5.7三角函数的应用课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.7 三角函数的应用 学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题 2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型 2 学习重点 用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题 学习难点 将某些实际问题抽象为三角函数模型 3 新课导入 现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象,如果某种变化着的现象具有周期性,那么就可以考虑借助三角函数来描述.本节通过几个具体实例,说明三角函数模型的简单应用. 新课学习 问题1:某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中,时间t (单位s)与位移y (单位mm)之间的对应数据如表所示.试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式. t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0 振子的振动具有循环往复的特点,其位移 y 随时间 t 的变化规律可以用函数 y=Asin( t+ ) 来刻画. 5 根据已知数据作出散点图如图: 6 简谐运动 其中: (1)振幅:A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大位置. 7 匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象,可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律,在现实生活中也有大量运动变化现象,仅在一定范围内呈现出近似于周期变化的特点,这些现象也可以借助三角函数近似地描述. 8 9 解: 10 11 解: (1)由图可知,这段时间的最大温差是20 . x/h 8 6 10 12 14 y/ O 10 20 30 12 13 例4 海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋,下是某港口某天的时刻与水深关系的预报. 14 问题: (1)选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系,给出整点时水深的近似数值(精确到0.001m). (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4m,安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙(船底与洋底的距离),该船这一天何时能进入港口?在港口能待多久? (3)某船的吃水深度为4m,安全间隙为1.5m,该船这一天在2:00开始卸货,吃水深度以0.3m/h的速度减少.如果这条船一直卸货,那么港口水深将在某一时刻与这条船需要的安全水深相等.为了安全,这条船需要在这一时刻前至少0.4h停止卸货并驶离港口,那么该船最好在什么时间停止卸货并驶离港口? 15 解: 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值如下表: 18 课堂巩固 B 21 A 23 C 24 25 D 27 A 29 总结一下 简谐运动的概念和应用 30 由数据表和散点图可知 中,振子振动时位移的最大值为20mm,∴A=20;振子振动的周期为0.6s,即 =0.6,解得 ;再由初始状态(t=0)振子的位移为-20,可得 ,∴ .∴振子的位移关于时间的函数解析式为 . (2)周期: ,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间. 在物理学中,把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数 , 表示,其中 , . (3)频率: ,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数. (4)相位: ; 时的相位 称为初相. 由交变电流的产生原理可知,电流 随时间 的变化规律可用 来刻画,其中 表示频率,A表示振幅, 表示初相. 例2:如图(1)所示的是某次实验测得狡辩电流 (单位:A)随时间t(单位:s)变化的图象.将测得的图象放大,得到图(2). 求电流 随时间t变化的函数解析式; 当 时,求电流 . (1)由图可知,电流最大值5A,因此A=5;电流变化的周期为 s,频率为50Hz,即 ,解得 ;再由初始状态(t=0)的电流约为4.33A,可得 ,因此 约为 .所以电流 随时间t变化的函数解析式是 (2)当 时, ;当 时, ;当 时, ;当 时, ;当 时, . 例3 如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函 . (1)求这一天6~14时的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. (2)由图可以看出,从6~14时的图象是函数 的半个周期的图象,所以 , . 因为 ,所以 . 将 , , , , 代入函数解析式,可得 . 综上,所求解析式为 , . 时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m 0:00 5.0 9:18 2.5 18:36 5.0 3:06 7.5 12:24 5.0 21:42 2.5 6:12 5.0 15:30 7.5 24:00 4.0 (1)以时间x(单位:h)为横坐标,水深y(单位:m)为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图如图. 根据图象,可以考虑用函数 刻画水深与时间之间的对应关系,从数据和图象可以得出: , , , ; 由 ,得 . 所以,这个港口的水深与时间的关系可用函数 近似描述. 时刻 0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 水深/m 5.000 6.213 7.122 7.497 7.245 6.428 5.253 4.014 时刻 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 水深/m 3.023 2.529 2.656 3.372 4.497 5.748 6.812 7.420 时刻 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 水深/m 7.420 6.812 5.748 4.497 3.372 2.656 2.529 3.023 (2)货船需要的安全水深为 ,所以当 时就可以进港. 令 , . 由计算器可得 如图,在区间 内,函数 的图象与直线 有两个交点A,B,因此 ,或 . 解得 , . 借助计算工具,用二分法可以求得点P的坐标约为 , 因此为了安全,货船最好在6.6时之前停止卸货并驶离港口. 由函数的周期性易得: , . 因此,货船可以在零时30分左右进港,5时45分左右出港;或在13时左右进港,18时左右出港.每次可以在港口停留5小时左右. (3)设在x h时货船的安全水深为y m,那么 . 在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象如图,可以看到在6~8时之间两个函数图象有一个交点. 1.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图).假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动,筒车转轮的中心O到水面的距离h为1.5m,筒车的半径r为2.5m,筒转动的角速度 为 ,如图所示,盛水桶M(视为质点)的初始位置 距水面的距离为3m,则3s后盛水桶M到水面的距离近似为( )( , ). A.4.5m B.4.0m C.3.5m D.3.0m 解析:根据题意,建立如下所示平面直角坐标系: 根据题意,盛水桶M到水面的距离h与时间t满足: , , ; 因为筒转动的角速度为 ,故 ;又 ; ,解得 , ,则 ;又当 时, ,则 , ,则 ;故当 时, . 2.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距 的对应数表,这是世界数学史上最早的一整正切函数表.根据三角学知识可知,晷影长度l等于表高h与太阳天顶距 正切值的乘积,即 ,对同一“表高”两次测量,第一次和第二次太阳天顶距分别为 、 ,若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍,且 ,则第二次“晷影长”是“表高”的_倍( ) A.1 B. C. D. 解析:由题意可得 , , 所以 , 即第二次的“晷影长”是“表高”的1倍.故选:A. 3.1851年,法国的物理学家傅科做了一次成功的摆动实验,证明了地球自转现象,“傅科摆”由此得名.“傅科摆”在摆动过程中,摆动平面会随地球自转而缓缓转动,且“傅科摆”所处纬度 越高,摆动平面转动速度越快,角速度的大小为 (其中 , )与 成正比.当“傅科摆”在北纬处时,角速度最快,旋转一周的时间为.若某市天文馆也做了个“傅科摆”,已知该天文馆处于北纬,那么此处“傅科摆”旋转一周的时间约为(参考数据:)( ) A. B. C. D. 解析:设角速度 ,故旋转一周所用的时间 .当 时, ,故 ,所以 .故当“傅科摆”处于北纬 时, . 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色.如图,某摩天轮最高点距离地面高度为120m,转盘直径为110m,设置有48个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要30min.游客甲坐上摩天轮的座舱,开始转动tmin后距离地面的高度为Hm,如图以轴心O为原点,与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系,在转动一周的过程中,H关于t的函数解析式为( ) A. , B. , C. , D. , 解析:因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要 ,所以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周,大约需要 , 又因为摩天轮最高点距离地面高度为 ,所以 时, , 对于A, 时, ,不符合题意; 对于B, 时, ,不符合题意; 对于C, 时, ,不符合题意; 对于D, 时, ,符合题意; 故选D 5.如图,一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,筒车的轴心O距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下则d为负数),若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,则d与时间t(单位:s)之间的关系可以表示为( ) A. B. C. D. 解析:设 , 由题意可知, , ,解得 , , 函数 的最小正周期为 , 则 , 当 时, ,可得 , 又因为 ,则 ,故 . $$