD.] 10．ACD　[在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为AB＝AD＝AA1＝， 所以AD＝AA1＝1， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，，0)，D1(0，0，1)，B(1，，0)，C1(0，，1)，B1(1，，1)， 则＝(－1，，－1)，＝(1，0，－1)． 当＝2时，P为线段A1C的中点，则P＝＝(1，，1)，则＝2，所以B1，D，P三点共线，A正确； 设＝λ＝λ(－1，，－1)＝(－λ，λ，－λ)(0≤λ≤1)，＝＝(－λ，λ，1－λ)， 由⊥，可得＝5λ－1＝0，解得λ＝， 所以＝＝ ＝(1，0，－1)＋＝， 所以＝－＝－≠0， 所以与不垂直，B错误； 当＝3时， ＝＝＝(0，，1)，＝(1，，0)． 设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令y＝1，则x＝z＝－，∴n＝(－，1，－)， 又＝(－1，0，0)， 所以＝＝， 所以·n＝×(－)＋×1－×(－)＝0， 所以⊥n， ∵D1P⊄平面BDC1，所以D1P∥平面BDC1，C正确； 当＝5时， ＝＝， 所以＝＝， 所以＝－1×－1×＝0，＝－1×1＋×0＋(－1)2＝0．所以A1C⊥D1P，A1C⊥D1A，又D1P∩D1A＝D1， D1P⊂平面D1AP，D1A⊂平面D1AP， 所以A1C⊥平面D1AP，D正确． 故选ACD.] 11．120°　[设所求二面角为θ，由＝，得＝()2 ＝＋＋＋2＋2＋2 ＝32＋22＋42＋0－2×3×4cos θ＋0＝41， ∴cos θ＝－，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.] 12．32π　　[设AC，BD交于点O，连接PO，如图所示， 由于P-ABCD为正四棱锥，故PO为四棱锥的高， 由底边和侧棱长均为4可得，OA＝OB＝OC＝OD＝2， PO＝＝＝2， 即点O到点P，A，B，C，D的距离相等， 故O即为该正四棱锥的外接球球心， 则外接球半径为2， 故外接球表面积为4π×(2)2＝32π. ＝＝＝ ， 设＝t，则＝t－2， 由于点A，E，F，G四点共面，故t＋－2＝1， 解得t＝，故＝，则＝.] 13．解：(1)由题意可得＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，所以cos 〈〉＝＝＝＝，所以sin 〈〉＝， 所以以AB，AC为边的平行四边形的面积为 S＝2×||·||·sin 〈〉＝14×＝7. (2)设a＝(x，y，z)，由题意得 解得或 所以向量a的坐标为(1，1，1)或(－1，－1，－1)． 14．解：(1)证明：设BD与AC交于点O， 则BD⊥AC，连接A1O， 在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°， 所以A1O2＝＋AO2－2AA1·AOcos 60°＝3， 所以AO2＋A1O2＝，所以A1O⊥AO. 由于平面AA1C1C⊥平面ABCD， 且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC， A1O⊂平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABCD. 以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)， D(－，0，0)，A1(0，0，)，C1(0，2，)． 由于＝(－2，0，0)，＝(0，1，)，＝0×(－2)＋1×0＋×0＝0， 所以⊥，即BD⊥AA1. (2)假设在直线CC1上存在点P， 使BP∥平面DA1C1， 设＝λ，P(x，y，z)， 则(x，y－1，z)＝λ(0，1，)． 从而有P(0，1＋λ，λ)，＝(－，1＋λ，λ)． 设平面DA1C1的法向量为n＝(x1，y1，z1)， 则 又＝(0，2，0)，＝(，0，)， 则取n＝(1，0，－1)， 因为BP∥平面DA1C1，所以n⊥， 即n·＝－λ＝0， 解得λ＝－1， 即点P在C1C的延长线上，且CP＝CC1 学科网（北京）股份有限公司 $$