4.1.1n次方根与分数指数幂导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版（2019）数学必修第一册导学案 第四章 指数函数与对数函数 4.1.1　n次方根与分数指数幂 知识点一　n次方根的定义与性质 [答一答] 1.是根式吗？根式一定是无理式吗？ 2．正数a的n次方根一定有两个吗？ 知识点二　根式的定义与性质 定义 当有意义时，式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 (1)＝ (2)()n＝a (n∈N＋，且n>1) [答一答] 3．如何确定根式的符号？ 4.和()n二者之间形式相似，有何区别，它们分别等于什么？ 知识点三　分数指数幂 [答一答] 5．为什么分数指数幂的底数规定a>0? 知识点四　有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． [答一答] 6．同底数幂相除ar÷as，同次的指数相除分别等于什么？ 【典例剖析】 类型一　n次方根概念及相关的问题 [例1]　(1)有下列说法： ①＝3；②16的4次方根是±2；③＝±3；④＝|x＋y|.其中正确的有________(填上正确说法的序号)． (2)求下列各式的值： ① － －； ②＋； ③()5＋()6(b>a)． [变式训练1]　(1)化简＋的结果是(　　) A．1　 B．2a－1 C．1或2a－1 D．0 (2)若＝3a－1，求a的取值范围． 类型二　根式与分数指数幂的互化 [例2]　将下列根式化为分数指数幂的形式： (1)(a>0)； (2)(x≠0)； [变式训练2]　用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)： (1)·； (2)； (3)·； (4)()2·. 类型三　利用分数指数幂的运算性质化简求值 [例3]　计算： [变式训练3]　计算或化简下列各式(其中式子中的字母均为正数)． 【课堂小练】 1．下列各式正确的是(　　) A．()3＝a B．()4＝－7 C．()5＝|a| D.＝a 2．已知xy≠0，且＝－2xy，则有(　　) A．xy<0 B．xy>0 C．x>0，y>0 D．x<0，y<0 3．已知x<1，化简 ＝ . 4．计算： 5．已知a<b<0，n>1，n∈N*，化简＋. 【答案解析】 [答一答] 1.是根式吗？根式一定是无理式吗？ 提示：是根式．根式不一定是无理式．如是根式，但不是无理式，因为＝2是有理数． 2．正数a的n次方根一定有两个吗？ 提示：不一定．当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数，当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数． 3．如何确定根式的符号？ 提示：根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定．①当n为偶数时，a≥0，为非负实数；②当n为奇数时，的符号与a的符号一致，a>0时，>0；a＝0时，＝0；a<0时，<0. 4.和()n二者之间形式相似，有何区别，它们分别等于什么？ 提示：(1)()n是实数a的n次方根的n次幂．若n为奇数，存在唯一的x∈R，使x＝，满足xn＝a，即()n＝a； 若n为偶数，只有a≥0时，才有意义，在实数范围内使xn＝a成立的x有两个：(±)n＝a；而当a<0时，无意义． (2)是实数an的n次方根，当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|. 综上可知，①当n为奇数，a∈R时，有＝()n＝a； ②当n为偶数，a≥0时，有＝()n＝a. 5．为什么分数指数幂的底数规定a>0? 6．同底数幂相除ar÷as，同次的指数相除分别等于什么？ 提示：ar÷as＝ar－s；＝()r. 【典例探究】 类型一　n次方根概念及相关的问题 [例1]　(1)有下列说法： ①＝3； ②16的4次方根是±2； ③＝±3； ④＝|x＋y|. 其中正确的有________(填上正确说法的序号)． (2)求下列各式的值： ①－－； ②＋； ③()5＋()6(b>a)． [思路分析]　利用根式的性质化简各个根式，再进行运算． [解析]　(1)当n是奇数时，负数的n次方根是一个负数，故＝－3，所以①错误；16的4次方根有两个，为±2，②正确；＝3，所以③错误；是正数，所以＝|x＋y|，④正确．故填②④. (2)解：①原式＝－－ ＝－－＝. ②原式＝－8＋|3－π|＝－8＋π－3＝π－11. ③原式＝(a－b)＋(b－a)＝a－b＋b－a＝0. [答案]　(1)②④　(2)见解析 【方法归纳】 1．n(n>1)次方根的个数及符号的确定 (1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)符号：根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定： ①当n为偶数时，当a≥0，为非负实数，当a<0，无意义． ②当n为奇数时，的符号与a的符号一致． 2．根式化简与求值的思路及注意点 (1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简． (2)注意点： ①正确区分()n与两式． ②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论． [变式训练1]　(1)化简＋的结果是(　C　) A．1　　　　　　　　　　　 B．2a－1 C．1或2a－1 D．0 解析：＋＝a＋|1－a| ＝ (2)若＝3a－1，求a的取值范围． 解：因为＝ ＝|3a－1|＝3a－1， 所以3a－1≥0，所以a≥. 所以a的取值范围为. 类型二　根式与分数指数幂的互化 [例2]　将下列根式化为分数指数幂的形式： (1)(a>0)；(2)(x≠0)； [思路分析]　利用根式与分数指数幂的关系进行相互转化． [解]　(1)原式＝ 【方法归纳】 根式与分数指数幂是同一个问题的两种不同表示形式，但用分数指数幂表示运算时更方便.因此，在很多情况下，需要对根式与分数指数幂进行互化. 1分数指数幂与根式可以相互转化，其化简的依据是公式：a>0，m，n∈N*，且n>1. 2当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简. 3化简过程中要明确字母的取值范围，以免出错. [变式训练2]　用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)： (1)·；(2)； (3)·；(4)()2·. 类型三　　利用分数指数幂的运算性质化简求值 [例3]　计算： (4)(2a＋1)0＝ (5)－1＝－1＝－1＝－. 【方法归纳】 1．对于既含有分数指数幂，又含有根式的式子，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于计算．如果根式中的根指数不同，也应化成分数指数幂的形式． 2．对于计算题的结果，不要求统一用什么形式来表示，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数． [变式训练3]　计算或化简下列各式(其中式子中的字母均为正数)． 【课堂小练】 1．下列各式正确的是(　A　) A．()3＝a B．()4＝－7 C．()5＝|a| D.＝a 2．已知xy≠0，且＝－2xy，则有(　A　) A．xy<0 B．xy>0 C．x>0，y>0 D．x<0，y<0 解析：＝＝|2xy|＝－2xy，∴2xy<0，∴xy<0. 3．已知x<1，化简 ＝. 解析：∵x<1，∴原式＝＝＝. 4．计算： 解： 5．已知a<b<0，n>1，n∈N*，化简＋. 解：∵a<b<0，∴a－b<0，a＋b<0.当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a； 当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b| ＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a. ∴＋＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$