第14章 整式的乘法与因式分解 中档题拓展训练★★【15个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学八年级上册

第14章 整式的乘法与因式分解 中档题拓展训练★★ 【15个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年 人教版数学八年级上册 1 一．幂的乘方与积的乘方 二．同底数幂的除法 三．单项式乘单项式 四．单项式乘多项式 五．多项式乘多项式 六．完全平方公式 七．完全平方公式的几何背景 八．完全平方式 九．平方差公式 一十．平方差公式的几何背景 一十一．整式的除法 一十二．因式分解 一十三．因式分解 一十四 一十五 2 一．幂的乘方与积的乘方 3 1.下列各式的运算，结果正确的是( ____ ) A.a3+a4=a7 B.a•a2=a2 C.a4-a2=a2 D.(3a)2=9a2 【解析】解：A、不是同类项，不能合并，不符合题意； B、a•a2=a3，原计算错误，不符合题意； C、不是同类项，不能合并，不符合题意； D、(3a)2=9a2，原计算正确，符合题意； 故选：D． D 4 2.已知a=167，b=89，c=413，则a,b,c的大小关系是 ________ ． 【解析】解：167=(24)7=228，89=(23)9=227，413=(22)13=226， ∵28＞27＞26， ∴228＞227＞226，即167＞89＞413， ∵a=167，b=89，c=413， ∴a＞b＞c, ∴a,b,c的大小关系是：a＞b＞c, 故答案为：a＞b＞c. a＞b＞c 5 二．同底数幂的除法 6 3.下列运算正确的是( ____ ) A.x4•x3=x12 B.(x3)2=x9 C.x2+x3=x5 D.x2÷x=x 【解析】解：A、x4•x3=x7，原计算错误不符合题意； B、(x3)2=x6，原计算错误不符合题意； C、不是同类项，不能合并，不符合题意； D、x2÷x=x,运算正确，符合题意； 故选：D． D 7 4.下列运算中正确的是( ____ ) A.x2•x5=x10 B.2x+3y=5xy C.(-xy2)2=xy4 D.x5÷x3=x2 【解析】解：A、x2⋅x5=x7，故该选项错误，不符合题意； B、2x和3y不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； C、(-xy2)2=x2y4，故该选项错误，不符合题意； D、该选项正确，符合题意． 故选：D． D 8 5.下列计算正确的是( ____ ) A.2x2+3x2=6x2 B.x4•x2=x8 C.x6÷x2=x3 D.(-xy2)2=x2y4 【解析】解：A．2x2+3x2=5x2，故不正确，不符合题意； B．x4•x2=x6，故不正确，不符合题意； C．x6÷x2=x4，故不正确，不符合题意； D．(-xy2)2=x2y4，正确，符合题意； 故选：D． D 9 三．单项式乘单项式 10 6.下面计算正确的是( ____ ) A.x2+2x3=3x5 B.x2•2x3=2x5 C.(x2)3=x5 D.(ab2)4=a4b6 【解析】解：A、不是同类项不能合并，不符合题意； B、x2•2x3=2x5，运算正确，符合题意； C、(x2)3=x6，原计算错误，不符合题意； D、(ab2)4=a4b8，原计算错误，不符合题意； 故选：B． B 11 四．单项式乘多项式 12 7.下列计算正确的是( ____ ) A.x2+x2=x4 B.x(x+1)=x2+x C.3x+4y=7xy D.a2•a3=a6 【解析】解：A、x2+x2=2x2，故本选项错误，不符合题意； B、x(x+1)=x2+x,故本选项正确，符合题意； C、3x与4y不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； D、a2•a3=a5，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． B 13 五．多项式乘多项式 14 8.已知(x-1)(x+3)=x2+mx+n,则m-n的值为 ____ ． 【解析】解：∵(x-1)(x+3)=x2+3x-x-3=x2+2x-3， 又∵(x-1)(x+3)=x2+mx+n, ∴x2+2x-3=x2+mx+n, ∴m=2，n=-3， ∴m-n=2-(-3)=5， 故答案为：5． 5 15 9.回答下列问题： (1)计算： ①(x+2)(x+3)=　　； ②(x+2)(x-3)=　　； ③(x-2)(x+3)=　　； ④(x-2)(x-3)=　　． (2)总结公式(x+a)(x+b)=x2+　　x+ab. (3)已知a,b,m均为整数，且(x+a)(x+b)=x2+mx+7．求m的所有可能值． 【解析】解：(1)①(x+2)(x+3) =x2+2x+3x+6 16 =x2+5x+6； ②(x+2)(x-3) =x2+2x-3x-6 =x2-x-6； ③(x-2)(x+3) =x2-2x+3x-6 =x2+x-6； ④(x-2)(x-3) =x2-2x-3x+6 =x2-5x+6； 故答案为：x2+5x+6，x2-x-6，x2+x-6，x2-5x+6； 17 (2)解：(x+a)(x+b) =x2+ax+bx+ab =x2+(a+b)x+ab, 故答案为：(a+b)； (3)解：∵(x+a)(x+b)=x2+mx+7， ∴x2+(a+b)x+ab=x2+mx+7， ∴m=a+b,ab=7， ∵a、b都是整数，7=1×7=-1×(-7)， ∴ 或 或 或 ， ∴m=a+b=1+7=8或m=a+b=-1-7=-8． 18 10.(1)通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，甲图是边长为x的正方形，用两种不同的方法表示甲图中阴影部分的面积(a,b为常数)可以得到一个恒等式：　　． (2)由(1)的结果进行应用：若(a-m)(a-2)=a2+na+6对a的任何值都成立，求(m+n)(m-n)的值． (3)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，乙图表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据乙图中图形的变化关系，利用整式乘法写出一个代数恒等式． 19 ________ 【解析】解：(1)阴影部分的面积可以表示为：(x-a)(x-b)， 也可以表示为：x2-ax-bx+ab=x2-(a+b)x+ab, ∴(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab. 故答案为：(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab； (2)由(1)可知：(a-m)(a-2)=a2-(m+2)a+2m, 又∵(a-m)(a-2)=a2+na+6， 20 ∴2m=6，n=-(m+2)． 解得：m=3，n=-5， ∴(m+n)(m-n)=(3-5)(3+5)=-16； (3)∵原几何体的体积=x3-1×1•x=x3-x, 新几何体的体积=x(x+1)(x-1)， ∴x3-x=x(x+1)(x-1)． 21 六．完全平方公式 22 11.下列运算正确的是( ____ ) A.3m-m=3 B.(a3)2=a5 C.(x+y)2=x2+y2 D.b2•b3=b5 【解析】解：A、3m-m=2m,原计算错误，不符合题意； B、(a3)2=a6，原计算错误，不符合题意； C、(x+y)2=x2+2xy+y2，原计算错误，不符合题意； D、b2•b3=b5，原计算正确，符合题意； 故选：D． D 23 12.下列计算正确的是( ____ ) A.2a6+a3=2a9 B.a2•a4=a C.(-ab2)2=a2b4 D.(a+b)2=a2+b2 【解析】解：A、不是同类项不能合并，不符合题意； B、a2•a4=a6，原计算错误，不符合题意； C、(-ab2)2=a2b4，正确，符合题意； D、(a+b)2=a2+2ab+b2，原计算错误，不符合题意； 故选：C． C 24 13.下列运算中，正确的是( ____ ) A.a2+a3=a5 B.(-2a2)3=-8a6 C.(a-1)2=a2-1 D.a8÷a4=a2 【解析】解：A、a2+a3无法化简，故A选项错误； B、(-2a2)3=-8a6，故B选项正确； C、(a-1)2=a2-2a+1，故C选项错误； D、a8÷a4=a4，故D选项错误； 故选：B． B 25 14.(1)化简：(x-2y)2-x(x-4y)； (2)解不等式组： ． 【解析】解：(1)(x-2y)2-x(x-4y) =x2-4xy+4y2-x2+4xy =4y2； (2) ， 26 解①可得 ， 解②可得x≥1， ∴改不等式组的解集为： ． 27 七．完全平方公式的几何背景 28 15.把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，写出验证图形中阴影部分面积的等式 　　． 【解析】解：阴影部分面积为大正方形的面积减去小正方形的面积， ∴阴影部分面积为：4ab=(a+b)2-(a-b)2． 故答案为：4ab=(a+b)2-(a-b)2． 29 16.若a满足(2022-a)2+(a-2023)2=5． (1)①设2022-a=x,a-2023=y,则x2+y2= ____ ，x+y= ____ ； ②利用①中的信息，求出(2022-a)(a-2023)的值； (2)如图，点A，K分别是正方形EGHC的边EG、上的点，满足CK=k,AG=k+1(k为常数，且k＞0)，长方形ABKE的面积是6，分别以AB、AE为边作正方形ABID和正方形AEJF，求正方形ABID与正方形AEJF的面积之和． 【解析】解：(1)①根据题意可得：x2+y2=(2022-a)2+(a-2023)2=5， 5 -1 30 x+y=(2022-a)+(a-2023)=2022-a+a-2023=-1， 故答案为：5，-1； ②由①可得：x+y=-1，x2+y2=5， ∴(x+y)2=1，即x2+2xy+y2=1， ∴2xy=-4，即xy=-2， ∴(2022-a)(a-2023)=-2； (2)设正方形EGHC的边长为m,则AE=EG-AG=m-k-1，AB=EK=EC-CK=m-k, ∴AB-AE=1， ∵长方形ABKE的面积是6， ∴AB-AE=6， 31 ∵(AB-AE)2=AB2-2AE-AB+AE2=1， ∴AB2+AE2=13， 即正方形ABID与正方形AEJF的面积之和是13． 32 17.(1)若a-b=2，ab=1，求a2+b2的值． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (2)已知△ABC中，∠C=90°，分别以AC、BC边向外侧作正方形．如图所示，设AD=6，两正方形的面积和为20，求△ABC的面积． (3)若(6-x)(x+2)=1，求(6-x)2+(x+2)2的值． 【解析】解：(1)∵a-b=2，ab=1， ∴(a-b)2=a2-2ab+b2=4， ∴a2+b2=6； (2)设正方形ACGF与正方形BCDE的边长分别为x,y. 33 由题意可得x+y=AD=6，x2+y2=20，x2+y2=20， ∴ ； (3)令6-x=a,x+2=b, 由题可知ab=1，a+b=8， ∴(a+b)2=64，2ab=2， ∴(6-x)2+(x+2)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=62． 34 八．完全平方式 35 18.已知：多项式x2-mx+16是完全平方式，则m的值为 ____ ． 【解析】解：∵多项式x2-mx+16是完全平方式，x2-mx+16=x2-mx+42， ∴-mx=±2x•4， ∴m=±8． 故答案为：±8． ±8 36 19.数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． 37 (1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积(答案直接填写到题中横线上)；方法1：　　；方法2：　　． (2)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：(a+b)2，a2+b2，ab之间的等量关系； (3)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a+b=5，a2+b2=11，求ab的值； ②已知(x-2018)2+(x-2020)2=34，求(x-2019)2的值． 【解析】解：(1)∵图2的大正方形的面积等于(a+b)×(a+b)=(a+b)2， ∴方法1：(a+b)2， ∵图2的大正方形的面积等于一个A纸片， 38 一个B纸片和两个C纸片的面积之和， ∴b2+a2+2ab, ∴方法2：b2+a2+2ab, 故答案为：(a+b)2；b2+a2+2ab. (2)∵(a+b)2=(a+b)×(a+b)=a2+2ab+b2 ∴(a+b)2，a2+b2，ab之间的等量关系为：(a+b)2=a2+2ab+b2 (3)①∵(a+b)2=a2+b2+2ab, ∴当a+b=5，a2+b2=11时，52=11+2ab, ∴ab=7； ②设a=x-2019， ∴x-2018=a+1，x-2020=a-1， 39 ∴(x-2018)2+(x-2020)2=(a+1)2(a-1)2=34， ∴2a2=32， ∴a2=16， ∴(x-2019)2=16． 40 九．平方差公式 41 20.20132-2012×2014的计算结果是( ____ ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 【解析】解：20132-2012×2014=20132-(2013-1)(2013+1)=20132-20132+1=1． 故选：A． A 42 21.下列计算正确的是( ____ ) A.(3x)2=3x2 B.3x+3y=6xy C.(x+y)2=x2+y2 D.(x+2)(x-2)=x2-4 【解析】解：A．∵(3x)2=9x2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．∵3x,3y不是同类项，不能合并，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．∵(x+y)2=x2+2xy+y2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D 43 D．∵(x+2)(x-2)=x2-4，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 44 22.下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是( ____ ) A.(x-y)(y+x) B.(x-y)(-x-y) C.(-x-y)(x+y) D.(y-x)(-x-y) 【解析】解：A、(x-y)(y+x)=x2-y2，能用平方差公式计算，不符合题意； B、(x-y)(-x-y)=-x2+y2，能用平方差公式计算，不符合题意； C、(-x-y)(x+y)=-(x+y)(x+y)，不能用平方差公式计算，符合题意； D、(y-x)(-x-y)=x2-y2，能用平方差公式计算，不符合题意；故选：C． C 45 23.用简便方法计算：20242-2023×2025． 【解析】解：20242-2023×2025 =20242-(2024-1)×(2024+1) =20242-(20242-1) =20242-20242+1 =1． 46 24.运用整式乘法公式计算：2022×2024-20232． 【解析】解：2022×2024-20232 =(2023-1)(2023+1)-20232 =20232-1-20232 =-1． 47 一十．平方差公式的几何背景 48 25.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式　　． _______ 【解析】解：第一个图形阴影部分的面积是a2-b2， 第二个图形的面积是(a+b)(a-b)． 则a2-b2=(a+b)(a-b)． 故答案为：a2-b2=(a+b)(a-b)． 49 26.探究活动： _____ (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 　　(写成两数平方差的形式)； (2)如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 　　(写成多项式乘法的形式)； (3)比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 　　． 50 知识运用： (4)用合理的方法计算：7.52×1.6-2.52×1.6． 【解析】解：(1)利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积=a2-b2， 故答案为：a2-b2； (2)由图可知矩形的宽是(a−b)，长是(a+b)，所以面积是(a+b)(a−b)， 故答案为：(a+b)(a−b)； (3)(a+b)(a−b)=a2-b2， 故答案为：(a+b)(a−b)=a2-b2； (4)原式=7.52×1.6-2.52×1.6 =1.6×(7.52-2.52) 51 =1.6×(7.5-2.5)×(7.5+2.5) =1.6×5×10 =80． 52 27.如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成如图2所示长方形． (1)根据图1和图2的阴影部分的面积关系，可得等式　　(用字母a,b表示) (2)运用以上等式计算： (3)如图3，100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面的圆的半径为100cm,向里依次为99cm,98cm,…，1cm,那么在这个图形中 53 ，所有阴影的面积和是多少？(结果保留π) ______ 【解析】解：(1)①根据图1和图2阴影部分面积相等可得：a2-b2=(a+b)(a-b)， 故答案为：a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) 54 = = = 55 = = ； (3)1002π-992π+...+42π-32π+22π-12π =π(1002-992+...+42-32+22-12) =π(100+99+...+4+3+2+1) = =5050π(cm2)， 答：阴影部分的面积为5050πcm2． 56 一十一．整式的除法 57 28.计算：(6x3y2-2xy)÷2xy=( ____ ) A.3x2y-2xy B.3x3y-2 C.4x2y-xy D.3x2y-1 【解析】解：原式=6x3y2÷2xy-2xy÷2xy =3x2y-1， 故选：D． D 58 29.下列运算正确的是( ____ ) A.2a+3b=5ab B.3a2b3-a2b=2a2b3 C.(a2)3=a5 D.2a8÷a4=2a4 【解析】解：A．2a+3b=2a+3b,故A错误； B．3a2b3-a2b=a2(3b3-b)，故B错误； C．(a2)3=a6，故C错误； D．2a8÷a4=2a4，故D正确； 故选：D． D 59 30.计算(2x8)÷(4x2)的结果是( ____ ) A.2x4 B.2x6 C. D. 【解析】解：原式=(2÷4)•(x8÷x2) = ， 故选：D． D 60 31.阅读与理解 下面是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 2024年×月×日星期日 多项式除以多项式 我们曾经学习过单项式除以单项式，多项式除以单项式． 类比数字的除法运算，我们可以将多项式除以单项式使用竖式除法，如(3x2+15x)÷3x=3x2÷3x+15x÷3x=x+5用如图1所示的竖式表示： ____ 61 如果是多项式6x2+7x+2除以多项式2x+1，可以类比图1的过程用竖式除法吗？ 经过查阅资料，我写出了如图2所示的竖式，它的计算步骤如下： (1)先把被除式6x2+7x+2与除式2x+1分别按字母的降幂排列； (2)将被除式6x2÷7x+2的第一项6x2除以除式2x+1的第一项2x,即6x2÷2x=3x,得出商式的第一项3x； (3)用商的第一项3x与除式2x+1相乘得6x2+3x,写在6x2+7x+2的下面； (4)用6x2+7x+2减去6x2+3x得差4x+2，写在下面； (5)再用4x+2的第一项4x除以除式2x+1的第一项2x,即4x÷2x=2，写在商式的第一项3x的后面，写成代数和的形式； (6)以商式的第二项2与除式2x+1相乘，得4x+2，写在(4)中差4x+ 62 2的下面； (7)两式相减得0，表示刚好能除尽； (8)写出结果：(6x2+7x+2)÷(2x+1)=3x+2． 任务： (1)材料中，由多项式除以单项式的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法体现的数学思想是 ____ ； A．数形结合思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 D．公理化思想 (2)请你用竖式除法计算：(2x2-3x+1)÷(x-1)； B 63 (3)若x+4是x3+6x2+px+12的一个因式，则p= ____ ． 【解析】解：(1)根据由多项式除以单项式的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法，是类比思想， 故选：B； (2)x2+2x+3 x2-2x -x+1 11 64 故答案为：1； (3) x2+2x+3 x3+4x2 2x2+8x 3x+12 65 ∵余式为0，12÷4=3， ∴商式的最后一项为3，p-8=3，解得：p=11， 故答案为：11． 66 一十二．因式分解 67 32.分解因式：2a2-6ab= ____________ ． 【解析】解：2a2-6ab=2a(a-3b)， 故答案为：2a(a-3b)． 2a(a-3b) 68 33.因式分解：3m2n4-12m4n2=　　． 【解析】解：3m2n4-12m4n2=3m2n2(n2-4m2)=3m2n2(n+2m)(n-2m)， 故答案为：3m2n2(n+2m)(n-2m)． 69 一十三．因式分解 70 34.分解因式：4x2-9y2= _____________________ ． 【解析】解：原式=(2x+3y)(2x-3y)． 故答案为：(2x+3y)(2x-3y)． (2x+3y)(2x-3y) 71 一十四 72 35.因式分解：4x2-100= _________________ ． 【解析】解：4x2-100=4(x2-25)=4(x+5)(x-5)， 故答案为：4(x+5)(x-5)． 4(x+5)(x-5) 73 36.因式分解a-a3= _________________ ． 【解析】解：a-a3=a(1-a2) =a(1+a)(1-a)． 故答案为：a(1+a)(1-a)． a(1+a)(1-a) 74 37.因式分解： (1)x2-6x+9； (2)a2(x-y)+4(y-x)． 【解析】解：(1)原式=(x-3)2； (2)原式=(x-y)(a2-4) =(x-y)(a+2)(a-2)． 75 一十五 76 38.已知a=2024x+2023，b=2024x+2024，c=2024x+2025，则代数式a2+b2+c2-ab-ac-bc的值为( ____ ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】解：∵a=2024x+2023，b=2024x+2024，c=2024x+2025， ∴a-b=2024x+2023-2024x-2024=-1，b-c=2024x+2024-2024x-2025=-1，a-c=2024x+2023-2024x-2025=-2， ∴a2+b2+c2-ab-ac-bc D 77 = = = = =3， 故选：D． 78 39.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“和谐数”，如：因为40=112-92，所以称40为“和谐数”，下面4个数中为“和谐数”的是( ____ ) A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 【解析】解：设两个连续奇数中较小的奇数为：2n-1，较大的奇数为：2n+1， ∴“和谐数”=(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n, D 79 ∴“和谐数”一定能被8整除， A、2021÷8≈252.6，则2021不能被8整除，故选项A不符合题意； B、2022÷8=252.75，则2022不能被8整除，故选项B不符合题意； C、2023÷8=252.875，则2023不能被8整除，故选项C不符合题意； D、2024÷8=253，则2024能被8整除，故选项D符合题意； 故选：D． 80 40.已知实数a满足a2-2a-1=0，则代数式2a3-a2-8a+4的值为( ____ ) A.9 B.7 C.0 D.-9 【解析】解：∵a2-2a-1=0，， ∴a2-2a=1， ∴2a3-a2-8a+4 =2a•a2-a2-8a+4 =2a(2a+1)-a2-8a+4 B 81 =4a2+2a-a2-8a+4 =3a2-6a+4 =3(a2-2a)+4 =3×1+4 =7． 故选：B． 82 41.已知m2+n2=10，mn=3，则m3n-mn3的值为( ____ ) A.24 B.12 C.±24 D.±12 【解析】解：∵m2+n2=10，mn=3， ∴(m+n)2=m2+n2+2mn=10+6=16， (m-n)2=m2+n2-2mn=10-6=4， ∴m+n=±4，m-n=±2， ∴原式=mn(m2-n2) C 83 =mn(m+n)(m-n) =3×(±4)×(±2) =±24， 故选：C． 84 42.已知a,b,c是△ABC的三边长，满足a2+2b2+c2=2ab+2bc,据此判断△ABC的形状是( ____ ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】解：∵a2+2b2+c2=2ab+2bc, ∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0，即：(a-b)2+(b-c)2=0， ∴a-b=0，且b-c=0，即：a=b,b=c, ∴a=b=c, B 85 ∴△ABC是等边三角形， 故选：B． 86 43.一个两位正整数m,若m满足各数位上的数字均不为0，称m为“相异数”，将m的两个数位上的数字对调得到一个新数n,把m放在n的左边组成第一个四位数A，把m放在n的右边组成第二个四位数B，记 ，计算F(63)= ____ ；若s,t都是“相异数”，s个位上的数字等于t十位上的数字，且F(s)被11除余7，F(s)+F(t)=63，则满足条件的所有s的和为 _____ ． 【解析】解：∵m=36， ∴n=63， ∴A=6336，B=3663， 27 183 87 ∴F(63)= =27， 设s=10a+b,t=10b+c, ∴F(s)= ， =9a-9b, 同理F(t)=9b-9c, ∴F(s)+F(t)=9a-9b+(9b-9c)=9a-9c=63， 即a-c=7， ∴a＞7， ∴a=8或a=9， 88 ∵F(s)被11除余7， ∴当a=8时，c=1，F(s)=72-9b, 当商为1时，72-9b=18， ∴b=6， 当商为2时，72-9b=29， ∴b= (舍)， 当商为3时，72-9b=40， ∴b= (舍)， 当商为4时，72-9b=51， 89 ∴b= (舍)， 当商为5时，72-9b=62， ∴b= (舍)， 当商大于等于6，即72-9b≥73时，b＜0(舍)， 当a=9时，c=2，F(s)=81-9b, 当商为1时，72-9b=18， ∴b=7， 当商为2时，81-9b=29， ∴b= (舍)， 90 当商为3时，81-9b=40， ∴b= (舍)， 当商为4时，81-9b=51， ∴b= (舍)， 当商为5时，81-9b=62， ∴b= (舍)， 当商为6时，81-9b=73， ∴b= (舍)， 91 当商大于等于7，即81-9b≥84时，b＜0(舍)， 综上所述：a=8，b=6，c=1或a=9，b=7，c=2， ∴S=86或S=97， 满足条件的所有s的和为：86+97=183． 故答案为：27，183． 92 44.若一个正整数a可以表示为a=(b+2)(b-3)，其中b为大于3的正整数，则称a为“优雅数”，b为a的“优点”．例如14=(5+2)×(5-3)=7×2，称14为“优雅数”，5为14的“优点”． (1)“优雅数”50的“优点”为 ____ ； (2)m的“优点”为p,n的“优点”为q,若m-n=24，且p-q=1，则p+q的值为 ____ ． 【解析】解：(1)∵50=5×10=(8+2)×(8-3)， ∴“优雅数”50的“优点”为8； 故答案为：8； (2)由题意，得：m=(p+2)(p-3)=p2-p-6，n=(q+2)(q-3)=q2-q-6， 8 25 93 ∵m-n=24，且p-q=1， ∴p2-p-q2+q=24， ∴(p-q)(p+q)-(p-q)=24， ∴p+q-1=24， ∴p+q=25； 故答案为：25． 94 45.若一个四位正整数 的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“和方数”，那么最大的“和方数”为 ______ ；将一个“和方数”M的前两位数字组成的两位数 记为s,后两位数字组成的两位数 记为t,规定 ， ，若F(M)、G(M)都是整数，则满足条件的M的最大值为 ______ ． 【解析】解：① 为最大的“和方数”，而1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9， 9871 6021 95 ∵各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数， ∴最大的完全平方数为25， ∴最大的“和方数”为 ，当b=8，c=7时，d=25-9-8-7=1， ∴最大的“和方数”为9871； ②s=10a+b,t=10c+d,则 ， = ， ∵F(M)、G(M)都是整数， ∴设 ， =k2，k1，k2为正整数， 96 则10(a+c)+b+d=9k1，10(a-c)+b-d-5=3k2， 两式相加得：20a+2b-5=9k1+3k2， 即18a+2(a+b)-5=3(3k1+k2)， 两式相减得：20c+2d+5=9k1-3k2， 即18c+2(c+d)+5=3(3k1-k2)， ∴2(a+b)-5，2(c+d)+5都能被3整除， ∴a+b=4，7，10，13，16， c+d=2，5，8，11，14，17， ∴Mmax=9798． 故答案为：9871；6021． 97 46.若一个正整数M能分解成p2+q,其中p与q都是两位数，且p与q的个位数字相同，十位数字相加等于10，则称M为“方加数”，并把M分解成p2+q的过程，称为“方加分解”．例如：因为262=132+93，13与93的个位数字相同，十位数字相加等于10，所以262是“方加数”，则最小的“方加数”是 _____ ；把一个四位“方加数”M进行方加分解，即M=p2+q中，将p放在q的左边组成一个新的四位数N，若N能被7整除，且N的各个数位上的数字之和能被3整除，则满足条件的M的最大值为 ______ ． 【解析】解：设p的十位数是m,个位数是n,则q的十位数是10-m,个位数是n, 则p2+q=(10m+n)2+10(10-m)+n=100m2+n2+20mn-10m+n+100， 190 5510 98 当n=1时，p2+q=100m2-10m+100， 此时p2+q=100m2-10m+100=100(m- )2+ ， ∵m为正整数， ∴当m=1时，p2+q最小，最小值为100×(1- )2+ =190： 同理，M=p2+q中，将p放在q的左边组成一个新的四位数N， ∴N的各位数字之和是m+n+10-m+n=10+2n, ∵N各个数位上的数字之和能被3整除， ∴n=1或n=4或n=7， 当n=4时， N=1000m+100+100-10m+1=990m+201， 99 ∵N=7 (141m+28)+3m+5，N能被7整除， ∴m=3 ∴M=312+71=1032； 当n=4时， N=1000m+400+100-10m+4=990m+504， ∵N=7(141m+72)+3m,N能被7整除， ∴m=7， ∴M=742+34=5510； 当n=7时， N=1000m+700+100-10m+7=990m+807， ∵N=7(14lm+115)+3m+2，N能被7整除， 100 ∴m=4， ∴M=472+67=2276； 综上所述：满足条件的M有1032和5510和2276， ∵1032＜2276＜5510， ∴M的最大值为5510， 故答案为：190；5510． 101 47.若一个四位自然数 的各数位上的数字互不相等，满足 ，那么称这个四位数为“无量数”．如：四位数8420，82-40=42，8420是“无量数”；又如：四位数7324，72-34=38≠32，7324不是“无量数”．最大的“无量数”是 ______ ；若一个“无量数” 满足 与 的差能被8整除，且 的结果是一个正整数的平方，则这个“无量数”是 ______ ． 【解析】解：因为 ，即10a+c-(10b+d)=10b+c, 化简得d=10(a-2b)，d为10的倍数， 因此d=0，a=2b； 8490 6320 102 要求最大的无量数，令a=8，则b=4，c=9，即为8490； - =100a+10b+c-(100b+10c+d)=100a-90b-9c-d=55a-9c=8(7a-c)-(a+c)， =10a+b+10b+c+10c+d+2b=33b+11c=11(3b+c)， 因为 与 的差能被8整除，所以a+c能被8整除，a+c=8或16； 因为 的结果是一个正整数的平方，所以3b+c=11； 解得a=6，b=3，c=2． 则这个无量数是6320． 故答案为：8490；6320． 103 48.“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时．经常利用几何直观和面积法获取结论． 例1：如图1，根据等面积法，我们可以得出等式a(b+c)=ab+ac. 例2：如图2，根据等面积法，我们可以得出等式(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2． ______ (1)请你根据上述等面积法，从图3中探究出等式(a+b+c)2=　　． 104 (2)已知a+b+c=8，a2+b2+c2=36，请利用(1)中的结论，求ab+ac+bc的值． 【解析】解：(1)由图3得：(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc, 故答案为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. (2)由(1)可知： (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc, ∵a+b+c=8，a2+b2+c2=36， ∴82=36+2ab+2ac+2bc=36+2(ab+ac+bc)， 解得：ab+bc+ac=14． 105 49.如果一个正整数能表示两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，…因此4，12，20…都是“神秘数”． (1)请举出一个“神秘数”的例子： ___________________ ； (2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？ (3)两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？为什么？ 【解析】解：(1)∵102-82=100-64=36， ∴36是“神秘数”， 故答案为：36(答案不唯一)． 36(答案不唯一) 106 (2)“神秘数”是4的倍数．理由如下： (2k+2)2-(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2-2k)=2(4k+2)=4(2k+1)， ∴“神秘数”是4的倍数； (3)不是，理由如下： 设两个连续的奇数为：2k+1，2k-1， 则(2k+1)2-(2k-1)2=8k, 而由(2)知“神秘数”是4的奇数倍数，但不是4的偶数倍数， 所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数． 107 50.常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及到了高中还要学习的十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，x2-4y2-2x+4y,我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2-4y2-2x+4y=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2)这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：a2-4a-b2+4； (2)△ABC三边a,b,c满足a2-ab-ac+bc=0，判断△ABC的形状． 【解析】解：(1)a2-4a-b2+4 108 =a2-4a+4-b2 =(a-2)2-b2 =(a+b-2)(a-b-2)； (2)a2-ab-ac+bc=0， ∴a2-ab-(ac-bc)=0， ∴a(a-b)-c(a-b)=0， ∴(a-b)(a-c)=0， ∴a-b=0，或者a-c=0， 即：a=b,或者a=c ∴△ABC是等腰三角形． 109 $$