重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

西南大学附属中学校2023-2024学年高一下学期期末考试 数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前考生务必把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2.若平面和直线a，b满足，，则a与b的位置关系是（ ） A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或异面 3.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则边（ ） A. B.或 C.或 D. 4.如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（ ） A. B. C. D. 5 5.已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 6.在中，，，.D为AB的中点，P为CD上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 7.下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点D、E、F分别为其所在棱的中点，能得出平面DEF的是（ ） A. B. C. D. 8.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，，，则（ ） A. 120° B. 135° C. 150° D. 165° 二、多选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若复数，为z的共轭复数，则以下正确的是（ ） A.z在复平面对应的点位于第二象限 B. C. D.为纯虚数 10.已知圆锥SO的底面半径，母线长，SA，SB是两条母线，P是SB的中点，则（ ） A.圆锥SO的体积为 B圆锥SO的侧面展开图的圆心角为 C.当为轴截面时，圆锥表面上点A到点P的最短距离为 D.面积的最大值为2 11.对非零向量，，定义运算“”：，其中为与的夹角，则（ ） A.若，则 B.若，，则 C.若中，，，，则 D.若中，，则是等腰三角形或有内角为135°的三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知平面向量，，若，则______. 13.如图，在四面体ABCD中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为90°，则四面体ABCD的外接球表面积为______. 14.费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点.具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于120°时，则使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.设点O为的费马点，且满足，则边a的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）如图，在直三棱柱中，，E为的中点，F为BC的中点. （1）证明：平面； （2）若，求异面直线AF与所成角的余弦值. 16.（15分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求A； （2）若，，设D为CA延长线上一点，且，求线段AD的长. 17.（15分）如图，在正四棱锥中；，点M，N分别满足，. （1）求证：； （2）求直线PC与平面BDM所成角的正弦值. 18.（17分）如图，已知三棱台的下底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，，平面平面. （1）证明：平面； （2）求点B到平面的距离； （3）若P为BC的中点，Q为的中点，点F在侧面内，且平面APQ，当的面积最小时，求平面ACF与平面夹角的余弦值. 19.（17分）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. （1）求C； （2）若，，求边AB上的角平分线CD长； （3）若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$高一数学答案 一、单项选择题：1-8 DDCCB ACA 二、多项选择题：9.BD10.BCDI1.ABD 三、填空题：12.-213.20m14.2√2 15.(①)取BC的中点G,连接FG,AG,F,G是BC,BC的中点， 则GFCG.又E为44的中点，则4BCG.所以GF4B. 则四边形GFEA为平行四边形.则AG∥EF 又EF丈平面ABC,AGc平面ABC,所以EF∥平面ABC, (2)取CC的中点2，连接2A,QF,F,2是BC,CC的中点，则FQ∥BC, 则∠QFA(或其补角)为异面直线AF与BC所成的角 △F0A中，AF=5,AQ=V5,F9=√2， 则cos∠AF0=2+F4-42_2+5-W5V而 2F2·FA 2x√2x5 10 所以异面直线AF和BC所成角的余弦值为 10 16.(I)解：因为2 acos A=ccosB+bcosC,由正弦定理可得2 sin Acos A=sinCcosB+sin BcosC, 2 则25加10as4=B+9=咖4，因为血40，所以cosA=分由于4(Q,网所以A 3 冈aMc中品京a即后品B则血B-g V62 sin A sin B 2 2 又b<a,所以B<A,即B<60°.所以B=45°.则C=180°-A-B=75° 在R△BCD中，D=90°-C=15,又smD=C即sn15°=6 CD CD' 所以0D=6.6 sin156-2 =6+25,所以AD=CD-4C=(6+2)-2=4+25 4 17.(1)在正四棱锥P-ABCD中，取BD,AB,BC中点分别为O,E,F, 以0为坐标原点，OE,OF,OP分别为x,y,z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系0-2. 则0(0,0,0)，P0,0,V2),B(1,10),C(-11,041,-1,0),D(-1,-1,0), 因为岩-器-uw作r号9入6u西-号-aa0 图为项而=03号0叶20-所以西1而，即w1D. a设平面0的个法筑为=丽-(220，丽-（号号9 BD,m=-2x-2y=0 z=0 3 取z=1,x=-V2,y=V2,得m=(-√2,2，又P元=(1，l,-2) 设直线PC与平面BDM所成角为9，所以sing=os<P元，m= 2×510 所以直线PC与平面BDM所成角的正弦值网 10 18.(I)在等腰梯形4ABB中，过A,B分别作AD⊥AB,BE⊥AB交AB于点D,E,连接AB, 则AD=BE=克，则直角△4E中，由85=克BA=1,则∠B-60, 又△ABB中，AB=2,BB=1, 则AB2=AB2+BB2-2AB·BB.cos B=3则AB=√5 8 所以AB2+BB2=AB2,即AB⊥BB, 又平面ABB,4⊥平面BCCB, 交线为BB,，ABC面ABBA B 所以AB⊥平面BCCB,则AB⊥BC 又AB⊥BC,所以平面BC⊥平面ABB,A (2)由(1)BC⊥平面ABB,4,又BCc平面ABC, 所以平面ABC⊥平面ABB,A,交线是AB, 又AD⊥AB,ADC面ABBA, 所以AD⊥平面ABC 以B为坐标原点，BC,BA分别为x,y轴正方向，过点B作AD的平行线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.则B000,40,2.0,C,00,40,9。 瓜=-05.7C=g-20,厨=020 22 设平面A4C的法向量为m=(x,y,z),则 m·AA=0 [y+z-0 m.AC=0' 即22 2x-2y=0 令y=√5，则m=(3,V5,),则求点B到平面4ACC4的距离d= BA.m 23221 7 (3)延长棱台的三条侧棱A4,BB,CC,相交于点S 取B,C的中点M,S2的中点N,延长NM交BB于点T. 由做台中给-分则兰一器-瓷片 SA SB-SC=2 即A,B,C为SA,SB,SC的中点.所以AN是△SA2的中位线， 则AN∥A2,则AN∥平面AP2, 由由棱台的性质，则AM∥AP,则AM∥平面AP,所以平面AMN∥平面AP2, 又AF∥平面AP2,所以点F在平面AMN内， 又点F在侧面BCCB内，所以点F在平面AMN与侧面BCCB,的交线上， 即点F在线段MT上.则易得当点F在点T处时，△BCF的面积最小， 以B为原点，BC,B丽为x,y轴正方向建立平面直角坐标系， S 则c20,c,02.s0,2N7.8@0,M 所以直线0N得方程为y=+分令=0，y方，所以FR, M 所以F为BB的中点在(2)所建立的空间直角坐标系下， 4@时9r0好9c-20.F-0-子9. n.4C= 「2x-2y=0 设平面ACF的法向量为n=(xy,z),则 c.AF=0 * 即7 4 z=0 4 令y=5,则n=(3,5,7),则cos<m,n> 1313V385 网阿 V7×55385 所以当△BCF的面积最小时，平面ACF与平面4C,4夹角的余弦值为13385 385 19.0)解：由题n4sn4sin2=l,即simA-sin4sinB=cosB-cosC cos2B-cos2C 因为cos2B=1-sin2B,cos2c=1-sin2C,带入可得sin2A--sinAsinB:=sin2C-sin2B, 又由正弦定理可得a2-ab=c2-b2,即a2+b2-c2=ab, 所以cosC=Q2+b2-c21 2b。艺，所以C=号 (2)c=√5，a+b=V6,c2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,可得ab=1, 8上的角平分线CD长为x,则△4BC的面积S=bsi加C=a+处 即a如写=o+x,即95，所以= 22 (3)延长AF交BC于点D,延长BF交AC于点E,设∠BCF=日，则∠ACF=T-日， 3 在直角△CFD中，DF=CFsin0=6sin0. 在ACEB中∠BCB-=号，∠B8C=号则∠BC 6 则在直角△BDF中，BF=2DF=12sin8,同理可得AF=2EF=12sin(5-), 5cF-A65-12mf-05-5s0+sa0..1-es9,5n94 -tan-+- BF 12sin0 2sin0 2'2 $$\theta \in \left( 0 ， \frac { \pi } { 3 } \right)$$ $$\frac { \pi } { 3 } \right) ，$$ $$\frac { \theta } { 2 } \in \left( 0 ， \frac { \pi } { 6 } \right) ， 且 \tan \frac { \theta } { 2 } \in \left( 0 ， \frac { \sqrt 3 } { 3 } \right)$$ $$\frac { \sqrt 3 } { 2 } \tan \frac { \theta } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \in \left( \frac { 1 } { 2 } ， 1 \right)$$