3.3幂函数导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版（2019）数学必修第一册导学案 第三章 函数的概念与性质 3．3　幂函数 知识点　　五类幂函数的性质 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇偶性 单调性 公共点 【题型探究】 类型一　幂函数的概念 [例1]　(1)下列函数：①y＝x3；②y＝x2＋2x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x.其中幂函数的个数为(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 【方法归纳】 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xαα为常数的形式，即：1系数为1；2指数为常数；3后面不加任何项.反之，若一个函数为幂函数，则该函数必具有这种形式. [变式训练1]　(1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　 　) a.　　　　　　　　　　 B．1 C. D．2 (2)已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，则m＝ ，n＝ . 类型二　幂函数的图象 [例2]　(1)如图是幂函数y＝xm、y＝xn与y＝x－1在第一象限内的图象，则(　　) A．－1<n<0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1 (2)函数y＝xα与y＝αx(α∈{－1,1，，2,3})的图象只可能是下面中的哪一个(　　) [思路分析]　(1)利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质，结合所给图象分析并判断大小关系． (2)逐个分析函数图象，也可给α分别取已知数值，研究两个函数在同一个坐标系的图象形状． [变式训练2]　幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个区域，分别标记为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝的图象经过的区域对应的序号有(　 　) A．④⑦　　　B．④⑧　　　C．③⑧　　　D．①⑤ 类型三　幂函数的性质应用 命题视角1：比较幂的大小 [例3]　比较下列各题中两个数的大小： 命题视角2：已知单调性求参数 [例4]　已知幂函数y＝，当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，求此幂函数的解析式． [思路分析]　先根据幂函数的定义求出m的值，然后根据该幂函数在(0，＋∞)上单调递减进行检验． 【答案解析】 【题型探究】 类型一　　幂函数的概念 [例1]　(1)下列函数：①y＝x3；②y＝x2＋2x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x.其中幂函数的个数为(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 [解析]　②为二次函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案]　B　 【方法归纳】 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xαα为常数的形式，即：1系数为1；2指数为常数；3后面不加任何项.反之，若一个函数为幂函数，则该函数必具有这种形式. [变式训练1]　(1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　C　) a.　　　　　　　　　　 B．1 C. D．2 解析：由幂函数定义知k＝1， 把代入y＝xα得α＝，∴k＋α＝.选C. (2)已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，则m＝－3或1，n＝. 解析：因为函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，由幂函数的定义得 解得m＝－3或1，n＝. 类型二　　　幂函数的图象 [例2]　(1)如图是幂函数y＝xm、y＝xn与y＝x－1在第一象限内的图象，则(　　) A．－1<n<0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1 (2)函数y＝xα与y＝αx(α∈{－1,1，，2,3})的图象只可能是下面中的哪一个(　　) [思路分析]　(1)利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质，结合所给图象分析并判断大小关系． (2)逐个分析函数图象，也可给α分别取已知数值，研究两个函数在同一个坐标系的图象形状． [解析]　(1)由题图可知，y＝xm在[0，＋∞)上是增函数，y＝xn在(0，＋∞)上为减函数，则m>0，n<0，当x>1时，y＝xm的图象在y＝x的下方，y＝xn的图象在y＝x－1的下方，则m<1，n<－1，综上可知，n<－1，0<m<1.故选B. (2)a中直线对应函数y＝x，曲线对应函数为y＝x－1,1≠－1，故a错；B中直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝，2≠，故B错；C中直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x2，当x＝2时，22＝2×2，故C对；D中直线对应函数为y＝－x，曲线对应函数为y＝x3，－1≠3.故D错． [答案]　(1)B　(2)C [变式训练2]　幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个区域，分别标记为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝的图象经过的区域对应的序号有(　D　) A．④⑦　　　B．④⑧　　　C．③⑧　　　D．①⑤ 解析：∵x－＝(－1)，当0<x<1时，x－<0，即x<<1， ∴幂函数y＝的图象经过区域①；当x>1时，x－>0，即x>>1，∴幂函数y＝的图象经过区域⑤. 类型三　　幂函数的性质应用 命题视角1：比较幂的大小 [例3]　比较下列各题中两个数的大小： [解]　(1)∵y＝为[0，＋∞)上的增函数， 且2.3<2.4，∴ (2)∵y＝x－1为(0，＋∞)上的减函数，且<， ∴()－1>()－1. 命题视角2：已知单调性求参数 [例4]　已知幂函数y＝，当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，求此幂函数的解析式． [思路分析]　先根据幂函数的定义求出m的值，然后根据该幂函数在(0，＋∞)上单调递减进行检验． [解]　∵y＝是幂函数，∴m2＋m－5＝1，即(m－2)(m＋3)＝0，∴m＝2或m＝－3. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小； 当m＝－3时，m2－2m－3＝12，y＝x12是幂函数，但不满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，故舍去． ∴y＝x－3(x≠0)． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版（2019）数学必修第一册导学案 第三章 函数的概念与性质 3．3　幂函数 知识点　　五类幂函数的性质 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇偶性 单调性 公共点 【题型探究】 类型一　幂函数的概念 [例1]　(1)下列函数：①y＝x3；②y＝x2＋2x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x.其中幂函数的个数为(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 【方法归纳】 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xαα为常数的形式，即：1系数为1；2指数为常数；3后面不加任何项.反之，若一个函数为幂函数，则该函数必具有这种形式. [变式训练1]　(1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　 　) a.　　　　　　　　　　 B．1 C. D．2 (2)已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，则m＝ ，n＝ . 类型二　幂函数的图象 [例2]　(1)如图是幂函数y＝xm、y＝xn与y＝x－1在第一象限内的图象，则(　　) A．－1<n<0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1 (2)函数y＝xα与y＝αx(α∈{－1,1，，2,3})的图象只可能是下面中的哪一个(　　) [思路分析]　(1)利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质，结合所给图象分析并判断大小关系． (2)逐个分析函数图象，也可给α分别取已知数值，研究两个函数在同一个坐标系的图象形状． [变式训练2]　幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个区域，分别标记为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝的图象经过的区域对应的序号有(　 　) A．④⑦　　　B．④⑧　　　C．③⑧　　　D．①⑤ 类型三　幂函数的性质应用 命题视角1：比较幂的大小 [例3]　比较下列各题中两个数的大小： 命题视角2：已知单调性求参数 [例4]　已知幂函数y＝，当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，求此幂函数的解析式． [思路分析]　先根据幂函数的定义求出m的值，然后根据该幂函数在(0，＋∞)上单调递减进行检验． 【答案解析】 【题型探究】 类型一　　幂函数的概念 [例1]　(1)下列函数：①y＝x3；②y＝x2＋2x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x.其中幂函数的个数为(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 [解析]　②为二次函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案]　B　 【方法归纳】 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xαα为常数的形式，即：1系数为1；2指数为常数；3后面不加任何项.反之，若一个函数为幂函数，则该函数必具有这种形式. [变式训练1]　(1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　C　) a.　　　　　　　　　　 B．1 C. D．2 解析：由幂函数定义知k＝1， 把代入y＝xα得α＝，∴k＋α＝.选C. (2)已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，则m＝－3或1，n＝. 解析：因为函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，由幂函数的定义得 解得m＝－3或1，n＝. 类型二　　　幂函数的图象 [例2]　(1)如图是幂函数y＝xm、y＝xn与y＝x－1在第一象限内的图象，则(　　) A．－1<n<0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1 (2)函数y＝xα与y＝αx(α∈{－1,1，，2,3})的图象只可能是下面中的哪一个(　　) [思路分析]　(1)利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质，结合所给图象分析并判断大小关系． (2)逐个分析函数图象，也可给α分别取已知数值，研究两个函数在同一个坐标系的图象形状． [解析]　(1)由题图可知，y＝xm在[0，＋∞)上是增函数，y＝xn在(0，＋∞)上为减函数，则m>0，n<0，当x>1时，y＝xm的图象在y＝x的下方，y＝xn的图象在y＝x－1的下方，则m<1，n<－1，综上可知，n<－1，0<m<1.故选B. (2)a中直线对应函数y＝x，曲线对应函数为y＝x－1,1≠－1，故a错；B中直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝，2≠，故B错；C中直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x2，当x＝2时，22＝2×2，故C对；D中直线对应函数为y＝－x，曲线对应函数为y＝x3，－1≠3.故D错． [答案]　(1)B　(2)C [变式训练2]　幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个区域，分别标记为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝的图象经过的区域对应的序号有(　D　) A．④⑦　　　B．④⑧　　　C．③⑧　　　D．①⑤ 解析：∵x－＝(－1)，当0<x<1时，x－<0，即x<<1， ∴幂函数y＝的图象经过区域①；当x>1时，x－>0，即x>>1，∴幂函数y＝的图象经过区域⑤. 类型三　　幂函数的性质应用 命题视角1：比较幂的大小 [例3]　比较下列各题中两个数的大小： [解]　(1)∵y＝为[0，＋∞)上的增函数， 且2.3<2.4，∴ (2)∵y＝x－1为(0，＋∞)上的减函数，且<， ∴()－1>()－1. 命题视角2：已知单调性求参数 [例4]　已知幂函数y＝，当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，求此幂函数的解析式． [思路分析]　先根据幂函数的定义求出m的值，然后根据该幂函数在(0，＋∞)上单调递减进行检验． [解]　∵y＝是幂函数，∴m2＋m－5＝1，即(m－2)(m＋3)＝0，∴m＝2或m＝－3. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小； 当m＝－3时，m2－2m－3＝12，y＝x12是幂函数，但不满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，故舍去． ∴y＝x－3(x≠0)． 学科网（北京）股份有限公司 $$