简单的三角恒等变换专项训练——2025届高三数学一轮复习

简单的三角恒等变换 一、单项选择题 1．已知cos (π＋θ)＝，若θ是第二象限角，则tan ＝(　　) A．2　　 B．　 C．－　　 D． 2．已知sin α－cos α＝0，则cos 2α＝(　　) A．－ 　 B．0 C． 　 D． 3．已知sin＝，则cos ＝(　　) A． 　 B．－ C． 　 D．－ 4．若cosα＋sin α＝，则tan2＝(　　) A．0 　 B． C．3 　 D．7 5．已知0<α<β<，cos2α＋cos 2β＋1＝2cos (α－β)＋cos (α＋β)，则(　　) A．α＋β＝ 　 B．α＋β＝ C．β－α＝ 　 D．β－α＝ 6．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割比约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若4m2＋n＝16，则的值为(　　) A．1 　 B．2 C．4 　 D．8 二、多项选择题 7．已知sin α＝－，π＜α＜，则下列选项正确的是(　　) A．sin 2α＝－ 　 B．sin ＝ C．cos ＝－ 　 D．tan ＝－2 8．若tan θ＝－2，则下列等式中成立的是(　　) A．tan 2θ＝－ B．＝ C．sin θ(sin θ－cos θ)＝ D．sin ＝ 三、填空题 9．＝__________． 10．已知sin 108°＝3sin 36°－4sin336°，则cos36°＝________． 四、解答题 11．已知0＜α＜＜β＜π，cos ＝，sin (α＋β)＝. (1)求sin 2β的值； (2)求cos 的值． 12．已知6sin2α＋sinαcos α－2cos2α＝0，α∈.求： (1)tanα； (2)sin . 13．已知0<α<，cos ＝. (1)求sin α的值； (2)若－<β<0，cos ＝，求α－β的值． 参考答案 1．B　[因为cos (π＋θ)＝，所以cos θ＝－， 又θ是第二象限角，所以sin θ＝， 所以tan ＝＝. 故选B.] 2．A　[由sin α－cos α＝0可得tan α＝，故cos 2α＝＝＝＝－， 故选A.] 3．C　[因为sin ＝，所以cos ＝cos ＝cos ＝1－2sin2＝1－2×＝.故选C.] 4．D　[因为cosα＋sin α＝， 所以＝， 所以2sin αcos α＝－，即sin 2α＝－. 又tan2＝＝＝， 所以tan2＝＝7，故选D.] 5．D　[因为2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，则cos [(α＋β)＋(α－β)]＋cos [(α＋β)－(α－β)]＋1＝2cos (α－β)＋cos (α＋β)， 则2cos (α＋β)cos (α－β)－2cos (α－β)－cos (α＋β)＋1＝0， [cos (α＋β)－1][2cos (α－β)－1]＝0，即cos (α＋β)＝1或cos (α－β)＝. 又0<α<β<，所以0<α＋β<π，－<α－β<0， 所以cos (α＋β)≠1，所以选项A，B错误， 即cos (α－β)＝，则α－β＝－，所以β－α＝.则C错误，D正确． 故选D.] 6．C　[因为m＝2sin18°， 所以由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin 18°)2＝16cos218°， 因此＝＝＝＝4.] 7．BCD　[因为sin α＝－，π＜α＜，所以cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×＝，故A错误；因为＜＜，所以sin ＝＝＝，cos ＝－＝－＝－，tan ＝＝－2， 故BCD均正确．] 8．BCD　[因为tan 2θ＝＝＝，所以选项A错误； 因为＝＝＝，所以B正确； 因为sin θ＝sin2θ－sin θcos θ ＝＝＝＝，所以C正确； 因为sin＝sin 2θ－cos 2θ ＝ ＝ ＝＝＝，所以D正确.故选BCD.] 9．　[因为＝＝＝.] 10．　[∵sin 108°＝3sin 36°－4sin336°， ∴sin72°＝3sin 36°－4sin336°， ∴2sin36°cos 36°＝3sin 36°－4sin336°， ∵sin36°≠0, ∴2cos 36°＝3－4sin236°， ∴4cos236°－2cos36°－1＝0， ∴cos 36°＝或(舍)．] 11．解：(1)∵cos ＝cos cos β＋sin sin β＝cos β＋sin β＝， ∴cos β＋sin β＝，∴1＋sin 2β＝， ∴sin 2β＝－. (2)∵0＜α＜＜β＜π， ∴＜β－＜＜α＋β＜， ∴sin ＞0，cos (α＋β)＜0. ∵cos ＝，sin (α＋β)＝， ∴sin ＝，cos (α＋β)＝－. ∴cos ＝cos ＝cos (α＋β)cos ＋sin (α＋β)sin ＝－＝. 12．解：(1)∵6sin2α＋sinαcos α－2cos2α ＝ ＝＝0， 即6tan2α＋tanα－2＝0，解得tan α＝－或tan α＝，∵α∈，∴tan α＝－. (2)∵sin 2α＝＝＝－，cos 2α＝＝＝，∴sin＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＝－＝. 13．解：(1)∵0<α<，∴<α＋<， 又cos ＝， ∴sin ＝＝， ∴sin α＝sin ＝sin cos －cos sin ＝＝. (2)∵cos ＝， sin β＝cos ＝cos ＝2cos2－1＝2×－1＝－， 又－<β<0，∴cosβ＝＝， 由(1)知，cosα＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝， ∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝＝. ∵0<α<，－<β<0，则0<α－β<π， ∴α－β＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$