辽宁省教研教改联合体2025届高三第一次调研考试数学试题

数学试题 第 1 页(共 5 页) 姓名:_ 考号:_ 辽宁省教研教改联合体 2025 届高三第一次调研考试 数 学 试 题 试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟 一、选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 , ,则 A. B. C. D. 2.已知复数 的实部为 的虚部为 ,则 在复平面内对 应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 设 , 是向量,则“ ”是“ 或 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列关于数学统计的结论中,正确的是 A.已知一组样本数据 , ,…, ( ),现有一组新的数据 , ,…, , ,则与原样本数据相比,新的数据平均数不变,方差变大 B.已知具有线性相关关系的变量 x,y,其线性回归方程为 ,若样本点的中心 为 ,则实数 m的值是 4 C.50名学生在一模考试中的数学成绩 ,已知 ,则 的人数为 20人 D.已知随机变量 ,若 ,则 数学试题 第 2 页(共 5 页) 5.已知双曲线 为坐标原点,若直线 与双曲线 的两条渐近线分 别交于点 ,则 内切圆的半径等于 A. B. C. D. 6.已知函数 f (x) = �� � �� 的极值点为 ,则� 1 �0 ln x0= A.e2 B.2 C. D.1 7.在菱形 中, , ,将 沿对角线 折起,使点 到达 的位 置,且二面角 为直二面角,则三棱锥 的外接球的表面积为 A. B. C. D. 8.设 、 、 满足 , , ,则 A. , B. , C. , D. , 二、选择题:本题共 3小题,每小题 6分,共 18分. 在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求。全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分. 9.已知函数 ,下列说法正确的是 A. 的值域为 B. 的对称中心为 , C. 在 上的单减区间为 D. 在 上的极值点个数为 1 10.已知抛物线 的焦点为 F,过点 F的直线 l与抛物线交于 A、B两点(点 A在第一象限), 与 的等差中项为 .抛物线在点 A、B处的切线交于点 M,过 点 M且垂直于 y轴的直线与 y轴交于点 N,O为坐标原点,P为抛物线上一点,下列说法正 确的是 数学试题 第 3 页(共 5 页) A. B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 16 11.已知函数 ,下列说法正确的是 A.若 ,则 的值域为 B.若 ,则过原点有且仅有一条直线与曲线 相切 C.存在 ,使得 有三个零点 D.若 ,则 的取值范围为 三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分. 12.在数列 中,已知 , ,则数列 的前 2024项和 _. 13.已知 ,若 ,使 成 立,则 _. 14.设严格递增的整数数列 , ,…, 满足 , .设 为 , ,…, 这 19个数中被 3整除的项的个数,则 的最大值为_,使得 取到最大值的 数列 的个数为_. 四、解答题:本题共 5小题,共 77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知 分别为 三个内角 的对边,且 (1)求 ; (2)若 的面积为 , 为 边上一点,满足 ,求 的长. 16.(15分)已知函数 . (1)若曲线 在 处的切线与 轴垂直,求 的极值. (2)若 在 只有一个零点,求 . 数学试题 第 4 页(共 5 页) 17.(15分)如图,在四棱锥 中,底面 是直角梯形, , ,且 , . (1)若 为 的中点,证明:平面 平面 ; (2)若 , ,线段 上的点 满 足 ,且平面 与平面 夹角的余弦值为 , 求实数 的值. 18.(17分)测试发现,某位惯用脚为右脚的足球球员甲在罚点球时,踢向球门左侧、中 间和右侧的概率分别为 0.5,0.1和 0.4,并且,踢向左侧、中间和右侧时分别有 0.1,0.2和 0.2的概率踢飞或踢偏(没有射正).守门员在扑点球一般会提前猜测方向.测试发现,某位守 门员乙在扑点球时猜右侧(即足球运动员甲在罚点球时,踢向球门左侧)、中间和左侧(即 足球运动员甲在罚点球时,踢向球门右侧)的概率分别为 0.6,0.1和 0.3.当他猜中方向为左 侧或者右侧来时扑出点球的概率均为 0.5,当他猜中方向为中间时,扑出点球的的概率为 0.8. (1)求球员甲面对守门员乙时,第 1次罚点球罚丢的概率; (2)若球员甲在上一轮罚丢点球,则下一轮面对球员甲罚点球时,守门员乙的信心将会激 增,在猜中方向的前提下,所有方向扑出点球概率都会在原来的基础上增加 0.1;若球员甲 在上一轮罚进点球,守门员乙将会变得着急,会有 0.2的概率提前移动,在守门员乙提前移 动的情况下,若球员甲罚丢点球,则可获得重罚机会.已知守门员乙提前移动时扑出三个方 向点球的概率均会增加 0.1.假定因为守门员乙提前移动球员甲重罚点球仍属于第二轮,且重 罚时守门员乙不再提前移动. (i)求球员甲第二轮罚进点球的概率; (ii)设 为球员甲在第 k轮罚进点球的概率,若 满足对于 , ,直接写出符合题意的 .(注:最终结果均保留两位小数.) 数学试题 第 5 页(共 5 页) 19.(17分)设 A,B为椭圆 C: 的短轴端点,P为椭圆上异于 A,B的任意一 点,D在直线 上. (1)求直线 , 的斜率的乘积; (2)证明: ; (3)过右焦点 F作 x轴的垂线 ,E为 上异于 F的任意一点,直线 交 C于 M,N两点, 记直线 , , 的斜率分别为 , , ,是否存在 , , 的某个排列,使得这 三个数成等差数列?若存在,加以证明;若不存在,请说明理由.