章末检测卷（第二章 一元二次函数、方程和不等式）-2024-2025学年高一数学上学期同步测试卷（单元+周测+月考+专项+期中+期末）》（人教A版2019）

章末检测卷（第二章一元二次函数、方程和不等式） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，则 A. B. C. D. 2.不等式的解集为(    ) A. B. 或 C. 或 D. 3.设a，b是两个实数，且，有如下三个式子： ①，②，③其中恒成立的有(    ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4.设，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 或 5.已知实数a，b满足，，且，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 6.若不等式的解集为R，则实数a的取值范围是 A. B. C. 或 D. 或 7.已知正实数a，b，c满足，，则的最小值是(    ) A. 10 B. 9 C. D. 8.设正实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数m的最大值为(    ) A. B. C. 8 D. 16 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列四个不等式中，解集为的是(    ) A. B. C. D. 10.已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是(    ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 11.已知a，b，，，若方程的两个根是，，则的值可以是(    ) A. 1 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.的解集为__________. 13.已知关于x的不等式在R上有解，则实数a的取值范围是__________. 14.已知，，，，则的最小值是__________.当取最小值时，恒成立，则m的取值范围是__________第一空2分，第二空3分 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知关于x的不等式 若不等式的解集为，求实数k的值; 若不等式的解集为R，求实数k的取值范围. 16.本小题15分 已知， 求证： 若，求ab的最小值. 17.本小题15分 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可近似地表示为 ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. 该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 该单位每月能否获利?如果获利，求出最大利润;如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损? 18.本小题17分 已知函数， 若，当时，求的最小值; 求关于x的不等式的解集; 当时，不等式的解集中包含两个整数，求a的取值范围. 19.本小题17分 已知关于x的不等式，其中 当k变化时，试求不等式的解集 对于不等式的解集A，若满足其中Z为整数集试探究集合B能否为有限集?若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合若不能，请说明理由. 第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 章末检测卷（第二章一元二次函数、方程和不等式） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，则 A. B. C. D. 2.不等式的解集为(    ) A. B. 或 C. 或 D. 3.设a，b是两个实数，且，有如下三个式子： ①，②，③其中恒成立的有(    ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4.设，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 或 5.已知实数a，b满足，，且，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 6.若不等式的解集为R，则实数a的取值范围是 A. B. C. 或 D. 或 7.已知正实数a，b，c满足，，则的最小值是(    ) A. 10 B. 9 C. D. 8.设正实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数m的最大值为(    ) A. B. C. 8 D. 16 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列四个不等式中，解集为的是(    ) A. B. C. D. 10.已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是(    ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 11.已知a，b，，，若方程的两个根是，，则的值可以是(    ) A. 1 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.的解集为__________. 13.已知关于x的不等式在R上有解，则实数a的取值范围是__________. 14.已知，，，，则的最小值是__________.当取最小值时，恒成立，则m的取值范围是__________第一空2分，第二空3分 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知关于x的不等式 若不等式的解集为，求实数k的值; 若不等式的解集为R，求实数k的取值范围. 16.本小题15分 已知， 求证： 若，求ab的最小值. 17.本小题15分 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可近似地表示为 ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. 该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 该单位每月能否获利?如果获利，求出最大利润;如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损? 18.本小题17分 已知函数， 若，当时，求的最小值; 求关于x的不等式的解集; 当时，不等式的解集中包含两个整数，求a的取值范围. 19.本小题17分 已知关于x的不等式，其中 当k变化时，试求不等式的解集 对于不等式的解集A，若满足其中Z为整数集试探究集合B能否为有限集?若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合若不能，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】【分析】 本题考察利用不等式的基本性质判断不等关系，属于基础题. 结合不等式基本性质，逐个选项判断即可. 【解答】 解：，，，， ，故选 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考察一元二次不等式解法，属于基础题. 解一元二次不等式即可. 【解答】 解：不等式可化为，即，解得或故所求不等式的解集为或故选 3.【答案】B  【解析】【分析】 本题考察利用作差法比较大小和基本不等式辨析，属于基础题. ①②利用作差法求解，③利用基本不等式辨析即可. 【解答】 解：① 不 恒成立;②恒成立;③不恒成立.故选 4.【答案】A  【解析】【分析】 本题考察一元二次不等式的求解以及充分不必要条件的应用，属于基础题. 先解不等式，再根据条件可得关于a的不等式组，进而求解. 【解答】解：由，得 因为p是q的充分不必要条件，所以，且，解得 故选 5.【答案】A  【解析】【分析】 本题考察利用基本不等式求最值，属于基础题. ，进而利用基本不等式即可. 【解答】 解：因为，，且，则 ，当且仅当， 即，时取等号，故选 6.【答案】B  【解析】【分析】 本题考察一元二次不等式恒成立问题，属于基础题. 分二次项系数为0和不为0讨论即可. 【解答】 解：不等式的解集为R，当，即 时，不等式为恒成立， 故符合题意; 当，即时，不等式的解集为R，则解得 综上可得，实数a的取值范围是故选 7.【答案】B  【解析】【分析】 本题考察利用基本不等式求最值，属于基础题. 结合基本不等式求解即可. 【解答】 解：，，，，当且仅当时取等号，则，当且仅当，，时取等号，故的最小值为 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题考察利用基本不等式解决恒成立问题，属于基础题. 利用换元法转化为可用基本不等式求解的形式. 【解答】 解：设，，则，， 所以 当且仅当，即，时取等号，故故选 9.【答案】BD  【解析】【分析】 本题考察一元二次不等式，二次函数性质，以及基本不等式，属于基础题. AB项利用二次函数性质判断即可，C配方可判断，D利用基本不等式求解即可. 【解答】 解： A选项，的图象开口向下，所以的解集不可能为 B选项，，而的图象开口向上，所以解集为 C选项，的解集为，所以不为 D选项，，当且仅当 时，等号成立，而的图象开口向下，所以的解集为故选 10.【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考察一元二次不等式的求解，属于基础题. 结合图像求解即可. 【解答】 解：设，其图象开口向上，对称轴是直线，结合原不等式解集的情况得到函数的大致图象如图所示. 因为关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数， 所以解得 又，故a的值可以是6，7，故选 11.【答案】CD  【解析】【分析】 本题考察一元二次方程根与系数的关系以及利用基本不等式求最值，属于中档题. 由题意，，再利用基本不等式求解即可. 【解答】 解：由的两个实根是，，得，， ， 又，，即，当且仅当时，等号成立. 可能值为C，D两项.故选 12.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查分式不等式，属于基础题. 利用移项，通分，转化整式不等式求解即可. 【解答】 解：由  ，可得  ，即  ， 所以  ， 解得  ， 所以原不等式的解集为  . 故答案为：  . 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考察一元二次不等式存在性问题，属于基础题. 求出的最大值，进而解不等式即可. 【解答】 解：因为关于x的不等式在R上有解，的最大值为4，所以，解得 14.【答案】1 或   【解析】【分析】 解：因为，所以，当且仅当，即时，等号成立. 当时，，，所以当时，取得最大值4，所以由恒成立可得，解得或， 故m的取值范围是或 【解答】 本题考察利用基本不等式求最值以及一元二次不等式恒成立问题，属于中档题. 第一空利用基本不等式求解即可；第二空先求出二次函数的最大值，进而求解即可. 15.【答案】解：因为关于x的不等式的解集为， 所以，和1是方程的两个实数根. 由一元二次方程根与系数的关系可得， 解得 因为关于x的不等式的解集为R，则或解得或故实数k的取值范围为  【解析】本题考察一元二次方程根与系数的关系以及一元二次不等式恒成立问题，属于基础题. 利用根与系数关系求解即可； 对k分类讨论求解即可. 16.【答案】解：【证明】 ， ，， ，即， ，， 当且仅当时取等号，故ab的最 小值为  【解析】本题考察作差法比较大小以及利用基本不等式求最值，属于基础题. 作差配方证明即可； 结合基本不等式求最值即可. 17.【答案】解：由题意可知，月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可近似地表示为， 所以每吨二氧化碳的平均处理成本为， 由基本不等式可得元，当且仅当，即当时，等号成立， 因此，该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 每月利润，， 当时，Y取得最大值 所以该单位每月不能获利，国家至少需要补贴40000元才能使该单位不亏损.  【解析】本题考察利用基本不等式解决实际问题以及利用二次函数模型解决实际问题，属于中档题. 每吨二氧化碳的平均处理成本为，进而利用基本不等式求解即可； 每月利润，利用二次函数求最值即可. 18.【答案】解：当时， ， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为 由题知， 当，即时，解原不等式得或， 当，即时，解原不等式得或， 当，即时，解原不等式得 综上，当时，原不等式解集为或 当时，原不等式解集为或 当时，原不等式解集为 当时，不等式的解为 若解集中包含两个整数，则， 即故a的取值范围是  【解析】本题考察利用基本不等式求最值以及一元二次不等式的求解，属于中档题. 结合基本不等式，对z变形求最值即可； 对a分类讨论即可； 时，不等式的解为，进而求解. 19.【答案】解：当时， 当时，不等式化为， 而，当且仅当时取等号， 故当时，或 当时，不等式化为，而， 故综上，当时，或 当时， 当时， 由知，当时，集合B中元素的个数无限; 当时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集. 因为，当且仅当时取等号， 所以当时，集合B中的元素个数最少. 此时  【解析】本题考察一元二次不等式的求解，属于中档题. 对k分类讨论求解即可； 分和讨论. 第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$