广东省汕尾市2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题

汕尾市 2023—2024 学年度第二学期高中一年级教学质量监测 数 学 本试题共 4 页, 考试时间 120 分钟, 满分 150 分 注意事项: 1. 答题前, 考生先将自己的信息填写清楚、准确, 将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。 2. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效。 3. 答题时请按要求用笔, 保持卡面清洁, 不要折叠, 不要弄破、弄皱, 不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。考试结束后，请将本试题及答题卡交回。 一、单选题: 本题包括 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 2. 已知复数 ,则 A. B. C. 1 D. -1 3. 若高为 的圆锥的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的母线长为 A. B. C. 2 D. 4 4. 若 ,则 A. -1 B. 2 C. D. 4 5. 已知 是两条直线, 是两个平面,下列命题正确的是 A. 若 ,则 B. 若 ,则 是异面直线 C. 若 ,则 D. 若 ,则 6. 已知向量 ,则向量 在向量 上的投影向量为 A. B. C. D. 7. 已知在四棱锥 中, 平面 ,底面 是边长为 4 的正方形,直线 与平面 所成角的正弦值为 ,则该四棱锥的外接球的表面积为 A. B. C. D. 8. 在 中, ,点 为 的垂心,且满足 , 则 A. B. -1 C. D. 二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。 9. 已知 的最小正周期为 ,则 A. B. 函数 的图象关于直线 对称 C. 函数 在区间 上单调递增 D. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称 10. 下列命题正确的有 A. 若 ,则 互为共轭复数 B. 在矩形 中, C. 已知点 在 所在的平面内,且 ,则点 是 的垂心 D. 若 是面积为 4 的 内部的一点,且 ,则 的面积为 1 11. 如图, 是棱长为 2 的正方体 的表面上一个动点, 是棱 的中点, 则 A. 存在点 使得 B. 若点 满足 ,则动点 的轨迹长度为 C. 若点 满足 平面 ,则动点 的轨迹是正六边形 D. 当点 在侧面 上运动,且满足 时,则二面角 的最大值为 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。 12. . 13. 若复数 的模为 5,虚部为 4,则复数 . 14. 已知在 中, ,则 的最大值为 . 四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13 分) 已知向量 . (1) 证明: . (2) 求 与 的夹角. 16. (15 分) 如图,在四棱锥 中, 是 的中点. (1) 证明: 平面 . (2) 若 平面 ,求三棱锥 的体积. 17. (15 分) 记 的内角 所对的边分别为 ,且 . (1) 求 . (2) 设 ,若 是边 上一点, ,且 ,求 的值. 18. (17 分) 在四棱锥 中, 平面 , 分别为 的中点, . (1) 证明: 平面 平面 . (2) 求二面角 的大小. 19. (17 分) 设 是定义在区间 上的函数,若对任意的 ,有 , 则称 为区间 上的下凸函数; 若对任意的 ,有 , 则称 为区间 上的上凸函数. 反之也成立. (1) 已知函数 ,求证: (i) . (ii) 函数 为下凸函数. (参考公式: ) (2) 已知函数 ,其中 ,且函数 在区间 内为上凸函数, 求实数 的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$山尾市2023-2024学年度第二学期高中一年级教学质量监测 答案及评分标准(参考)数学 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。 题号 C. 答案 D D 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。全部选对的得6分,部分选对 的得部分分,有选错的得0分 题号 10 /7 答案 AC BCD AC 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.-113.3+4i 14.24+163 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) (1)证明:因为a=(1,3),b=(-1,0), 所以a+b=(1-1,3+0)=(0,③), ......................... 所以(a+b)·b=0x(-1)+/3x0=0. .............................. 所以(a+b)Ib. (2)解:因为a=(1,3),b=(-1,0), 所以1aI=1+(3)=2,1b1=(-1)+0=1. .................. 又a·..1..-..为.....-1............................ 10分 ab -1 所以cos(a,b)= Tab=2x1 2 又(a,b)=[0,n], ...........................分 16.(15分) (1)证明:如图,取PA的中点F,连接EF,BF 因为E是PD的中点, .....................2分 高一·数学 答案及评分标准(参考) 第1页(共4页) 所以EFBC. 所以四边形EFBC是平行四边形, ..........分 所以CE//BF (用面面平行证明要两个线面平行,各2分) 因为CEC平面PAB,BFC平面PAB. .........................................分 所以CE//平面PAB (2)解:由(1)可知EF/AD. 又AD1平面PAB 所以EF1平面PAB,即EF是三校锥E-PAB的高. ............ ............分 .........1.... 3: 故三校锥E-PAB的休积为23 ........5分 3 17.(15分) 解:(1)因为2bcosC=2a+c. 即2sin Bcos C=2sin( B+C)+sin C =2sin Bcos C+2cos Bsin C+sin C, ....... 3分 所以2cos Bsin C=-sin C. 因为Ce(0,π),所以sinC≠0. 3: .................... (2)如图所示,因为2AM=MC,b=9 所以AV=3,MC=6 .......................... ................分 又乙MAB= MBA,所以BM=AM=3. 在△ABC中,由余弦定理得,b=a^{}+c}-2accosB$$ 即................................................................... 10分 因为2AM=MC,所以AM-1Ac, 所以BM=BA+AM=BA+A=BA+(B-BA)-2BA+B ............ 两边平方得BM-4C^4B·BC 4 +4accosB. .............................................分 所以.-....-.2......②.............................................. 1.分 高一·数学 答案及评分标准(参考) 第2页(共4页) ②-①得3c^②}=3ac,所以a=c, ...........4分 代人①解得a=c=33(负值已舍去) ..................................15分 18.(17分) (1)证明:因为PA1平面ABCD,CDC平面ABCD 所以CDIPA. 因为乙ACD=90*,所以CD1AC. ........... 在△PCD中,因为E,F分别为PD,PC的中点,所以EF/DC, 所以 EF1PA, EF1AC. 因为PAOAC=A. 所以EF1平面PAC 因为EFC平面AEF. 所以平面PAC1平面AEF. (2)解:如图,取AD的中点M,连接EM,则EM//PA,取AC的中点H,连接EH,MH. 则MH/CD. ............. 由EM/PA,PA1平面ABCD,可得EM1平面ABCD,..9分 由MH//CD.CD1AC. 可得MH1AC. .......... 因为MHI是斜线EH在平面ABCD上的射影, 所以AC1EH. .........................1.. (证出AC1平面EMH,同样给2分) 所以之EHM是二面角E-AC-D的平面角, .........13分 所以二面角E-AC-B的平面角与乙EHM互补 在△ACD中,设AC=2x,由乙ACD=90*,乙ADC=30*. 可得CD=23x,所以MH-/③x 因为 ABC=90$, ACB=30*,所以 $PA=2 /AB=AC=2x$$ 在直角三角形EHM中. 所以 EHM=30o. .................................................. 6分 即二面角E-AC-B的大小为150 ......................-... 19.(17分) (1)证明:(i)因为sinx=2sin 2 1-cosx2sin2. 2 高一,数学 答案及评分标准(参考) 第3页(共4页) 1-cosx ..................................分 tan x.tanx。 cosx cos x2 sin x.cos x+sin x cos x1 sin(x,+x) = sinxsinx? sin x. sin x2 sin x. sin x2 .................................4分 2sin(x.+x) 2sin(x.+x) #cos(七_)-+o(×+)>-1-co(+) .........分 ....................分 #)()() 所以 即函数/(x)为下凸函数 ................ (2)解:因为函数g(x)在区间(0,1)内为上凸函数, 恒成立. ............. 2 因为g(x)+g(x)-28({2) .........分 -{() ..........1.. (x.+x2)2 a(x2+x2}-2xx) 2 (x.+x)” 对+(+)} a(x-x)}(x.-x)(3x.+x)(x2-x.)(3x+x) (x:+2)} (+)2} ......................... ..分 (x.-x)2(x-x)2(}+4xx+) 2. (×:+x)2} a(-x)2(x.-x)2(x)+4xx+) 所以 2 <0. .......................................... #(x+x)2} 13分 ...14分 因为0<x.<x<1.所以xxE(0.1).x.+xE(0.2).(x+x)E(0.4). , “22} 2 2 3 一>1+ ...................................................... 16分 所以a<3. 又a>0, 所以实数a的取值范围为(0,3] 高一·数学 答案及评分标准(参考) 第4页(共4页)