2024年七年级数学人教版上册暑假预习课讲义第一讲 正数和负数

七年级暑假预习课讲义 第1讲 正数和负数 一、专题导航 2、 知识点梳理 知识点1 正数和负数 正数和负数的概念 大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数 名师点拨 判断一个数是正数还是负数，不能简单地理解为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数，如-（）不是负数，因为它是在负数前面加了“-”号得到的数，不符合负数的定义. 例1-1 .下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ ，，，，+2.009，，，81． 例1-2 .在下面四组数：①，2.3，；②，0，；③，0.3，7；④，，2中，三个数都不是负数的一组是　　 A．①② B．②④ C．③④ D．②③④ 知识点2 具有相反意义的量 一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 名师点拨 1. 具有相反意义的量的正负性是相对的，没有硬性规定，是可以任意选择的. 2. 具有相反意义的量中的两个量表示的意义相反，且必须是同类量。 3. 具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不是具有相反意义的量. 例2-1 .下列各对量中，表示具有相反意义的量的是（ ） A 购进50kg苹果与卖出-50kg苹果 B高出海平面786m与低于海平面230m C向东走-9m和向西走10m D 飞机上升100m与飞机前进100m 例2-2. 在地理学中使用海平面作为高度的一种衡量标准，例如，某地区的平均高度高于海平面，记为海拔，则低于海平面记为______________． 知识点3 对数“0”的再认识 0既不是正数，也不是负数。 1. 表示没有. 2. 表示数时起到占位的作用 3. 表示某种量的基准 4. 表示某些数量的分界 5. 表示起点. 例3-1.下面关于0的说法： （1）0是最小的正数； （2）0是最小的非负数； （3）0既不是正数也不是负数； （4）0既不是奇数也不是偶数； （5）0是最小的自然数； （6）海拔0m就是没有海拔． 其中正确说法的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 例3-2.下列说法正确的是（　　） A．0既是正数又是负数 B．0是最小的正数 C．0既不是正数也不是负数 D．0是最大的负数 知识点4 正负数的实际应用 名师点拨 用正、负数表示相反意义的量时，要抓住基准，比基准量多多少记为“＋”的多少，少多少记为“－”的多少．另外，通常把“零上、上升、前进、收入、运进、增产”等规定为正，与它们意义相反的量表示为负． 例4-1 .下列各对量中，表示具有相反意义的量的是（ ） A 购进50kg苹果与卖出-50kg苹果 B高出海平面786m与低于海平面230m C向东走-9m和向西走10m D 飞机上升100m与飞机前进100m 例4-2 .如果某水库警戒水位150米记作0米，那么151米记作 ，148米记作 ． 例4-3 .某种零件，标明要求是表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是，该零件 　 　（填“合格”或“不合格” ． 方法总结：用正、负数表示相反意义的量时，要抓住基准，比基准量多多少记为“＋”的多少，少多少记为“－”的多少．另外，通常把“零上、上升、前进、收入、运进、增产”等规定为正，与它们意义相反的量表示为负． 例4-4 .（1）有一列数：1，-2，-3，4，-5，-6，7，-8，…．那么接下来的3个数分别 是 ， ， ； （2）有一列数：，，，，…．那么接下来的第7个数是 ． 方法总结：解答探索规律的问题，应全面分析所给的数据，特别要注意观察符号的变化规律，发现数字排列的特征． 3、 针对训练 训练1 正数和负数 1．下列各数中：，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列为负数的是（    ） A．0 B．2024 C． D． 3．下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ ，，，，+2.009，，，81． 4．读一读下列各数，并指出哪些是正数，哪些是负数． ． 训练2 相反意义的量 1．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．月球表面的白天平均温度零上记作℃，夜间平均温度零下应记作（    ） A．℃ B．℃ C．℃ D．℃ 2．如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时的水位变化记作（   ） A． B． C． D． 3．月球表面的最高温度零上，记作，最低温度零下，应记作（    ） A． B． C． D． 4．某班同学的标准身高为170cm，如果用正数表示身高高于标准身高的高度．那么： (1)5cm和cm各表示什么？ (2)身高低于标准身高10cm和高于标准身高8cm各怎么表示？ (3)既不高于标准身高，也不低于标准身高怎么表示？ 训练3 “0”的再认识 1.下列对“0”的说法正确的个数是(　　) ①0是正数和负数的分界点；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数；⑤0是自然数． A．3 B．4 C．5 D．0 2.判断题 （l）0是自然数，也是偶数（ ）。 （2）0可以看成是正数，也可以看成是负数（ ）。 （3）温度0℃就是没有温度（ ）。 训练4 正负数的实际应用 1．某班级抽查了名同学的期末成绩，以分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：、﹣、、﹣、﹣、﹣、﹣、、、．这名同学中， (1)最高分是多少？ (2)最低分是多少？ 2．如图，一名跳水运动员参加跳台的跳水比赛（跳台是指跳台离水面的高度为），这名运动员举高手臂时身长为，跳水池池深为（规定向上为正）． (1)若以水面为基准，则这名运动员指尖的高度及池底的深度分别如何表示？ (2)若以跳台为基准，则池底的深度与水面的高度分别如何表示？ 3．一种袋装面粉标准净重为，质监工作人员为了解这种面粉标准净重和每袋净重的关系，把记为，那么一袋面粉净重记为（　 　） A． B． C． D．都不正确 4．合格羽毛球的质量是克．下面是4个羽毛球的质量，（    ）是合格的． A． B． C． D． 5．某饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有“（）”字样，请问“（）”是什么含义？质检局对该产品抽查瓶，容量分别为，，，，，问抽查产品的容量是否合格？ 6 .某年，一些国家的服务出口额比上年的增长率如下： 美国 德国 英国 中国 日本 意大利 这一年，上述六国中哪些国家的服务出口额增长了？哪些国家的服务出口额减少了？哪国增长率最高？哪国增长率最低？ 7 .近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师家买了一辆新能源汽车．王老师连续一星期记录了每天行驶的路程（每天以为基准，超出记为正，不足记为负），如表： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 路程 0 （1）该汽车行驶路程最多的一天是 　 　，这一天的实际行驶路程是 　　． （2）若该新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电约为0.5元，求王老师这一星期开新能源汽车的电费． 8 .今年的“十•一”黄金周是7天的长假，徐州市吕梁风景区在7天假期中每天旅游人数变化如表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少） 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 单位：万人 +1.1 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.4 ﹣0.2 +0.4 ﹣0.5 若9月30日的游客人数为0.1万人，问： （1）10月4日的旅客人数为 　　万人； （2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多 　　万人？ （3）如果每万人带来的经济收入为50万元，则黄金周七天的旅游总收入为多少万元？ 9．一跳蚤在一直线上从点开始，第次向右跳个单位，紧接着第2次向左跳个单位，第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离点的距离是（    ）个单位. A． B． C． D． 10．如图，将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：    (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2024个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 4、 能力提升 提升1 正数和负数 1．聪聪和慧慧为了合理计划自己的开支，每天坚持记录自己当天的收支情况如下表，是她们上周各天收支情况（记收入为正，单位：元） 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 －5.20 0 －4.80 5 －3 －2 慧慧 8 0 0 －6 －1 0 0 根据上表回答下列问题： (1)分别说出聪聪这一行中10，0，－2各数的实际意义． (2)把上表补充完整． 2．图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中A→C（________，________），B→C（________，________），C→________（+1，﹣2）； （2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置； （3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程． （4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N→A应记为什么？ 3．一种商品的标准价格是200元，但随着季节的变化，商品的价格可浮动±10%，想一想． （1）请你计算出该商品的最高价格和最低价格； （2）如果以标准价为标准，超过标准价记“＋”，低于标准价记“－”，�该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？ 提升2 相反意义的量 1．把下列具有相反意义的量用线连接起来． 前进米                      收入元 运出吨                     盈利元 上升C                        后退米 支出元                     运进吨 亏损元                      下降 2．假期中小明和父母一起到甲、乙两个城市旅游，小明发现两个城市中使用的人民币的新旧程度不同：在甲城市中，面值10元、50元和100元的三种人民币的新旧程度基本相同；在乙城市中，面值10元的人民币比较旧，而面值50元和100元的人民币比较新．你能通过这些信息判断两个城市的发展水平哪个更高吗？ 3．下面各组量是不是具有相反意义的量？如果是，请你用正数和负数表示这些量. （1）节约20度电与浪费10度电； （2）向南前进100米和向东后退20米； （3）卖出20箱饮料与收入500元； （4）盈利18万元和亏损15万元. 提升3 “0”的再认识 1．下列说法正确的个数是（    ） ①加正号的数是正数，加负号的数是负数； ②任意一个正数，前面加上“－”，就是一个负数； ③0是最小的正数；  ④大于零的数是正数；  ⑤字母a既是正数，又是负数． A．0 B．1 C．2 D．3 2．判断题 （1）0是自然数，也是偶数( ). （2）0可以看成是正数，也可以看成是负数( ). （3）温度就是没有温度( ). 3.判断题 负数都比0小，正数都比0大，所以负数都小于正数． ( ) 提升4 正负数的实际应用 1．某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这10名同学中， (1)最高分是多少？ (2)最低分是多少？ (3)10名同学的平均成绩是多少？ 2．下表是某班5名同学某次数学测试成绩，根据信息回答问题： 姓名 王芳 刘兵 张沂 李聪 江文 成绩 89 84 与全班平均分之差 (1)把表格补充完整； (2)若不低于平均分的成绩是合格，求5名同学的合格率? 3 .某食品厂从生产的袋装面粉中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：g） 0 1 3 6 袋数 1 4 3 4 5 3 (1)这批样品的平均质量比标准质量重还是轻？重或轻多少克？ (2)若标准质量为每袋，则这批样品的总质量是多少？若该厂袋装面粉的合格标准，这批样品的合格率是多少？ 4．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，他从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向. (1)图中{______，______}， {______，______}： (2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的最短路程； (3)若图中另有两个格点M、N，且，，则应记为什么？直接写出你的答案． 5 .“十一”黄金周期间，某超市家电部大力促销，收银情况如下表，下表为当天与前一天的营业额的涨跌情况（上涨为正，下跌为负，单位：万元）．已知9月30日的营业额为26万元： 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 +4 +3 +2 0 ﹣1 ﹣3 ﹣5 （1）家电部黄金周内哪天收入最高，为多少万元？哪天收入最低，为多少万元？ （2）家电部黄金周内平均每天的营业额是多少万元？（精确到0.01万元） 6.观察下面各数列，研究它们各自的变化规律，并接着填出后面的两个数． （1）1，-1，1，-1，1，-1，1，-1， ， ； （2）2，-4，6，-8，10，-12，14，-16， ， ； （3）1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0， ， . 7.观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出第10个数、第105个数、第2015个数吗？ (1)一列数：1，－2，3，－4，5，－6，______，______，______，…； (2)一列数：－1，，－3，，－5，，____，____，____，…. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级暑假预习课讲义 第1讲 正数和负数（解析版） 一、专题导航 2、 知识点梳理 知识点1 正数和负数 正数和负数的概念 大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数 名师点拨 判断一个数是正数还是负数，不能简单地理解为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数，如-（）不是负数，因为它是在负数前面加了“-”号得到的数，不符合负数的定义. 例1-1 .下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ ，，，，+2.009，，，81． 【答案】正数有：3.2，，+2.009，，81；负数有：，， 【分析】根据正数，负数的定义进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，正数有：3.2，，+2.009，，81；负数有：，，． 【点睛】本题考查了正数、负数．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 例1-2 .在下面四组数：①，2.3，；②，0，；③，0.3，7；④，，2中，三个数都不是负数的一组是　　 A．①② B．②④ C．③④ D．②③④ 【分析】根据正数与负数的特征可判断求解． 【解析】①中 是负数，不符合题意； ②③④中的三个数都不是负数，符合题意． 故选：． 知识点2 具有相反意义的量 一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 名师点拨 1. 具有相反意义的量的正负性是相对的，没有硬性规定，是可以任意选择的. 2. 具有相反意义的量中的两个量表示的意义相反，且必须是同类量。 3. 具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不是具有相反意义的量. 例2-1 .下列各对量中，表示具有相反意义的量的是（ ） A 购进50kg苹果与卖出-50kg苹果 B高出海平面786m与低于海平面230m C向东走-9m和向西走10m D 飞机上升100m与飞机前进100m 【答案】B 【易错总结】向东走-9米实际意义是向西走9米。“-”本身就是意义相反的意思 例2-2. 在地理学中使用海平面作为高度的一种衡量标准，例如，某地区的平均高度高于海平面，记为海拔，则低于海平面记为______________． 【答案】 【分析】直接根据正负数的意义作答即可． 【详解】∵平均高度高于海平面，记为海拔， ∴低于海平面记为 ， 故答案为． 【点评】此题考查了相反意义的量，首先要知道以谁为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此用正负数解答问题． 知识点3 对数“0”的再认识 0既不是正数，也不是负数。 1. 表示没有. 2. 表示数时起到占位的作用 3. 表示某种量的基准 4. 表示某些数量的分界 5. 表示起点. 例3-1.下面关于0的说法： （1）0是最小的正数； （2）0是最小的非负数； （3）0既不是正数也不是负数； （4）0既不是奇数也不是偶数； （5）0是最小的自然数； （6）海拔0m就是没有海拔． 其中正确说法的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】0既不是正数也不是负数，是最小的非负数，最小的自然数，是偶数，判断即可得到结果． 【详解】解：（1）0是最小的正数，错误，0不是正数也不是负数； （2）0是最小的非负数，正确，非负数即为正数与0； （3）0既不是正数也不是负数，正确； （4）0既不是奇数也不是偶数，错误，0是偶数； （5）0是最小的自然数，正确； （6）海拔0m就是没有海拔，错误，海拔0m就是与海平面高度相同； 则正确的说法有3个． 故选：D． 【点评】此题考查了有理数的分类和意义，掌握有理数的分类和0的意义是解本题的关键． 例3-2.下列说法正确的是（　　） A．0既是正数又是负数 B．0是最小的正数 C．0既不是正数也不是负数 D．0是最大的负数 【答案】C 【分析】根据有理数的分类判断即可． 【详解】∵0既不是正数也不是负数，故选C． 【点评】本题考查了零的属性，熟练掌握0既不是正数也不是负数是解题的关键。 知识点4 正负数的实际应用 名师点拨 用正、负数表示相反意义的量时，要抓住基准，比基准量多多少记为“＋”的多少，少多少记为“－”的多少．另外，通常把“零上、上升、前进、收入、运进、增产”等规定为正，与它们意义相反的量表示为负． 例4-1 .下列各对量中，表示具有相反意义的量的是（ ） A 购进50kg苹果与卖出-50kg苹果 B高出海平面786m与低于海平面230m C向东走-9m和向西走10m D 飞机上升100m与飞机前进100m 【答案】B 【易错总结】向东走-9米实际意义是向西走9米。“-”本身就是意义相反的意思 例4-2 .如果某水库警戒水位150米记作0米，那么151米记作 ，148米记作 ． 【答案】 米 米 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：如果某水库警戒水位150米记作0米， 那么151米记作米，148米记作米． 故答案为：米；米． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 例4-3 .某种零件，标明要求是表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是，该零件 　 　（填“合格”或“不合格” ． 【分析】，知零件直径最大是，最小是，合格范围在19.98和20.02之间． 【解析】零件合格范围在19.98和20.02之间．，所以不合格． 故答案为：不合格． 方法总结：用正、负数表示相反意义的量时，要抓住基准，比基准量多多少记为“＋”的多少，少多少记为“－”的多少．另外，通常把“零上、上升、前进、收入、运进、增产”等规定为正，与它们意义相反的量表示为负． 例4-4 .（1）有一列数：1，-2，-3，4，-5，-6，7，-8，…．那么接下来的3个数分别 是 ， ， ； （2）有一列数：，，，，…．那么接下来的第7个数是 ． 【答案】 -9, 10, -11; 【详解】(1) 这一列数可以看作是先将正整数从小到大逐个排列起来再从第二个数开始每隔一个数在原数前面添加负号而得到的. 根据这一规律，接下来的3个数分别为：-9，10，-11. (2) 对这一列数的分子与分母的规律分别进行讨论. ①这一列数的分子可以看作是将正整数从小到大逐个排列起来而得到的. ②观察这列数的分母可以看出，，，，，… 因此，这列数的分母可以看作是该分数的分子与其自身之积再加上1而得到的. 根据上述规律，第7个数的分子应为7，第7个数的分母应为，即第7个数应为. 方法总结：解答探索规律的问题，应全面分析所给的数据，特别要注意观察符号的变化规律，发现数字排列的特征． 3、 针对训练 训练1 正数和负数 1．下列各数中：，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【详解】解：，是正数； ，是负数； ，是负数； 0既不是正数，也不是负数； ，是负数； ，是正数； 负数有，，，共3个． 故选：C． 2．下列为负数的是（    ） A．0 B．2024 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查负数的认识，根据负数的定义判断即可． 【详解】 B，C均为正数 0既不是正数也不是负数， 是负数 故选：D． 3．下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ ，，，，+2.009，，，81． 【答案】正数有：3.2，，+2.009，，81；负数有：，， 【分析】根据正数，负数的定义进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，正数有：3.2，，+2.009，，81；负数有：，，． 【点睛】本题考查了正数、负数．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 4．读一读下列各数，并指出哪些是正数，哪些是负数． ． 【答案】读法见解析，正数有：5，，；负数有：，，， 【分析】根据正负数的概念判定即可． 【详解】解：5读着正五或五，读着负七分之五，读着负三点五，读着正1又三分之一或1又三分之一，读着负零点零一，读着正二点五或二点五，读着负七佰； 正数有：5，，； 负数有：，，，． 【点睛】本题考查正负数及其读法，熟记正负数的概念是解题的关键． 训练2 相反意义的量 1．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．月球表面的白天平均温度零上记作℃，夜间平均温度零下应记作（    ） A．℃ B．℃ C．℃ D．℃ 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：白天平均温度零上，记作，夜间平均温度零下应记作， 故选：B． 2．如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时的水位变化记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正负数表示相反意义的量，根据水位升高时水位变化记作，那么水位下降时的水位变化记作即可得解． 【详解】解：如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时的水位变化记作， 故选：B． 3．月球表面的最高温度零上，记作，最低温度零下，应记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正负数的意义，根据零上为正，则零下为负，即可得出结果． 【详解】解：零上，记作，则：零下，记作； 故选B． 4．某班同学的标准身高为170cm，如果用正数表示身高高于标准身高的高度．那么： (1)5cm和cm各表示什么？ (2)身高低于标准身高10cm和高于标准身高8cm各怎么表示？ (3)既不高于标准身高，也不低于标准身高怎么表示？ 【答案】(1)5cm表示比标准身高高5cm；cm表示比标准身高低13cm (2)身高低于标准身高10cm表示为cm；身高高于标准身高8cm表示为cm (3)既不高于标准身高，也不低于标准身高表示为0 【分析】（1）用正数表示身高高于标准身高的高度，则用负数表示身高低于标准身高的高度，据此作答即可； （2）用正数表示身高高于标准身高的高度，则用负数表示身高低于标准身高的高度，据此作答即可； （3）根据题意作答即可． 【详解】（1）5cm表示比标准身高高5cm；cm表示比标准身高低13cm； （2）身高低于标准身高10cm表示为cm；身高高于标准身高8cm表示为cm； （3）既不高于标准身高，也不低于标准身高表示为0． 【点睛】本题考查了用正负数表示具有相反意义的量，准确理解题意是解题的关键． 训练3 “0”的再认识 1.下列对“0”的说法正确的个数是(　　) ①0是正数和负数的分界点；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数；⑤0是自然数． A．3 B．4 C．5 D．0 【答案】A 【详解】：0除了表示“无”的意义，还表示其他的意义，所以②不正确；0既不是正数也不是负数，所以④不正确；其他的都正确．故选A. 2.判断题 （l）0是自然数，也是偶数（ ）。 （2）0可以看成是正数，也可以看成是负数（ ）。 （3）温度0℃就是没有温度（ ）。 【答案】√ × × 训练4 正负数的实际应用 1．某班级抽查了名同学的期末成绩，以分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：、﹣、、﹣、﹣、﹣、﹣、、、．这名同学中， (1)最高分是多少？ (2)最低分是多少？ 【答案】(1)分 (2)分 【分析】（1）根据正负数的意义，可得答案； （2）根据正负数的意义，可得答案； 【详解】（1）最高分是分； （2）最低分是分； 【点睛】本题考查了正数和负数，利用正负数的意义超出的分数记为正数，不足的分数记为负数是解题关键． 2．如图，一名跳水运动员参加跳台的跳水比赛（跳台是指跳台离水面的高度为），这名运动员举高手臂时身长为，跳水池池深为（规定向上为正）． (1)若以水面为基准，则这名运动员指尖的高度及池底的深度分别如何表示？ (2)若以跳台为基准，则池底的深度与水面的高度分别如何表示？ 【答案】(1)这名运动员指尖的高度为，池底的深度为； (2)池底的深度为，水面的高度为． 【分析】（1）利用正数和负数的意义来表示； （2）利用正数和负数的意义来表示． 【详解】（1）解：（米） ∴以水面为基准，这名运动员指尖的高度为，池底的深度为； （2）解：（米） ∴以跳台为基准，池底的深度为，水面的高度为． 【点睛】本题考查了正负数的意义，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 3．一种袋装面粉标准净重为，质监工作人员为了解这种面粉标准净重和每袋净重的关系，把记为，那么一袋面粉净重记为（　 　） A． B． C． D．都不正确 【答案】A 【分析】本题考查用正数和负数表示相反意义的量．根据题意把袋装面粉标准净重为，记为0，超出部分记为正数，不足部分记为负数，即可解答． 【详解】解：∵袋装面粉标准净重为，记为0，超出部分记为正数，不足部分记为负数， ∴净重的面粉比标准净重少，应记为． 故选：A 4．合格羽毛球的质量是克．下面是4个羽毛球的质量，（    ）是合格的． A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，根据题意克可出质量在克和克之间的羽毛球都是合格的，据此可得答案． 【详解】解：因为合格羽毛球的质量是克， 所以质量在克和克之间的羽毛球都是合格的， 所以四个选项中只有B、D是合格的， 故选：BD． 5．某饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有“（）”字样，请问“（）”是什么含义？质检局对该产品抽查瓶，容量分别为，，，，，问抽查产品的容量是否合格？ 【答案】合格，过程见详解 【分析】本题考查用正负数表示变化的量，在用正负数表示变化的量时，先规定其中的一个为正（或负），则其相反意义的量就用负（或正）表示． 理解（）的意义，根据题意进行判断即可． 【详解】解：“（）”是为标准容量，（）是合格范围， 故，，，，，抽查产品的容量是合格的． 6 .某年，一些国家的服务出口额比上年的增长率如下： 美国 德国 英国 中国 日本 意大利 这一年，上述六国中哪些国家的服务出口额增长了？哪些国家的服务出口额减少了？哪国增长率最高？哪国增长率最低？ 【答案】中国、意大利的服务出口额增长了，美国、德国、英国、日本的服务出口额减少了，意大利的增长率最高，日本的增长率最低． 【详解】解：服务出口额增长的国家：中国，意大利； 国家的服务出口额减少的国家：美国、德国、英国、日本； 增长率最高的是意大利； 增长率最低的是日本． 7 .近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师家买了一辆新能源汽车．王老师连续一星期记录了每天行驶的路程（每天以为基准，超出记为正，不足记为负），如表： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 路程 0 （1）该汽车行驶路程最多的一天是 　 　，这一天的实际行驶路程是 　　． （2）若该新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电约为0.5元，求王老师这一星期开新能源汽车的电费． 【分析】（1）根据题意及正数与负数的含义进行分析求解即可； （2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解． 【解答】解：（1）七天中，行驶路程最多的一天是星期六， 这一天的实际行驶路程是：， 故答案为：星期六，55； （2）元， 答：小明家这一星期的汽车的电费为15元． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是关键． 8 .今年的“十•一”黄金周是7天的长假，徐州市吕梁风景区在7天假期中每天旅游人数变化如表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少） 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 单位：万人 +1.1 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.4 ﹣0.2 +0.4 ﹣0.5 若9月30日的游客人数为0.1万人，问： （1）10月4日的旅客人数为 　　万人； （2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多 　　万人？ （3）如果每万人带来的经济收入为50万元，则黄金周七天的旅游总收入为多少万元？ 【解答】解：（1）根据题意列得：0.1+（+1.1﹣0.6+0.2﹣0.4）＝0.4； 故答案是：0.4； （2）10月1日有游客：0.1+1.1＝1.2 （万）， 10月2日有游客：1.2﹣0.6＝0.6（万）， 10月3日有游客：0.6+0.2＝0.8（万）， 10月4日有游客：0.8﹣0.4＝0.4 （万）， 10月5日有游客：0.4﹣0.2＝0.2 （万）， 10月6日有游客：0.2+0.4＝0.6 （万）， 10月7日有游客：0.6﹣0.5＝0.1 （万）； 7天中旅客最多的是1日为1.2万人，最少的是7日为0.1万人， 则七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多1.2﹣0.1＝1.1（万人）； 故答案为：1.1； （3）黄金周七天游客：1.2+0.6+0.8+0.4+0.2+0.6+0.1＝3.9（万人）， 3.9×50＝195（万元）， 答：黄金周七天的旅游总收入约为195万元． 9．一跳蚤在一直线上从点开始，第次向右跳个单位，紧接着第2次向左跳个单位，第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离点的距离是（    ）个单位. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设向右为正，向左为负．根据正负数的意义列出式子计算即可． 【详解】解：设向右为正，向左为负．则 1+（-2）+3+（-4）+．+（-100）=[1+（-2）]+[3+（-4）]+．+[99+（-100）]=-50． ∴落点处离O点的距离是50个单位． 故答案为:B． 【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 10．如图，将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：    (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2024个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 【答案】(1)在处的数是正数 (2)负数排在和的位置 (3)排在的位置 【分析】（1）由图可知，向下的箭头的上方的数为负数，下方的数为正数，向上的箭头的下方的数是负数，上方的数为正数，即可得出结论； （2）由（1）的规律即可得出结论； （3）由图可知，每4个为一组，利用，确定的位置即可； 【详解】（1）解：由图可知，向下的箭头的上方的数为负数，下方的数为正数，向上的箭头的下方的数是负数，上方的数为正数， ∴在处的数是正数； （2）由（1）中规律可知：负数排在和的位置； （3）因为，所以第2024个数是正数，排在的位置． 【点睛】本题考查有理数的规律探究，解题的关键是根据已知数据抽象概括出相应的数字规律． 4、 能力提升 提升1 正数和负数 1．聪聪和慧慧为了合理计划自己的开支，每天坚持记录自己当天的收支情况如下表，是她们上周各天收支情况（记收入为正，单位：元） 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 －5.20 0 －4.80 5 －3 －2 慧慧 8 0 0 －6 －1 0 0 根据上表回答下列问题： (1)分别说出聪聪这一行中10，0，－2各数的实际意义． (2)把上表补充完整． 【答案】(1)见解析 (2)-4，1 【分析】（1）10意义是收入10元，0意义是收支平衡，-2意义是支出了2元． （2）先计算聪聪本周日的收支数等于本周的结余数-2减去周一到周六的收支总和，结果为-4，慧慧本周的结余数等于本周一到周日的收支总和，结果为1，然后填入下表． 【详解】（1）10是收入10元，0是收支平衡，-2是支出了2元． （2）聪聪周日的收支情况为：-2-（10-5.20+0-4.80+5-3）=-2-2=-4， 慧慧本周的结余情况为：8+0+0-6-1+0+0=1， 根据计算完成下表 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 －5.20 0 －4.80 5 －3 -4 －2 慧慧 8 0 0 －6 －1 0 0 1 【点睛】本题考查了有理数加减的应用，解决问题的关键是清楚知道收支的正负，熟练进行有理数的加减运算．（1）按收入为正，支出为负回答．（2）先计算出聪聪本周日的收支数据，慧慧本周的结余数据，而后填表． 2．图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中A→C（________，________），B→C（________，________），C→________（+1，﹣2）； （2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置； （3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程． （4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N→A应记为什么？ 【答案】（1）（+3，+4），（+2，0），D；（2）见解析；（3）10；（4）（﹣2，﹣2） 【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负分别写出各点的坐标即可； （2）根据题意：A→M→N→Q→P，如图1； （3）分别根据各点的坐标计算总长即可； （4）令M→A与M→N对应的横纵坐标相减即可得出． 【详解】：（1）图中A→C（+3，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，-2）； 故答案为：（+3，+4），（+2，0），D； （2）解：P点位置如图1所示； （3）解：如图2， 根据已知条件可知： A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，﹣2）； 则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10； （4）解：由M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2）， 所以，5﹣a﹣（3﹣a）=2，b﹣2﹣（b﹣4）=2， 所以，点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N， 所以，N→A应记为（﹣2，﹣2） 【点睛】本题考查了正数和负数表示的意义，认真理解“向上向右走均为正，向下向左走均为负；第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向”这几句话是关键，明确每一个坐标代表的含义，从而找到对应的点． 3．一种商品的标准价格是200元，但随着季节的变化，商品的价格可浮动±10%，想一想． （1）请你计算出该商品的最高价格和最低价格； （2）如果以标准价为标准，超过标准价记“＋”，低于标准价记“－”，�该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？ 【答案】（1）该商品的最高价格是220元，最低价格是180元；（2）该商品价格的浮动范围为±20元. 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．（1）根据给出的条件列式计算即可解答．（2）根据题意，求出商品价格的浮动范围． 【详解】(1)最高价为：200+200×10%=220(元) 最低价为：200×(1−10%)=180(元)； 答：该商品的最高价格是220元，最低价格是180元； (2)因为220−200=20(元),200−180=20(元)，所以这件商品加价和降价的幅度不超过20元，所以，这件商品价格的浮动范围又可以表示为±20元； 答：该商品价格的浮动范围为±20元. 【点睛】此题考查正、负数的运算，百分数的实际应用，负数的意义及其应用，解题关键在于掌握其定义. 提升2 相反意义的量 1．把下列具有相反意义的量用线连接起来． 前进米                      收入元 运出吨                     盈利元 上升C                        后退米 支出元                     运进吨 亏损元                      下降 【答案】见详解 【分析】相反意义的量指的是：具有相反意义，有数量（数量可以相等，也可以不相等），成对出现，由此即可求解． 【详解】解：根据相反意义的量的含义得， 【点睛】本题主要考查相反意义的量，理解并掌握相反意义的量的定义是解题的关键． 2．假期中小明和父母一起到甲、乙两个城市旅游，小明发现两个城市中使用的人民币的新旧程度不同：在甲城市中，面值10元、50元和100元的三种人民币的新旧程度基本相同；在乙城市中，面值10元的人民币比较旧，而面值50元和100元的人民币比较新．你能通过这些信息判断两个城市的发展水平哪个更高吗？ 【答案】甲城市的发展水平更高 【分析】根据面值10元、50元和100元的三种人民币的新旧程度，可得面值10元、50元和100元的三种人民币的使用程度，依此可得两个城市的发展水平哪个更高． 【详解】解：在甲城市中，面值10元、50元和100元的三种人民币的新旧程度基本相同； 在乙城市中，面值10元的人民币比较旧，而面值50元和100元的人民币比较新； 在甲城市中，面值50元和100元的三种人民币的使用程度多， 甲城市的发展水平更高． 【点睛】考查了数学常识，关键是理解面值10元、50元和100元的三种人民币的使用程度． 3．下面各组量是不是具有相反意义的量？如果是，请你用正数和负数表示这些量. （1）节约20度电与浪费10度电； （2）向南前进100米和向东后退20米； （3）卖出20箱饮料与收入500元； （4）盈利18万元和亏损15万元. 【答案】（1）是，+20度与-10度.（2）不是.（3）不是.（4）是，+18万元与一15万元 【分析】先判断两个量是不是相反意义的量，再由在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示. 【详解】解：（1）是，+20度与-10度. （2）南、北不是意义相反的量，故不是. （3）卖出和收入不是意义相反的量，故不是; （4）是，+18万元与一15万元. 【点睛】考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，知道整数与负数通常表示相反意义的量． 提升3 “0”的再认识 1．下列说法正确的个数是（    ） ①加正号的数是正数，加负号的数是负数； ②任意一个正数，前面加上“－”，就是一个负数； ③0是最小的正数；  ④大于零的数是正数；  ⑤字母a既是正数，又是负数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据正数、负数的概念逐个判断即可． 【详解】解：对于①：加正号的数不一定是正数，如+(-5)=-5是负数，加负号的数不一定是负数，如-(-5)=5是正数，故①错误； 对于②：任意一个正数，前面加上“-”，就是一个负数，故②正确； 对于③：0既不是正数，也不是负数，故③错误； 对于④：大于0的数是正数，故④正确； 对于⑤：如果a是正数，就必定不是负数，故⑤错误； 所以正确的有：②、④， 故选：C． 【点睛】本题考查正数和负数的概念，解答本题的关键是明确正数、负数的定义． 2．判断题 （1）0是自然数，也是偶数( ). （2）0可以看成是正数，也可以看成是负数( ). （3）温度就是没有温度( ). 【答案】 正确 错误 错误 【分析】本题考查了正数和负数，熟记零的意义是解题关键．根据0的意义逐一分析判断即可． 【详解】（1）0是自然数，也是偶数，故原说法正确； （2）0不是正数，也不是负数，故原说法错误； （3）温度不是没有温度，故原说法错误； 故答案为：正确，错误，错误． 3.判断题 负数都比0小，正数都比0大，所以负数都小于正数． ( ) 【答案】√ 【分析】本题考查了正负数的大小比较，在数轴上，从左到右的顺序就是数从小到大的顺序，根据“负数<0<正数”即可判断． 【详解】借助数轴比较数的大小，所有的负数都在0的左边，所有的正数都在0的右边，也就是负数都比0小，而正数都比0大，所以负数都小于正数，所以该说法是正确的， 故答案为：√． 提升4 正负数的实际应用 1．某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这10名同学中， (1)最高分是多少？ (2)最低分是多少？ (3)10名同学的平均成绩是多少？ 【答案】(1)92分 (2)70分 (3)分 【分析】（1）根据正负数的意义，可得答案； （2）根据正负数的意义，可得答案； （3）根据平均数的意义，可得答案． 【详解】（1）最高分是分； （2）最低分是分； （3）10名同学的平均成绩是分． 【点睛】本题考查了正数和负数，利用正负数的意义超出的分数记为正数，不足的分数记为负数是解题关键． 2．下表是某班5名同学某次数学测试成绩，根据信息回答问题： 姓名 王芳 刘兵 张沂 李聪 江文 成绩 89 84 与全班平均分之差 (1)把表格补充完整； (2)若不低于平均分的成绩是合格，求5名同学的合格率? 【答案】(1)86，78，82， (2) 【分析】根据有理数加减法在实际问题中的应用，可知高于基准为正，低于基准为负，有张沂可知，平均分为 分，由此即可求出其他同学的成绩，由合格人数除以总人数乘以百分比即可求出答案． 【详解】（1）解：由表格中张沂的信息可得出，平均分为84分， ∴刘兵成绩：（分），李聪成绩：（分），江文成绩：（分），王芳成绩：， 故答案是：86，78，82，； （2）解：平均分为 分，合格有刘兵，张沂，王芳， ∴合格率是：， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查有理数的加减法的应用，以及合格率的计算，解题的关键的找出“基准”，且“高于基准为正，低于基准为负”． 3 .某食品厂从生产的袋装面粉中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：g） 0 1 3 6 袋数 1 4 3 4 5 3 (1)这批样品的平均质量比标准质量重还是轻？重或轻多少克？ (2)若标准质量为每袋，则这批样品的总质量是多少？若该厂袋装面粉的合格标准，这批样品的合格率是多少？ 【答案】(1)这批样品的平均质量比标准质量重，重克 (2)这批样品的总质量是4024克，这批样品的合格率是80% 【分析】本题主要考查正负数及有理数加法在实际生活中的应用，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义，熟练掌握运算法则．（1）根据样本的平均质量减去标准的质量，可得答案；（2）根据有理数的加法，可得答案；找到所给数值中，绝对值小于或等于3的食品的袋数占总袋数的多少即可． 【详解】（1）解：(克)； (克)． 答:这批样品的平均质量比标准质量重，重克． （2）由题意，得：(克)． 由题意可知，与标准质量相差g的有袋， 所以， 答:这批样品的总质量是4024克，这批样品的合格率是． 4．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，他从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向. (1)图中{______，______}， {______，______}： (2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的最短路程； (3)若图中另有两个格点M、N，且，，则应记为什么？直接写出你的答案． 【答案】(1)3，4；，0 (2)10 (3) 【分析】本题考查了正负数在网格线中的运动路线问题，数形结合，明确运动规则，是解题的关键． （1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负，分别写出各点的坐标即可； （2）分别根据各点的坐标计算总长即可； （3）将，对应的横纵坐标相减即可得出答案． 【详解】（1）解：图中， 故答案为：3，4；，0． （2）解：由已知可得：表示为，记为，记为， 则该甲虫走过的路程为：． （3）解：由，， 可知：，， ∴点A向右走4个格点，向上走3个格点到点N， ∴应记为． 5 .“十一”黄金周期间，某超市家电部大力促销，收银情况如下表，下表为当天与前一天的营业额的涨跌情况（上涨为正，下跌为负，单位：万元）．已知9月30日的营业额为26万元： 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 +4 +3 +2 0 ﹣1 ﹣3 ﹣5 （1）家电部黄金周内哪天收入最高，为多少万元？哪天收入最低，为多少万元？ （2）家电部黄金周内平均每天的营业额是多少万元？（精确到0.01万元） 【解答】解：（1）∵9月30日的营业额为26万元， ∴10月1日的营业额为26+4＝30万元， 10月2日营业额为30+3＝33万元， 10月3日营业额为33+2＝35万元， 10月4日营业额为35+0＝35万元， 10月5日营业额为35﹣1＝34万元， 10月6日营业额为34﹣3＝31万元， 10月7日营业额为31﹣5＝26万元， ∴10月7日最低，营业额为26万元；10月3日、4日为最高，营业额为35万元； （2）（30+33+35+35+34+31+26）÷7＝32.00（万元）， ∴家电部黄金周内平均每天的营业额是32.00万元． 6.观察下面各数列，研究它们各自的变化规律，并接着填出后面的两个数． （1）1，-1，1，-1，1，-1，1，-1， ， ； （2）2，-4，6，-8，10，-12，14，-16， ， ； （3）1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0， ， . 【答案】 1, -1; 18, -20; -1, 0. 【详解】(1) 在该数列中，1与-1交替出现，故后面的两个数分别为1，-1. (2) 该数列可以看作是先将正整数中的偶数从小到大逐个排列起来再从第二个数开始每隔一个数在原数前面添加负号而得到的. 根据这一规律，后面的两个数分别为：18，-20. (3) 该数列可以看作是以1，0，-1，0为一个基本单元并不断重复而得到的. 根据这一规律，后面的两个数分别为：-1，0. 7.观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出第10个数、第105个数、第2015个数吗？ (1)一列数：1，－2，3，－4，5，－6，______，______，______，…； (2)一列数：－1，，－3，，－5，，____，____，____，…. 【分析】(1)第n个数，当n为奇数时，此数为n；当n为偶数时，此数为－n；(2)第n个数，当n为奇数时，此数为－n；当n为偶数时，此数为. 【详解】(1)7，－8，9；第10个数为－10，第105个数是105，第2015个数是2015； (2)－7，，－9；第10个数为，第105个数是－105，第2015个数是－2015. 学科网（北京）股份有限公司 $$