基本立体图形、简单几何体的表面积与体积专项训练——2025届高三数学一轮复习

基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 一、单项选择题 1．将12根长度相同的小木棍通过黏合端点的方式(不可折断)，不可能拼成(　　) A．正三棱柱　　 B．正四棱锥 C．正四棱柱 　 D．正六棱锥 2．已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为(　　) A．　　 B．　 C．2　　 D．2 3．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知正四棱锥的底面边长为3 m，侧棱长为5 m，则其体积为(　　) A．24 m3 　 B．24 m3 C．72 m3 　 D．72 m3 4．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号(如图1)是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9 050 m，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55 m，高19 m，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积约为(参考数据：≈32.6，π≈3.14)(　　) A．2 480 m2 　 B．2 498 m2 C．2 502 m2 　 D．2 508 m2 5．某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径为15 cm，高为10 cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为r cm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔．若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为(　　) A． 　 B． C．4 　 D．5 6．长方体的体对角线长为1，表面积为1，有一面为正方形，则其体积为(　　) A． 　 B． C． 　 D． 7．在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM＝PC，线段PB上的点N满足PN＝PB，则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为(　　) A． 　 B． C． 　 D． 8．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝(　　) A． 　 B．2 C． 　 D． 二、多项选择题 9．如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1，V2，V3，则(　　) A．V3＝2V2 　 B．V3＝V1 C．V3＝V1＋V2 　 D．2V3＝3V1 10．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，则(　　) A．该圆台的高为1 cm B．该圆台轴截面面积为3 cm2 C．该圆台的体积为 cm3 D．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5 cm 三、填空题 11．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40 cm，母线长最短为50 cm，最长为80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2． 12．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________． 13．盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为8 cm的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小时，盲盒内剩余空间的体积为(　　) A． cm3 　 B． cm3 C． cm3 　 D． cm3 14．已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为(　　) A．π 　 B．π C．3π 　 D．3π 15．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜(gá)”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形．现有一圆锥形陀螺(如图所示)，其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则(　　) A．圆锥的母线长为9 B．圆锥的表面积为36π C．圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角为60° D．圆锥的体积为12π 16．如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为16 cm2的正三角形，若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则圆柱形冰块的侧面积的最大值为________cm2. 参考答案 1．D　[正三棱柱中9条棱长度可以完全相等，A成立； 正四棱锥中8条棱长度可以完全相等，B成立； 正四棱柱中12条棱长度可以完全相等，C成立； 因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长， 所以正六棱锥的侧棱长总比底边长，D不成立． 故选D.] 2．B　[由斜二测画法中直观图和原图的面积的关系＝， ∴该三角形直观图的面积为×22＝.故选B.] 3．B　[如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，连接AC，BD交于点O，则点O为正方形ABCD的中心， 连接OP，则底面边长AB＝3(m)，对角线BD＝AB＝6(m)，BO＝BD＝3(m)． 又BP＝5(m)，故高OP＝＝4(m)． 故该正四棱锥的体积为V＝×4＝24(m3)．] 4．A　[由题图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为R＝＝9.5(m)， 而圆台另一个底面的半径为r＝1(m)， 圆台的母线长为l＝＝≈32.6(m)，则S半球＝×4×π×9.52＝180.5π(m2)，S圆柱侧＝2π×9.5×14＝266π(m2)， S圆台侧≈π×32.6＝342.3π(m2)，S圆台底＝π(m2)， 所以S表＝180.5π＋266π＋342.3π＋π＝789.8π≈789.8×3.14≈2 480(m2)． 故选A.] 5．D　[大圆柱表面积为2×152π＋10×2×15π＝750π， 小圆柱侧面积为10×2πr，上、下底面积之和为2πr2， 所以加工后工件的表面积为750π＋20πr－2πr2，当r＝5时表面积最大．故选D.] 6．B　[不妨设长方体底面为正方形，边长为a，高为b， 则底面的对角线为＝a， ∵长方体的体对角线长为1，表面积为1， ∴解得 ∴长方体体积为a2b＝. 故选B.] 7．B　[如图，因为PM＝PC，PN＝PB，所以＝＝＝＝，所以＝＝＝＝(其中d为点A到平面PBC的距离，因为平面PMN和平面PBC重合，所以点A到平面PMN的距离也为d)．故选B.] 8．C　[设母线长为l，甲圆锥底面圆半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2， 则＝＝＝2，所以r1＝2r2. 又＝2π， 则＝1， 所以r1＝l，r2＝l， 所以甲圆锥的高h1＝＝l， 乙圆锥的高h2＝＝l， 所以＝＝＝.故选C.] 9．CD　[设AB＝ED＝2FB＝2，则V1＝×2×2×2＝，V2＝×2×2×1＝.连接BD交AC于M，连接EM、FM(图略)，则FM＝，EM＝，EF＝3，故S△EMF＝＝，V3＝×AC＝2，V3＝V1＋V2，2V3＝3V1，故选CD.] 10．BCD　[如图1，作BE⊥CD交CD于E，易得CE＝＝1(cm)，则BE＝＝(cm)，则圆台的高为 cm，A错误； 圆台的轴截面面积为×(2＋4)×＝3(cm2)，B正确； 圆台的体积为×(π＋4π＋)＝(cm3)，C正确； 将圆台的一半侧面展开，如图2中ABCD，设P为AD中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形COD，由CE＝EO1可得BC＝OB＝2 cm，则OC＝4 cm，∠COD＝＝，又OP＝OA＋＝3(cm)，则CP＝＝5(cm)，即点C到AD的中点所经过的最短路程为5 cm，D正确．故选BCD.] 11．2 600π　[将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面面积S＝×(π×40)×(50＋80)＝2 600π(cm2)．] 12．28　[如图所示，正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，用平行于底面的平面截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥P-A′B′C′D′后，得到正四棱台A′B′C′D′-ABCD，且A′B′＝2，AB＝4．记O′，O分别为正四棱台A′B′C′D′-ABCD上、下底面的中心，H′，H分别为A′B′，AB的中点，连接PO，PH，O′H′，OH，则PO′＝3，O′H′＝1，OH＝2．易知△PO′H′∽△POH，所以＝，即＝，解得PO＝6，所以OO′＝PO－PO′＝3，所以该正四棱台的体积V＝×3×(22＋2×4＋42)＝28．] 13．C　[依题意，要将棱长为8 cm的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，且盲盒棱长最小，则当且仅当正方体的面对角线长等于正四面体的棱长，即它们有相同的外接球，如图，正四面体ABCD的棱长为8 cm， 所以该正方体棱长为4 cm，盲盒内剩余空间的体积为4××4×4×4＝(cm3)．故选C.] 14．B　[在△AOB中，AO＝BO＝，∠AOB＝，由余弦定理得AB＝＝3，设等腰三角形PAB底边AB上的高为h，则S△PAB＝×3h＝，解得h＝，由勾股定理得母线PA＝＝3，则该圆锥的高PO＝＝，所以该圆锥的体积为×3π×＝π，故选B.] 15．AB　[设圆锥的母线长为l，以S为圆心，SA为半径的圆的面积为πl2， 圆锥的侧面积为πrl＝3πl， 当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则πl2＝9πl，所以圆锥的母线长为l＝9，A正确； 圆锥的表面积3π×9＋π×32＝36π，B正确； 圆锥的底面圆周长为2π×3＝6π，设圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角为α rad， 则6π＝9α，解得α＝，即α＝120°，C错误； 圆锥的高h＝＝＝6，所以圆锥的体积为V＝πr2h＝π×32×6＝18π，D错误． 故选AB.] 16．8π　[设该圆锥的轴截面正三角形的边长为a cm，由该圆锥轴截面的面积为16 cm2，得a2sin 60°＝16，所以a＝8(cm)，所以该圆锥底面圆半径为4 cm，高为4 cm. 设圆锥中放置的圆柱形冰块的底面圆半径为x cm，高为h cm，其中0＜x＜4，0＜h＜4. 如图所示， 由CD∥OB可得，＝， 即＝，所以h＝(4－x)． 所以圆柱形冰块的侧面积为S＝2πx·h＝2πx·(4－x)＝－2π(x－2)2＋8π. 由二次函数的性质可得，当x＝2时，Smax＝8π，即圆柱形冰块的侧面积的最大值为8π cm2． 学科网（北京）股份有限公司 $$