第15章 分式 培优题突破练习★★★【10个考点50题专练】—【冲刺满分】课件2024-2025学年人教版数学八年级上册

第15章 分式 培优题突破练习★★★ 【10个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年 人教版数学八年级上册 1 一．分式有意义的条件 二．分式的值 三．最简公分母 四．分式的加减法 五．分式的混合运算 六．分式的化简求值 七．分式方程的解 八．解分式方程 九．由实际问题抽象出分式方程 一十．分式方程的应用 2 一．分式有意义的条件 3 1.若分式 有意义，则实数x的取值范围是 _____ ． 【解析】解：∵分式 有意义， ∴x-4≠0， ∴x≠4， 故答案为：x≠4． x≠4 4 二．分式的值 5 2.已知3a-b=0(b≠0)，则分式 的值为 ____ ． 【解析】解：∵3a-b=0 ∴3a=b,将3a=b代入分式 ，得到 = =3 故答案为：3． 3 6 三．最简公分母 7 3.分式 ， 的最简公分母是 _______________ ． 【解析】解： ， ∴最简公分母为：(m+2)(m-2)， 故答案为：(m+2)(m-2)． (m+2)(m-2) 8 四．分式的加减法 9 4.已知a、b为实数且满足a≠-1，b≠-1，设 ， ，则下列两个结论( ____ ) ①ab=1时，M=N，ab＞1时，M＞N；ab＜1时，M＜N．②若a+b=0，则M•N≤0． A.①②都对 B.①对②错 C.①错②对 D.①②都错 C 10 【解析】解：∵ ， ， ∴M-N= -( )， = ， = ， = ， ①当ab=1时，M-N=0， ∴M=N， 11 当ab＞1时， ∴2ab＞2， ∴2ab-2＞0， 当a＜0时，b＜0，(a+1)(b+1)＞0或(a+1)(b+1)＜0， ∴M-N＞0或M-N＜0， ∴M＞N或M＜N； 当ab＜1时，ab可能同号，也可能异号， ∴(a+1)(b+1)＞0或(a+1)(b+1)＜0， ∵2ab-a＜0， ∴M＞N或M＜N； ∴①不正确； 12 ②M•N=( )•( ) = + + ， ∵a+b=0 ∴原式= = = 13 ∵a≠-1，b≠-1，∴(a+1)2(b+1)2＞0， ∵a+b=0 ∴ab≤0，M•N≤0． ∴②对． 故选：C． 14 5.设x＜0，x- = ，则代数式 的值( ____ ) A.1 B. C. D. 【解析】解：∵x- = ， B 15 ∴(x )2=5， ∴x2+ =7， ∴(x+ )2=x2+2+ =9， ∵x＜0， ∴x+ =-3， ∴x2+1=-3x, ∴x4+1=7x2， 16 ∵(x2+ )2=x4+2+ ， ∴x4+ =47， ∴x8+1=47x4， ∵x3+ =(x+ )(x2-1+ )， ∴x3+ =-18， ∴x6+1=-18x3， ∴原式= 17 = = = = 故选：B． 18 6.自然数a,b,c,d满足 =1，则 等于( ____ ) A. B. C. D. D 19 【解析】解： =1，只有a、b、c、d自然数都相等的时候，等式才成立，即：a=b=c=d=2； 将a、b、c、d结果代入 = ． 故选：D． 20 7.化简： = ________ ． 【解析】解： = = =2(a+2b) =2a+4b. 故答案为：2a+4b. 2a+4b 21 8.已知 - =2，则 的值为 　　． 【解析】解：∵ - =2， ∴a-2b=2ab. ∴原式= = = 22 = =- ． 故答案为： ． 23 9.(1)已知b＞a＞0，分式 的分子分母都加上1，说明所得分式 的值是增大了还是减少了？ (2)甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克，(m,n是正数，且m≠n)；甲每次购买800千克；乙每次用去800元，而不管购买多少饲料． ①甲、乙所购饲料的平均单价是多少元？ ②谁的购买方式平均单价较低？ 【解析】解：(1) - 24 = - = ， ∵b＞a＞0， ∴b2+b＞0，a-b＜0， ∴ ＜0， ∴说明所得分式 的值是增大了； (2)①甲所购饲料的平均单价是： = (元/千克)； 25 乙所购饲料的平均单价是： = (元/千克)； ② - = - = ， ∵m,n是正数，且m≠n, 26 ∴ ＞0， ∴ ＞ ， ∴乙所购饲料的平均单价低． 27 五．分式的混合运算 28 10.计算 的结果是 　　． 【解析】解： = ÷ = • = ，故答案为： ． 29 六．分式的化简求值 30 11.已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则 的值为( ____ ) A.-1 B. C.2 D. 【解析】解：由a+b+c=2，两边平方， 得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4， D 31 将已知代入，得ab+bc+ac= ； 由a+b+c=2得：c-1=1-a-b, ∴ab+c-1=ab+1-a-b=(a-1)(b-1)， 同理，得bc+a-1=(b-1)(c-1)， ca+b-1=(c-1)(a-1)， ∴原式= + + = = 32 = = =- ． 故选：D． 33 12.已知实数a,b,c满足a+b+c=0，abc=6，那么 + + 的值( ____ ) A.是正数 B.是零 C.是负数 D.正、负不能确定 【解析】解：∵abc=6， ∴ + + = C 34 = ， ∵bc+ac+ab= [(a+b+c)2-(a2+b2+c2)]，a+b+c=0， ∴bc+ac+ab=- (a2+b2+c2)， ∵a、b、c均不为0， ∴bc+ac+ab＜0， ∴ ＜0， 即 + + 的值是负数， 故选：C． 35 13.若a+ = ，则a- = ____ ． 【解析】解：(a+ )2=a2+2+ =( )2， 即a2+ =3， (a- )2=a2-2+ =3-2=1． 即a- =±1． ±1 36 14.先化简，再求值： ÷(m-1- )，其中m是方程 + =1的解． 【解析】解：原式= ÷ = • = ， 已知方程去分母得：m2+2m-2=m2-m, 解得：m= ，则原式=-3． 37 15.已知(x+a)(x+b)=x2+mx+n. (1)若a=-3，b=2，则m= ____ ，n= ____ ； (2)若m=-2， ，求 的值； (3)若n=-1，当 =0时，求m的值． 【解析】解：(1)将a=-3，b=2代入(x+a)(x+b)得： (x+a)(x+b)=(x-3)(x+2)=x2-x-6=x2+mx+n, ∴m=-1，n=-6． 故答案为：-1，-6． (2)∵(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2+mx+n. -1 -6 38 ∴ ， ∴ + = = = =-4． (3)∵a+b=m,ab=n=-1， ∴( + )+4(a+b)-16=0， +4m-16=0， 4[(a+b)2-2ab]+4m-16=0， 4(m2+2)+4m-16=0 39 ∴4m2+4m-8=0， (m+2)(m-1)=0， m1=-2，m2=1． 40 16.先化简 - ÷ ，然后给a选择一个你喜欢的数代入求值． 【解析】解：原式= - •a = - =- ， 当a=2时，原式=-1． 41 17.(1)分解因式ax2-8ax+16a； (2)先化简，再求值： ，其中x=4． 【解析】解：(1)原式=a(x2-8x+16) =a(x-4)2； (2)原式= • = • = ．当x=4时，原式= = ． 42 七．分式方程的解 43 18.已知方程 -a= ，且关于x的不等式组 只有4个整数解，那么b的取值范围是( ____ ) A.-1＜b≤3 B.2＜b≤3 C.8≤b＜9 D.3≤b＜4 【解析】解：分式方程去分母得：3-a-a2+4a=-1，即(a-4)(a+1)=0， 解得：a=4或a=-1， 经检验a=4是增根，故分式方程的解为a=-1， D 44 已知不等式组解得：-1＜x≤b, ∵不等式组只有4个整数解， ∴3≤b＜4． 故选：D． 45 19.如果关于x的不等式组 有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程 - =1有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是( ____ ) A.13 B.15 C.20 D.22 B 46 【解析】解：原不等式组的解集为- ＜x≤ ， 因为不等式组有且仅有四个整数解， 所以0≤ ＜1， 解得2≤m＜7． 原分式方程的解为y= ， 因为分式方程有非负数解， 所以 ≥0，解得m＞1，且m≠5，因为m=5时y=2是原分式方程的增根． 47 所以符合条件的所有整数m的和是2+3+4+6=15． 故选：B． 48 20.已知关于x的方程 + = 恰有一个实根，则满足条件的实数a的值的个数为( ____ ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】解：去分母，将原方程两边同乘x(x-2)，整理得2x2-3x+(4-a)=0．① 方程①的根的情况有两种： C 49 (1)方程①有两个相等的实数根，即△=9-4×2(4-a)=0． 解得a= ． 当a= 时，解方程2x2-3x+(4- )=0，得x1=x2= ． (2)方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2． (i)当x=0时，代入①式得4-a=0，即a=4． 当a=4时，解方程2x2-3x=0，x(2x-3)=0，x1=0或x2=1.5． 而x1=0是增根，即这时方程①的另一个根是x=1.5．它不使分母为零，确是原方程的唯一根． (ii)当x=2时，代入①式，得2×4-2×3+(4-a)=0，即a=6． 50 当a=6时，解方程2x2-3x-2=0，x1=2，x2=- ． x1是增根，故x=- 为方程的唯一实根； 因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是 ，4，6共3个． 故选：C． 51 21.已知关于x的一元一次不等式组 的解集为x＞2，且关于y的分式方程 的解为正整数，则所有满足条件的所有整数a的和为( ____ ) A.2 B.5 C.6 D.9 C 52 【解析】解：∵不等式组 的解集为x＞2， ∴a-2≤2． ∴a≤4． 关于y的分式方程 =1- 的解为y= ． ∵y=3是原分式方程的增根， ∴ ≠3． ∴a≠3． ∵关于y的分式方程 =1- 的解为正整数， 53 ∴ 为正整数． ∴a=2，4，7． ∵a≤4， ∴a=2，4． ∴所有满足条件的所有整数a的和为：2+4=6． 故选：C． 54 22.若实数m使关于x的不等式组 有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程 =2有整数解，则满足条件的整数m有( ____ ) 个 A.5 B.4 C.3 D.2 C 55 【解析】解： ， 解不等式①得：x≥-1， ∴-1≤x＜ ， ∵不等式组有解且至多3个整数解， ∴-1＜ ≤2， ∴-3＜m≤6， 分式方程两边都乘以(x-1)得：mx-2-3=2(x-1)， 56 ∴x= ， ∵x-1≠0， ∴x≠1， ∴ ≠1， ∴m≠5， ∵方程有整数解， ∴m-2=±1，±3， 解得：m=3，1，5，-1， ∵m≠5，-3＜m≤6， ∴m=3，1，-1，故选：C． 57 23.关于x的不等式组 的解集为x≤a,且关于y的分式方程 有的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和为( ____ ) A.3 B.4 C.7 D.8 C 58 【解析】解：解不等式组得 ， ∵不等式组的解集为x≤a, ∴a≤5， 原分式方程可化为： + =1， 解得y= ， ∵分式方程的解为正整数， 59 ∴ ， 解得a＞-3，a≠1， ∴a的取值范围：-3＜a≤5，且a≠1， ∵分式方程的解为正整数， ∴3+a=2或3+a=4或3+a=6或3+a=8， 解得a=-1，a=1，a=3，a=5， ∵a≠1， ∴所有满足条件的整数a的和为：7．故选：C． 60 24.若关于x的分式方程 无解，则m的值为( ____ ) A.-3或- B.- 或- C.-3或- 或- D.-3或- 【解析】解：当(x+3)(x-3)=0时，x1=3或x2=-3， 原分式方程可化为： =1- C 61 ， 去分母，得x(x+3)=(x+3)(x-3)-(mx-2)， 整理得(3+m)x=-7， ∵分式方程无解， ∴3+m=0， ∴m=-3， 把x1=3或x2=-3，分别代入(3+m)x=-7， 得m=- 或m=- ， 综上所述：m的值为m=- 或m=- 或m=-3， 故选：C． 62 25.若数a使关于x的不等式组 恰有3个整数解，且使关于y的分式方程 + =3的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为( ____ ) A.2 B.5 C.7 D.10 【解析】解：解3-2x≥a-2(3x-1)得3-2x≥a-6x+2． B 63 ∴x≥ ． 解2-x≥ 得4-2x≥1-x. ∴x≤3． ∵数a使关于x的不等式组 恰有3个整数解， ∴0＜ ≤1． ∴1＜a≤5． ∵ + =3， 64 ∴2-a=3(y-1)． ∴y= ． ∵关于y的分式方程 + =3的解为整数， ∴ 是整数且 ． 若a为整数，则a可能取值为5． 故选：B． 65 26.若整数a使关于x的不等式组 有且只有两个整数解，且关于y的分式方程 - =-2的解为正数，则满足上述条件的a的和为( ____ ) A.3 B.4 C.5 D.6 C 66 【解析】解： ， 解不等式①得：x≤2， 解不等式②得：x≥ ， ∴不等式组的解集为 ≤x≤2， ∵不等式组有且只有两个整数解， ∴0＜ ≤1， ∴-2＜a≤3； 67 分式方程两边都乘以(y-1)得：1-3y+2a=-2(y-1)， 解得：y=2a-1， ∵分式方程的解为正数， ∴2a-1＞0， ∴a＞ ； ∵y-1≠0， ∴y≠1， ∴2a-1≠1， ∴a≠1， ∴ ＜a≤3，且a≠1， 68 ∵a是整数， ∴a=2或3， ∴2+3=5， 故选：C． 69 27.若数a使关于x的不等式组 至少有五个整数解，关于y的分式方程 - =2有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是( ____ ) A.15 B.14 C.8 D.7 D 70 【解析】解： 解不等式①，得：x≤11， 解不等式②，得x＞a, ∵不等式组至少有五个整数解， ∴a＜7； ， a-3+2=2(y-1)， a-1=2y-2， 71 2y=a+1， y= ， ∵y-1≠0， ∴y≠1， ∴ ≠1， ∴a≠1， ∵y≥0， ∴ ≥0， ∴a≥-1， 72 ∴-1≤a＜7，且a≠1，a为整数， 又∵ 为整数， ∴a可以取-1，3，5， ∴所有整数a之和为：-1+3+5=7． 故选：D． 73 28.已知关于x的一元一次不等式组 的解集为x＞2，且关于y的分式方程 =1- 的解为正整数，则所有满足条件的所有整数a的和为( ____ ) A.2 B.5 C.6 D.9 【解析】解：∵不等式组 的解集为x＞2， C 74 ∴a-2≤2． ∴a≤4． 关于y的分式方程 =1- 的解为y= ． ∵y=3是原分式方程的增根， ∴ ≠3． ∴a≠3． ∵关于y的分式方程 =1- 的解为正整数， ∴ 为正整数． 75 ∴a=2，4，7． ∵a≤4， ∴a=2，4． ∴所有满足条件的所有整数a的和为：2+4=6． 故选：C． 76 29.若关于x的一元一次不等式组 有且仅有3个整数解，且关于x的分式方程 + =1有正数解，则所有满足条件的整数a的和为( ____ ) A.12 B.13 C.14 D.15 B 77 【解析】解： ， 解不等式①得：x＜5， 解不等式②得：x≥ ， ∴不等式组的解集为 ， ∵不等式组有且仅有3个整数解， ∴1＜ ≤2， ∴2＜a≤6； 78 分式方程两边都乘以(x-1)得：ax-2-3=x-1， 解得：x= ， ∵x-1≠0， ∴x≠1， ∵方程有正数解， ∴ 0， ≠1， ∴a＞1，a≠5， ∴2＜a≤6，且a≠5， ∴a的整数解为3，4，6，和为13， 故选：B． 79 30.已知关于x的分式方程 的解为正数，关于y的不等式组 ，恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和是( ____ ) A.1 B.3 C.4 D.6 【解析】解：关于x的分式方程解为x=2a-1， C 80 ∵x解为正数， ∴2a-1＞0， ∴a＞ ， 关于y的不等式组解为 ， ∵y恰有三个整数解， ∴0＜ ≤1， ∴-1＜a≤3， 分式方程中，x≠3， 81 ∴2a-1≠3， ∴a≠2， 综上所述： ＜a≤3， ∴满足条件的整数a为：1、3， 则所有满足条件的整数a的和是4． 故选：C． 82 31.如果关于x的不等式组 至少有3个整数解，且关于x的分式方程 的解为整数，则符合条件的所有整数a的取值之和为 ____ ． 【解析】解： ， -7 83 由①得：5x+3≤6x+6， 5x-6x≤6-3， -x≤3， x≥-3， 由②得： ， ， ∴不等式组的解集为： ， 84 ∵关于x的不等式组 至少有3个整数解， ∴整数解至少为：-3，-2，-1， ∴ ， a≥-5， ， ax=a-1-3x, ax+3x=a-1， 85 (a+3)x=a-1， (a≠-3)， ∵关于x的分式方程 有解且解为整数， ∴ ， ∴a≠-4，a≠-3，a+3是a-1的约数， ∵a≥-5， ∴a=-5或-2或-1或1， ∴符合条件的所有整数a的取值之和为：-5-2-1+1=-7， 故答案为：-7． 86 32.已知关于x的分式方程： ． (1)若方程的根为x=4，则m的值为 ____ ； (2)若方程的解为负数，则m的取值范围为 ________________ ． 【解析】解：(1)把x=4代入 得： ， 化简得： ， 解得：m=35； 35 m＜-1且m≠-10 87 故答案为：35． (2) 去分母得：5(x-1)+4(x+1)=m, 去括号得：5x-5+4x+4=m, 移项，合并同类项得：9x=m+1， 系数化为1得： ， ∵方程的解为负数， ∴ 且 ， 解得：m＜-1且m≠-10． 88 故答案为：m＜-1且m≠-10． 89 33.若关于x的不等式组 的解集为x＞4，且关于x的分式方程 有整数解，则符合条件的所有整数a有 ____ 个． 【解析】解：∵ ， 4 90 整理得： ， ∵x的不等式组 的解集为x＞4， ∴a≤4， ∵ ， 等式两边同时乘以(2-x)得：1-ax-3=2-x, 整理得： ， 91 ∵关于x的分式方程 有整数解， ∴2-x≠0，即x≠2， 又∵a≤4， ∴当a=3时， ， 当a=2时， ， 当a=0时， ， 当a=-1时， (舍去)， 92 当a=-3时， ， ∴符合条件的所有整数a有：-3，0，2，3， 故答案为：4． 93 34.若关于x的分式方程 的解为正数，则m的取值范围为 ____________ ． 【解析】解： ， 解得x=4-m, ∵关于x的分式方程 的解为正数， ∴4-m＞0， ∴m＜4， ∵x-2≠0， ∴x≠2， m＜4且m≠2 94 ∴4-m≠2， ∴m≠2， ∴m的取值范围是m＜4且m≠2， 故答案为：m＜4且m≠2． 95 35.若关于x的一元一次不等式组 无解，且关于y的分式方程 的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ____ ． 【解析】解：解a-2x≤0，得x≥ a, 解 ，得x≤-1． ∵关于x的一元一次不等式组 8 96 无解， ∴-1＜ ． ∴a＞-2． + =1， 去分母，得7-ay=1-y. 移项、合并同类项，得(1-a)y=-6． y的系数化为1，得y= ． ∵关于y的分式方程 + =1的解为整数， 97 ∴a-1=±1或±2或±3或±6． ∴a=0或2或3或-1或4或7． 当a=7，此时y= =1是增根，故舍去． 综上：a=0或2或3或-1或4． ∴所有满足条件的整数a的值之和是0+2+3+(-1)+4=8． 故答案为：8． 98 36.关于x的分式方程 的解为非负数，则a的取值范围是 　　． 【解析】解：两边同时乘以4(x-2)， 得：8x-4a=x-2， 解得x= ， 由题意可知，x≥0，且x≠2， ∴ 且 ， 解得：a≥ 且a≠4， 99 八．解分式方程 100 37.解方程： + = ． 【解析】解：去分母得：2(x+1)+2x=5x, 去括号得：2x+2+2x=5x, 解得：x=2， 经检验x=2是分式方程的解． 101 九．由实际问题抽象出分式方程 102 38.某工厂为了提高生产效率，更新了工厂设备，现在每台机器平均每天比原来多生产25件产品，若该工厂的机器台数不变，现在每天总的生产能力由2000件提高到了3000件，求原来每台机器平均每天生产多少件产品？设原来每台机器每天生产x件产品，根据题意可列方程为 　　． 【解析】解：设原来每台机器每天生产x件产品，则现在每台机器平均每天生产(25+x)件产品， 根据题意，得 ． 故答案为： ． 103 39.浮山至临汾高速公路(简称浮临高速)是山西省“县县通高速”最后的重点攻坚项目．浮临高速通车前从起点到终点的车程是30千米，若浮临高速通车后，车程将缩短至18.68千米，汽车的平均速度将提高到现在的 倍．用时将缩短20分钟．若设浮临高速通车后汽车的平均速度为m千米/时，则可列方程为 　　． 【解析】解：根据题意，得 - = ． 故答案为： - = ． 104 一十．分式方程的应用 105 40.商家常将单价不同的A、B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A、B两种糖的总价与A、B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为( ____ ) A.50元/千克 B.60元/千克 C.70元/千克 D.80元/千克 B 106 【解析】解：设A种糖的单价为x元/千克，则B种糖的单价为(x+40)元/千克， “什锦糖”甲的单价为 (x+x+40)元/千克， “什锦糖”乙的单价为2÷( + )元/千克， 根据题意，得 (x+x+40)-2÷( + )=5， 解得x=60， 经检验x=60是分式方程的解，也符合题意， 所以A种糖的单价为60元/千克．故选：B． 107 41.甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息 ___________ 如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需( ____ ) A.13 小时 B.13 小时 C.14 小时 C 108 D.14 小时 【解析】解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要(x-5)小时，则 = ． 解得x=20 经检验x=20是原方程的根，且符合题意． 则丙的工作效率是 ． 所以一轮的工作量为： + + = ． 109 所以4轮后剩余的工作量为：1- = ． 所以还需要甲、乙分别工作1小时后，丙需要的工作量为： - - = ． 所以丙还需要工作 小时． 故一共需要的时间是：3×4+2+ =14 小时． 故选：C． 110 42.某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵10元，用350元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同． (1)求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？ (2)计划购买这两种商品共50件，且投入的经费不超过3200元，那么，最多可购买多少件甲种商品？ 【解析】解：(1)设每件乙种商品的价格为x元，则每件甲种商品的价格为(x+10)元， 根据题意得： = ， 111 解得：x=60， 经检验，x=60是原方程的解， ∴x+10=70． 答：每件乙种商品的价格为60元，每件甲种商品的价格为70元． (2)设购买y件甲种商品，则购买(50-y)件乙种商品， 根据题意得：70y+60(50-y)≤3200， 解得：y≤20． 答：最多可购买20件甲种商品． 112 43.某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同． (1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元； (2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案； (3)在(2)的条件下，若甲种玩具每件的售价为40元，乙种玩具每件的售价为55元，商场为扩大销量，推出“买一赠一”活动，顾客从这两种玩具中任购一件，就可以从两种玩具任选一件作为赠品，这批玩具全部售出后，共获利280元．直接写出(2)问中商场的进货方案． 113 【解析】解：(1)设每件甲种玩具的进价是x元，则每件乙种玩具的进价是(40-x)元，根据题意可得： = ， 解得x=15， 经检验，x=15是原方程的解， ∴x=15，40-x=25， 答：每件甲种玩具的进价是15元，每件乙种玩具的进价是25元； (2)设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具(48-m)件，根据题意得： ， 114 解得：20≤m＜24， ∵m为正整数， ∴m=20或21或22或23， ∴商场共有4种进货方案； (3)设48件玩具“买一赠一”，有a件售价是40元，则有(24-a)件售价是55元， ∴40a+55(24-a)=15m+25(48-m)+280， 化简整理可得a= ， 由(2)知m=20或21或22或23，且a为正整数， ∴m=22，此时a=4，即商场的进货方案是购进甲种玩具22件，乙种玩具26件． 115 44.冬季将至，服装城需1100件羽绒服解决商场货源短缺问题，现由甲、乙两个加工厂生产．已知甲工厂每天的加工生产能力是乙工厂每天加工生产能力的1.5倍，且加工生产480件羽绒服甲工厂比乙工厂少用4天． (1)求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少件羽绒服？ (2)若甲工厂每天的加工生产成本为3万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元，要使这批羽绒服的加工生产总成本不高于60万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？ 【解析】解：(1)设乙工厂每天可加工生产x件，则甲工厂每天可加工生产1.5x件，根据题意可得： = +4， 116 解得：x=40， 经检验，x=40是原方程的根，也符合题意， 则1.5x=60， 答：甲工厂每天可加工生产60件，乙工厂每天可加工生产40件； (2)设甲工厂加工生产y天，根据题意得： 3y+2.4× ≤60， 解得：y≥10． 答：至少应安排甲工厂加工生产10天． 117 45.一项工程要在限期内完成，如果第一组单独做，恰好按规定日期完成，如果第二组单独做，超过规定日期4天才能完成，如果两组合做3天后剩下的工程由第二组单独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是多少天？ 【解析】解：设规定日期是x天，则第一组单独完成用x天，第二组单独完成用x+4天． 根据题意得： + =1． 解得：x=12． 经检验：x=12是原方程的解，并且符合题意． 答：规定日期是12天． 118 46.某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． (1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？ (3)按照(2)中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元 119 ，要使(2)中所有的方案获利相同，a值应是多少？ 【解析】解：(1)设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．根据题意，得： ， 解得：m=9． 经检验，m=9是原方程的根且符合题意． 答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元； (2)设购进A款汽车x辆．根据题意，得： 99≤7.5x+6(15-x)≤105． 120 解得：6≤x≤10． ∵x的正整数解为6，7，8，9，10， ∴共有5种进货方案， 方案1．购进A款汽车6辆，购进B款汽车9辆． 方案2．购进A款汽车7辆，购进B款汽车8辆． 方案3．购进A款汽车8辆，购进B款汽车7辆． 方案4．购进A款汽车9辆，购进B款汽车6辆． 方案5．购进A款汽车10辆，购进B款汽车5辆； (3)设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，根据题意，得： W=(9-7.5)x+(8-6-a)(15-x)=(a-0.5)x+30-15a. 当a=0.5时，(2)中所有方案获利相同． 121 47.某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，需缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．求原计划每天铺设多少米？ 【解析】解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道1.2x米， 由题意，得 - =2． 解得：x=60． 经检验，x=60是原方程的解．且符合题意． 答：原计划每天铺设管道60米． 122 48.某广告公司将一块广告牌制作任务交给师徒两人，已知师傅单独完成时间是徒弟单独完成时间的 ，现由徒弟先做1天，师徒再合作2天完成． (1)师徒两人单独完成任务各需几天？ (2)若完成后得到报酬540元，按各人完成的工作量计算报酬，该如何分配？ 【解析】解：(1)设徒弟单独完成任务需x天，则师需 天， 依题意得 123 解得x=6 经检验，x=6是原方程的解 ∴ =4 答：师傅需要4天，徒弟需要6天． (2)师傅完成的工作量= ， ∴徒弟完成的工作量为 ， 故每人各得报酬270元， 答：每人各得270元． 124 49.因雾霾天引发的汽车尾气污染备受关注，由此汽车限号行驶也成为人们关注的焦点，限行期间为方便市民出行，某路公交车每天比原来的运行增加15车次．经调研得知，原来这路公交车平均每天共运送乘客5600人，限行期间这路公交车平均每天共运送乘客8000人，且平均每车次运送乘客与原来的数量基本相同，问限行期间这路公交车每天运行多少车次？ 【解析】解：设限行期间这路公交车每天运行x车次， ， 解得，x=50， 125 经检验x=50是原分式方程的根， 答：限行期间这路公交车每天运行50车次． 126 50.某超市用3000元购进某种干货销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购入该干货，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干货数量是第一次的2倍还多150千克，如果超市按每千克15元的价格出售，当大部分干货售出后，余下的100千克按售价的8折售完． (1)该干货的第一次进价是每千克多少元？ (2)超市销售这种干货共盈利多少元？ 【解析】解：(1)设该干货第一次进价是x元/千克，则第二次进价是1.2x元/千克， 根据题意得： = ×2+150， 127 解得：x=10， 经检验，x=10是原方程的解，且符合题意． 答：该干货第一次进价是10元/千克． (2)第一次购进数量=3000÷10=300(千克)， 第二次购进数量=300×2+150=750(千克)， ∴盈利=(300+750-100)×15+100×15×80%-3000-9000=3450(元)． 答：超市销售完这种干货共盈利3450元． 128 $$