简单的三角恒等变换课件-2025届高三数学一轮复习

必备知识·逐点夯实 第2课时　 简单的三角恒等变换 第五章　三角函数 核心考点·分类突破 【课标解读】 【课程标准】 　能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式,并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆). 【核心素养】 数学抽象、数学运算. 【命题说明】 考向 考法 高考命题常以角为载体,考查二倍角公式、升幂降幂公式、半角公式;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现. 预测 高考可能单独考查,也可能与三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查,选择题、填空题、解答题中均有可能出现. 必备知识·逐点夯实 知识梳理·归纳 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α:sin 2α=___________.  (2)公式C2α:cos 2α=___________=_________=________. (3)公式T2α:tan2α=. 2.半角公式 sin =__________, cos =__________ , tan =±==. 2sin αcos α cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α ± ± 　常用结论 1.降幂公式:cos2α=,sin2α=,tan2α=. 2.升幂公式:1+sin 2α=(sin α+cos α)2, 1-sin 2α=(sin α-cos α)2, 1±sin 2α=(sin α±cos α)2. 基础诊断·自测 1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.(　　) (2)存在实数α,使tan 2α=2tan α.(　　) (3)cos2=.(　　) (4)tan ==.(　　) 类型 辨析 改编 易错 高考 题号 1 2 4 3 √ √ × √ 提示:由半角公式、二倍角公式可知,(1)正确; 因为当α=0时,tan 2α=2tan α=0,所以(2)正确; 因为由二倍角公式可知:cos θ=2cos2-1,所以cos2=,因此(3)错误; 因为tan ===,tan ===,所以(4)正确. 2.cos2-cos2 =(　　) A. B. C. D. 【解析】选D.因为cos =sin (-)=sin, 所以cos2-cos2=cos2-sin2 =cos (2×)=cos=. 3.已知α为锐角,cos α=,则sin =(　　) A. B. C. D. 【解析】选D.cos α=,则cos α=1-2sin2, 故2sin2=1-cos α=,即sin2===, 因为α为锐角,所以sin >0, 所以sin =. 4.(忽视隐含条件)已知2sin α=1+cos α,则tan =(　　) A.2 B. C.2或不存在 D.或不存在 【解析】选D.当α=kπ+π(k∈Z)时,满足2sin α=1+cos α,此时tan 不存在;当α≠kπ+π(k∈Z)时,tan ==. 核心考点·分类突破 考点一三角函数式的化简 [例1](1)函数f(x)=sin2x+sin xcos x-可以化简为(　　) A.f(x)=sin (2x-) B.f(x)=sin (2x-) C.f(x)=sin (2x+) D.f(x)=sin (2x+) 【解析】选B.f(x)=sin2x+sin xcos x- =+sin 2x- =sin 2x-cos 2x=sin (2x-). (2)若α∈(0,),tan 2α=,则tan α等于(　　) A. B. C. D. 【解析】选A.解法一:因为tan 2α==,且tan 2α=, 所以=,解得sin α=. 因为α∈(0,),所以cos α=,tan α==. 解法二:因为tan 2α====,且tan 2α=, 所以=,解得sin α=. 因为α∈(0,),所以cos α=,tan α==. (3)已知sin α+cos α=,则sin2 (α-)=　　　　.  【解析】因为sin α+cos α=, 两边同时平方得sin2α+2sin αcos α+cos2α=, 即sin 2α=, 由降幂公式可知sin2 (α-)===-sin 2α=. 解题技法 三角函数式化简的解题策略 (1)从三角函数名、角以及幂的差异三方面入手进行适当变形,结合所给的“形”的特征求解; (2)注意弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂升幂. 对点训练 1.化简:=　　　　　.  【解析】原式= == ==cos 2x. cos 2x 2.化简:sin2αsin2β+cos2αcos2β-cos 2αcos 2β=　　　　.  【解析】原式=·+·-cos 2αcos 2β =+ -cos 2α·cos 2β =+cos 2αcos 2β-cos 2αcos 2β=. 【加练备选】 　　　化简:=　　　　.  【解析】 == =4sin α. 4sin α 考点二三角函数式的求值 角度1　给角求值 [例2](1)sin 18°cos 36°=　　　　.  【解析】(1)原式= ===. (2)cos4-sin4=　　　　.  【解析】(2)原式= (cos2-sin2) (cos2+sin2)=cos2-sin2=cos=. (3)-=　　　　.  【解析】(3)原式= ===2. 2 解题技法 　给角求值问题的解题思路 给角求值问题往往给出的角是非特殊角,求值时要注意: (1)观察角:分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分; (2)观察函数名:尽可能使函数名统一; (3)观察结构:利用公式,整体化简. 角度2　给值求值 [例3](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　) A. B. C.- D.- 【解析】选B.因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,cos αsin β=,所以sin αcos β=, 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=, 所以cos(2α+2β)=cos 2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×()2=. (2)(一题多法)已知sin (α-)=,π<α<,则cos (2α-)=　　　　.  【解析】因为sin (α-)=,<α-<π,所以cos (α-)=-. 解法一:因为cos α=cos[(α-)+] =cos (α-)cos-sin (α-)sin=-×-×=-, sin α=sin[(α-)+]=sin (α-)cos +cos (α-)sin =×-×=-, 所以cos (2α-)=cos[(α-)+α] =cos (α-)cos α-sin (α-)sin α =-×(-)-×(-)=. 解法二:cos (2α-) =cos 2αcos +sin 2αsin =(cos 2α+sin 2α), cos 2α=-sin (2α-)=-sin 2 (α-) =-2sin (α-)cos (α-) =-2××(-)=, sin 2α=cos (2α-)=1-2sin2 (α-) =1-2×=, 所以原式=×(+)=. 解题技法 　给值求值问题的解题关键 (1)解题关键:给值求值问题的解题关键在于“变角”,把所求角用含已知角的式子表示,求解时一定要注意角的范围的讨论. (2)注意下列变换: sin 2x=cos (-2x)=-cos (+2x), cos 2x=sin (-2x)=sin (+2x). 提醒:以上变换,结合二倍角公式可将2x的三角函数与±x的三角函数联系在一起. 角度3　 给值求角 [例4](1)已知α为锐角,且sin α·(-tan 10°)=1,则α=　　　　.  【解析】由已知得sin α=== ====sin 40°. 由于α为锐角,所以α=40°. 40° (2)已知sin α=,cos β=,且α,β为锐角,则α+2β=　　　　.  【解析】因为sin α=,且α为锐角, 所以cos α===, 因为cos β=,且β为锐角, 所以sin β===, 那么sin 2β=2sin βcos β=2××=, cos 2β=1-2sin2β=1-2×()2=, 所以cos (α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β=×-×=, 因为α∈(0,),β∈(0,),所以2β∈(0,π). 所以α+2β∈(0,),故α+2β=. 解题技法 　给值求角的原则 (1)已知正切函数值:选正切函数求解. (2)已知正、余弦函数值:选正弦或余弦函数.若角的范围是(0,),选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为(-,),选正弦较好. 对点训练 1.(2023·潍坊模拟)已知α∈(0,),且3cos 2α+sin α=1,则(　　) A.sin (π-α)= B.cos (π-α)=- C.sin (+α)=- D.cos (+α)=- 【解析】选A.因为3cos 2α+sin α=1,α∈(0,), 所以3(1-2sin2α)+sin α=1, 即6sin2α-sin α-2=0, 所以sin α=或sin α=-(舍去), 所以cos α=,sin(π-α)=sin α=, cos(π-α)=-cos α=-, sin (+α)=cos α=, cos (+α)=-sin α=-, 只有A项正确. 2.在三角形中,底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形,它是两底角为72°的等腰三角形.达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中,在整个画面里形成了一个黄金三角形.如图,在黄金△ABC中,=,根据这些信息,可得sin 54°等于(　　) A. B. C.　 D. 【解析】选B.由题设,可得cos 72°=1-2sin236°=,又因为cos236°+sin236°=1, 所以cos236°=,又cos 36°∈(,), 所以cos 36°=cos(90°-54°)=sin 54°=. 3.已知α,β∈(0,π),且tan (α-β)=,tan β=-,则2α-β的值为　　　　.  【解析】因为tan α=tan [(α-β)+β] ===>0, 所以0<α<. 又因为tan 2α===>0, 所以0<2α<. 所以tan (2α-β)===1. 因为tan β=-<0, 所以<β<π,-π<2α-β<0. 所以2α-β=-. - [例5](必修第一册P227·例10) 如图,在扇形OPQ中,半径OP=1,圆心角∠POQ=,C是扇形弧上的动点,矩形ABCD内接于扇形.记∠POC=α,求当角α取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积. 考点三 三角恒等变换的应用 教考衔接 教材情境·研习·典题类 【解析】在Rt△OBC中,OB=cos α,BC=sin α. 在Rt△OAD中,=tan =. OA=DA=BC=sin α, AB=OB-OA=cos α-sin α. 设矩形ABCD的面积为S,则S=AB·BC=(cos α-sin α)sin α=sin αcos α-sin2α=sin2α-(1-cos2α) =sin2α+cos2α-=(sin2α+cos2α)-=sin(2α+)-.由0<α<,得<2α+<, 所以当2α+=,即α=时, S最大=-=.因此,当α=时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为. 解题导思 看问题 三角恒等变换中的最值问题 提信息 半径OP=1,圆心角∠POQ=,矩形ABCD内接于扇形,∠POC=α 定思路 借助角α并利用三角函数,把矩形ABCD的长和宽表示出来,确定矩形 ABCD 面积的表达式,最后利用三角恒等变换和三角函数的性质确定最大面积 高考链接 已知扇形POQ的半径为2,∠POQ=,如图所示,在此扇形中截出一个内接矩形ABCD(点B,C在弧上),则矩形ABCD面积的最大值为 　　　　　　　　.  8-4 【解析】作∠POQ的平分线OE,交AD于F,BC于E,连接OC, 根据题意可知△AOD为等边三角形,则E为BC的中点,F为AD的中点, 设∠COE=α,α∈(0,), CE=OCsin α=2sin α,则AD=BC=2CE=4sin α, 则OF=AD=2sin α,OE=OCcos α=2cos α,则AB=2cos α-2sin α, 所以矩形ABCD的面积S=BC·AB =4sin α(2cos α-2sin α)=4sin2α+4cos2α-4=8sin(2α+)-4, 当2α+=,即α=时,S取得最大值8-4, 所以矩形ABCD面积的最大值为8-4. [溯源点评]两题的区别在于扇形内接矩形 ABCD的方式不同,考虑该问题是否能转化为更简单的、熟悉的问题来解决.根据图形的对称性,作∠POQ的平分线,分别交 AD,BC 于点 F,E,从而使整个问题又回到教材中的问题. 谢谢观赏！！ $$