第13章 轴对称 基础题过关检测★【13个考点50题专练】—【冲刺满分】课件2024-2025学年人教版数学八年级上册

第13章 轴对称 基础题过关检测★ 【13个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年 人教版数学八年级上册 1 一．线段垂直平分线的性质 二．等腰三角形的性质 三．等腰三角形的判定 四．等腰三角形的判定与性质 五．等边三角形的性质 六．等边三角形的判定与性质 七．含30度角的直角三角形 八．轴对称的性质 九．轴对称图形 一十．关于x轴 一十一 一十二．作图 一十三．轴对称 2 一．线段垂直平分线的性质 3 1.如图，在△ABC中，DE垂直平分AC于点E，交BC于点D，连接AD，AB的垂直平分线交AD于点F，连接BF，设∠C=α，∠DBF=β，则∠BAC的大小为( ____ ) A.180°-2α-2β B. C. D.α+β 【解析】解：∵DE垂直平分AC于点E， ∴DA=DC， B 4 ∴∠DAC=∠C=α， ∵AB的垂直平分线交AD于点F， ∴FA=FB， ∴∠FAB=∠FBA， ∵∠ABC+∠C+∠BAC=180°， 即∠FBA+∠DBF+∠C+∠FAB+∠DAC=180°， ∴∠FAB+β+α+∠FAB+α=180°， ∴∠FAB+α=90°- β， 即∠BAC=90°- β． 故选：B． 5 2.如图，∠BAC=100°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数为( ____ ) A.20° B.30° C.40° D.50° 【解析】解：∵∠BAC=100°， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC=80°， ∵MP，NQ分别垂直平分AB，AC， ∴AP=BP，AQ=CQ， A 6 ∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C， ∴∠BAP+∠CAQ=80°， ∴∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+∠CAQ)=20°． 故选：A． 7 3.在Rt△ABC中，∠A=90°，以C为圆心，适当长为半径画弧交BC，AC于D，E两点，分别以D，E为圆心，大于 长为半径画弧交于M点，作射线CM交AB1于K点．以K为圆心，CK为半径画弧交射线CM于H点，分别以C，H为圆心，大于 为半径画弧交于N，L，作直线NL交BC于G，AC=4，CG=5，则GK=( ____ ) A. B. C.3 D. A 8 【解析】解：由作法得CK平分∠ACB，NL⊥CH， ∴∠ACK=∠BCK，∠CKG=90°， ∵∠A=∠CKG，∠ACK=∠GCK， ∴△ACK∽△KCG， ∴AC：CK=CK：CG，即4：CK=CK：5， 解得CK=2 ， 在Rt△CKG中，KG= = = ． 故选：A． 9 4.如图，△ABC的三边都不相等，点P是三条内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当点P、O同时在△ABC的内部时，∠BOC=124°，则∠BPC的度数为( ____ ) A.121° B.122° C.123° D.124° 【解析】解：连接AO， A 10 ____ ∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点， ∴OA=OB=OC， ∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB， ∴∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC， ∴∠BOC=360°-(∠AOB+∠AOC)， ∴∠BOC=360°-(180°-2∠OAB+180°-2∠OAC)， ∴∠BOC=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC 11 ∵∠BOC=124°， ∴∠BAC=62°， ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴ ， ， ∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB) ∴ ∴ ∵ ，故选：A． 12 5.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B=∠ADB．若AB=3，则DC的长是 ____ ． 【解析】解：∵∠B=∠ADB，AB=3， ∴AD=AB=3， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴DC=AD=3， 故答案为：3． 3 13 6.如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为M，N，已知△ADE的周长为22，则BC的长为 ____ ． 【解析】解：因为AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E， 所以AD=BD，AE=EC， 所以BC=BD+DE+CE=AD+DE+AE，即为△ADE的周长， 又因为△ADE的周长为22， 所以BC=22． 故答案为：22． 22 14 7.作图题：(不写作法，但必须保留作图痕迹) 如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，(点M，N表示大学，AO，BO表示公路)．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案． ____ 【解析】解：如图所示： 15 ____ ___ 16 (1)连接MN，分别以M、N为圆心，以大于 MN为半径画圆，两圆相交于DE，连接DE，则DE即为线段MN的垂直平分线； (2)以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OA、OB于G、H，再分别以G、H为圆心，以大于 GH为半径画圆，两圆相交于F，连接OF，则OF即为∠AOB的平分线(或∠AOB的外角平分线)； (3)DE与OF相交于点P，则点P即为所求． 17 8.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AD平分∠BAC，MN是AD的垂直平分线，交AD于点M，交AB于点N．求证： ． 【解析】证明：过D点作DH⊥AB于H点，连接DN，如图， ∵∠BAC=30°，AD平分∠BAC，DC⊥AC，DH⊥AB， ∴∠BAD= ∠BAC=15°，DC=DH， ∵MN是AD的垂直平分线， 18 ∴NA=ND， ∴∠NDA=∠NAD=15°， ∴∠DNH=∠NDA+∠NAD=30°， 在Rt△DNH中，DH= DN， 而DN=AN，DC=DH， ∴CD= AN． 19 二．等腰三角形的性质 20 9.已知等腰三角形的顶角是40°，则它的一个底角的度数是( ____ ) A.40° B.50° C.70° D.100° 【解析】解：∵等腰三角形的顶角是40°， ∴它的一个底角的度数为： =70°， 故选：C． C 21 10.如图，O是△ABC内一点，OA=OB=OC，∠BAC=70°，则∠1等于( ____ ) A.20° B.30° C.35° D.40° 【解析】解：∵OA=OB=OC， ∴∠OAB=∠OBA，∠1=∠OCB，∠OAC=∠OCA， ∵∠BAC=70°， ∴∠OAB+∠OAC=70°， A 22 ∴∠OBA+∠OCA=70°， ∴∠1+∠OCB=180°-∠BAC-(∠OBA+∠OCA)=40°， ∴∠1=∠OCB=20°， 故选：A． 23 11.如图，在△ABC中，AB=AC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点D和点E；②以点B为圆心，AD长为半径作弧，交AB于点F；③以F为圆心，DE长为半径作弧，在∠ABC内部交前面的弧于点G；④过点G作射线BG交AC于点H．若BC=6，∠A=36°，则AH的长为( ____ ) A.4 B.5 C.6 D.7 C 24 【解析】解：由作图痕迹知∠ABH=∠A， ∴AH=BH，∠BHC=∠ABH+∠A=72°， 在△ABC中，AB=AC，∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∠ABH=36°， ∴∠BHC=∠A+∠ABH=72°， ∴∠BHC=∠C， ∴BH=BC， ∴AH=BH=BC=6． 故选：C． 25 12.如图，在△ABC中，AB=AC，点D为边AC上一点，且AD=BD，若∠DBC=30°，则∠C=( ____ ) A.65° B.70° C.75° D.80° 【解析】解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C= ， ∵AD=BD， B 26 ∴∠DBA=∠A， ∴∠BDC=∠A+∠DBA=2∠A， ∴∠BDC+∠DBC+∠C=2∠A+30°+ =180°， ∴∠A=40°， ∴∠C= =70°， 故选：B． 27 13.如图，Rt△ABC中，∠CAB=90°，△ABD是等腰三角形，AB=BD=4，CB⊥BD，交AD于E，BE=1，则AC的值为( ____ ) A.7 B. C.8 D. 【解析】解：∵AB=BD=4， ∴∠BAE=∠BDE， B 28 ∵CB⊥BD， ∴∠DBE=∠CAB=90°， ∴∠DEB=90°-∠D，∠CAE=90°-∠BAD， ∴∠CAE=∠DEB， ∵∠AEA=∠DEB， ∴∠CAE=∠CEA， ∴AC=EC， ∵BE=1， ∴BC=AC+1， ∵AC2+AB2=BC2， ∴AC2+42=(AC+1)2， 29 ∴AC= ， 故选：B． 30 14.如图，AB∥CD，点M，N分别在AB，EF上，连接MN，EM=EN，且∠N=58°，则∠CFE的度数为( ____ ) A.106° B.108° C.112° D.116° 【解析】解：∵EM=EN，∠N=58°， ∴∠EMN=∠N=58°， ∴∠FEM=∠EMN+∠N=116°， ∵AB∥CD， D 31 ∴∠CFE=∠FEM=116°， 故选：D． 32 15.等腰三角形一边长12cm,另一边长5cm,它第三边长可以是( ____ ) A.17cm B.12cm C.7cm D.5cm 【解析】解：若12cm为腰长，4cm为底边长， ∵12+12＞5， ∴能组成三角形， ∴它的第三边是12cm； 若12cm为底边长，5cm为腰长， B 33 ∵5+5＜12， ∴不能组成三角形； 故选：B． 34 16.已知等腰三角形的周长为16，其底边长为a,那么a的取值范围是( ____ ) A.a＞0 B.0＜a＜8 C.0＜a＜16 D.a＜16 【解析】解：∵等腰三角形的周长为16，其底边长为a, ∴腰长为 ， B 35 由题意得： ， 解得：0＜a＜8， 故选：B． 36 17.等腰三角形的一个角为80°，则它的顶角度数为( ____ ) A.50° B.100° C.50°或80° D.20°或80° 【解析】解：分两种情况： 当等腰三角形的顶角为80°时， ∴等腰三角形的两个底角都=50°； 当等腰三角形的一个底角为80°时，另一个底角也为80°， ∴等腰三角形的顶角=180°-2×80°=20°； D 37 综上所述：它的顶角度数为80°或20°， 故选：D． 38 18.如图，在△ABC中，∠DCE=40°，AE=AC，BC=BD，则∠ACB的度数为 ______ ． 【解析】解：∵AC=AE，BC=BD， ∴设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°， ∴∠A=180°-2x°，∠B=180°-2y°， ∵∠ACB+∠A+∠B=180°，∠BDC+∠AEC+∠DCE=180°， ∴∠ACB+(180°-2x)+(180°-2y)=180°，180°-(x+y)=∠DCE， ∴∠ACB+360°-2(x+y)=180°， ∴∠ACB+2∠DCE=180°， ∵∠DCE=40°， 100° 39 ∴∠ACB=100°， 故答案为：100°． 40 19.将一个三角尺和一把直尺按如图所示的方式摆放．若△ABC是等腰三角形，则∠1的度数是 _____ ． 【解析】解：∵△ABC是等腰三角形， ∴∠C=∠CAB=30°， 如图所示，三角尺与直尺的交点为D， ____ ∵∠CAD=60°， 30° 41 ∴∠BAD=∠CAD-∠CAB=60°-30°=30°， ∵AB∥DE， ∴∠BAD=∠1=30°， 故答案为：30°． 42 20.等腰三角形的两条边长分别为6cm和10cm,则周长为 _________ cm. 【解析】解：根据题意， ①当腰长为10cm时，周长=10+10+6=26cm； ②当腰长为6cm时，周长=10+6+6=22cm； 两种情况都符合三角形三边关系． 故答案为：26或22． 26或22 43 21.在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=2 ，△ABC的面积为2 ，则AB=　　． 【解析】解：如图，作AD⊥BC于点D． ____ ∵△ABC的面积为 ， ， ∴ ， 44 ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴ ， ∴在Rt△ABD中， ． 故答案为： ． 45 22.已知：如图，点D在△ABC内部，连接AD，BD，CD．若AB=AC，∠BAD=∠CAD．求证：∠DBC=∠DCB． 【解析】证明：如图，延长AD交BC于点G， ∵AB=AC，∠BAD=∠CAD， ∴AG⊥BC，BG=CG， ∴BD=CD， ∴∠DBC=∠DCB． 46 三．等腰三角形的判定 47 23.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=16cm,BC=12cm,AC=20cm,P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿BC→CA方向运动，且速度为每秒2cm,P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒． (1)BP= _________ cm(用含t的式子表示)； (2)当点Q在边BC上运动时． ①出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ ②通过计算说明PQ能否把△ABC的周长平分？ (3)当点Q在边CA上运动时，若△ (16-t) 48 BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值． 【解析】解：(1)由题意可知AP=t,BQ=2t, ∵AB=16cm, ∴BP=AB-AP=(16-t)cm, (2)①当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时， 即16-t=2t,解得 ， ∴出发 秒后； ②当Q在BC上，0≤t≤6，如图， 49 ____ 而AP=t,BQ=2t, ∴BP=16-t,CQ=12-2t, ∵PQ把△ABC的周长平分， ∴16-t+2t=t+12-2t+20， 解得：t=8，不符合题意舍去， ∴点Q在边BC上运动时．PQ不能把△ABC的周长平分． (3)①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ=BQ，如图1所示， 50 ___ 则∠C=∠CBQ， ∵∠ABC=90°， ∴∠CBQ+∠ABQ=90°． ∠A+∠C=90°， ∴∠A=∠ABQ， ∴BQ=AQ， 51 ∴CQ=AQ=10(cm)， ∴BC+CQ=22(cm)， ∴t=22÷2=11； ②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ=BC，如图2所示， ___ 则BC+CQ=24(cm)， ∴t=24÷2=12， 52 综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形． 故答案为：11或12． 53 四．等腰三角形的判定与性质 54 24.如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为 ____ ． 【解析】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线， ∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO， ∵MN∥BC， ∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠BCO， ∴∠ABO=∠MOB，∠NOC=∠ACO， ∴MB=MO，NC=NO， ∴MN=MO+NO=MB+NC， 10 55 ∵AB=4，AC=6， ∴△AMN周长为AM+MN+AN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=10， 故答案为：10 56 25.如图，已知在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高线，DE∥AB交AC于点E，试找出图中所有的等腰三角形(△ABC除外)，并对其中的一个等腰三角形加以说明． 【解析】解：由题意知，△ADE和△CDE是等腰三角形；理由如下；选取△EDC， ∵△ABC是等腰三角形，AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B， 57 ∴∠EDC=∠C， ∴ED=EC， ∴△EDC是等腰三角形； 选取△AED， ∵DE∥AB， ∴∠BAD=∠ADE， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠DAE， ∴∠ADE=∠DAE， ∴AE=ED， ∴△AED是等腰三角形． 58 26.如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，∠ADC的平分线交AC于点E，DE∥BC． (1)证明：△DBC是等腰三角形； (2)若BC=2CE，求∠ADE的度数． 【解析】(1)证明：∵CD平分∠ACB，ED平分∠ADC， ∴∠DCB=∠ECD，∠ADE=∠CDE． ∵DE∥BC， ∴∠DCB=∠CDE，∠ADE=∠B， ∴∠DCB=∠B， ∴在△DBC中，DB=DC． 59 ∴△DBC是等腰三角形； (2)解：取BC的中点F，连接DF， ___ ∵BC=2CE， ∴BF=FC=EC， 在△DFC和△DEC中， 60 ， ∴△DFC≌△DEC(SAS)， ∴∠FDC=∠EDC． 又DB=DC，DF是BC边上的中线， ∴DF平分∠BDC， 即∠BDF=∠CDF． ∴∠BDF=∠CDF=∠CDE=∠ADE． ∵∠BDF+∠CDF+∠CDE+∠ADE=180°， ∴4∠ADE=180°，∴∠ADE=45°． 61 27.如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F． (1)求证：△ADF是等腰三角形； (2)若∠F=30°，EC=3，BD=4，求AC的长． 【解析】(1)证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵FE⊥BC， ∴∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90°， ∴∠F=∠BDE， 而∠BDE=∠FDA， 62 ∴∠F=∠FDA， ∴AF=AD， ∴△ADF是等腰三角形； (2)解：∵∠F=30°，DE⊥BC，EC=3， ∴CF=2EC=6， ∵AB=AC，BD=4，AF=AD， 设AF的长为x,则AD=x, ∴CF-AF=BD+AD，即6-x=4+x, ∴x=1， ∴AF=1， ∴AC=CF-AF=6-1=5． 63 五．等边三角形的性质 64 28.如图，△ABC是等边三角形，点P是边BC上的一点，且CP＞BP，以PC为边作等边△PCE．若△PAB的面积与△PCE的面积相等，则 的值为 　　． 【解析】解：作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，设BP=a,PC=b, ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=a+b, ∵sin∠ABM= ， 65 ∴AM=AB•sin60°= (a+b)， ∴△ABP的面积= +b)= a(a+b)， ∵△EPC等边三角形， ∴NE= PE= b, ∴△EPC的面积= b× b= b2， ∵△ABP的面积=△EPC的面积， ∴ a(a+b)= b2， 66 ∴a2+ab-b2=0， ∴a= b,或a= b(舍)， ∴ = ， ∴ = ． 故答案为： ． 67 29.如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长于点E，则∠DEC= _____ ． 【解析】解：在等边△ABC中，∠ABC=60°， ∵BD是AC边上的高， ∴BD平分∠ABC， ∴ ， ∵BD=ED， ∴∠DEC=∠CBD=30°， 故答案为：30°． 30° 68 30.如图，等边△ABC内部有一点D，DB=4，DC=5，∠BDC=150°，在AB、AC上分别有一动点E、F，且AE=AF，则DE+DF的最小值是 　　． 【解析】解：如图，过点C作CH⊥CD，使CH=BD，连接DH，FH， ___ ∵CH⊥CD， ∴∠HCA+∠ACD=90°， ∵∠BDC=150°， ∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=30°， 69 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC+∠ACB=120°，AB=AC， ∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-(∠DBC+∠DCB)=120°-30°=90°， ∴∠HCA=∠ABD， ∵AE=AF，AB=AC， ∴BE=CF， 在△BED和△CFH中， ， ∴△BED≌△CFH(SAS)， 70 ∴HF=DE， ∴DE+DF=HF+DF≥DH， ∴当点D，F，H在同一条直线时，DE+DF取最小值，最小值为DH， 在Rt△DCH中，CH=4，DC=5， ∴DH= = ， ∴DE+DF的最小值是 ， 故答案为： ． 71 31.如图，点B是线段AE上一点，AB=3BE，△ABC与△BDE都是等边三角形，联结AD、CE交于点P，过点B作BG⊥AD，BH⊥CE，垂足为G、H，联结GH，如果△ABC的面积是S，AD的长是a,那么GH=　　．(用含字母S和a的代数式表示) 【解析】解：∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴AB=CB，∠ABC=60°，BD=BE，∠DBE=60°， ∴∠CBD=180°-∠ABC-∠DBE=60°， ∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=120°，∠CBE=∠CBD+∠DBE=120°， 即∠ABD=∠CBE， 72 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE(SAS)， ∴∠BAD=∠BCE，AD=CE=a, ∵BG⊥AD，BH⊥CE， ∴∠AGB=∠CHB=90°， 在△ABG和△CBH中， 73 ， ∴△ABG≌△CBH(AAS)， ∴BG=BH，∠ABG=∠CBH， ∴∠ABC+∠CBG=∠CBD+∠DBH， ∵∠ABC=∠CBD=60°， ∴∠CBG=∠DBH， ∴∠GBH=∠GBD+∠DBH=∠GBD+∠CBG=∠CBD=60°， ∴△BGH为等边三角形， ∴GH=BH=BG， 74 ∴S△CBE= CE•BH= a•GH， ∵AB=3BE，△ABC的面积是S， ∴S△ABC=3S△CBE， 即 ， ∴GH= ． 故答案为： ． 75 六．等边三角形的判定与性质 76 32.如图，在等边△ABC中，AB=6，作射线BD⊥AC，垂足为D，点F是射线BD上一点．点E是AB边上一点，连接EF，以EF为边向上构造等边△GEF，GF的延长线与射线BC交于点H，连接EH．当DF= BD，∠BFE=15°时，△EFG的面积为 　　． 【解析】解：∵△ABC为等边三角形，且AB=6，射线AD⊥AC于D， ∴AB=BC=AC=6，AD=CD= AC=3，∠ABD=∠CBD=30°， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD= = ， 77 ∴DF= BD= ， ∵点F是射线BD上一点， ∴有以下两种情况： ①当点F在线段BD上时，过点F作FM⊥BC于M，连接CF，过点E作EP⊥GF于P，如图1所示： ___ ∴BF=BD-DF= ， 78 在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF= ， ∴BF=CF= ， ∴∠FBC=∠FCB=∠ABD=30°， ∴∠BFC=180°-(∠FBC+∠FCB)=120°， 在Rt△BFM中，∠FBM=30°，则FM= BF= ，∠BFM=60°， ∵△EFG为等边三角形， ∴EF=GF=GE，∠EFG=60°， ∵∠BFE=15°， ∴∠MFH=180°-∠EFG-∠BFE-∠BFM=180°-60°-15°-60°=45°， ∴△FMH为等腰直角三角形， 79 ∴FM=MH= ，∠MFH=45°， 由勾股定理得：FH= ， ∴∠CFH=∠BFC-∠BFM-∠MFH=120°-60°-45°=15°， ∴∠BFE=∠CFH=15°， 在△BFE和△CFH中， ， ∴△BFE≌△CFH(ASA)， ∴EF=FH= ， 80 ∴EF=GF=GE= ， ∴PF= GF= ， 由勾股定理得：EP= ， ∴S△EFG= GF•EP= = ； ②当点F在BD的延长线上时，延长GF交BC的延长线于K，连接CF，在CB上取一点T，使CT=CK，如图2所示： 81 ___ ∴BF=BD+DF= ，则BF2=48， 在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF= ， ∴BC2+CF2= =48， ∴BF2+CF2=BF2， ∴△BFC为直角三角形，即∠BCF=90°， 82 ∴∠BFC=60°， ∵△△GEF为等边三角形， ∴EF=GF=GE，∠EFG=60°， ∴∠CFK=180°-∠EFG-∠BFE-∠BFC=180°-60°-15°-60°=45°， ∴△CFK为等腰直角三角形，即CF=CK= ， 由勾股定理得：FK= = ， 在△FCT和△FCK中， ， ∴△FCT≌△FCK(SAS)， 83 ∴FT=FK= ，∠CFT=∠CFK=45°， ∴∠BFT=∠BFC-∠CFT=60°-45°=15°， ∴∠BFT=∠BFE=15°， 在△BFT和△BFE中， ， ∴△BFT≌△BFE(ASA)， ∴FT=EF= ， ∴EF=GF=GE= ， 84 ∴FQ= GF= ， 由勾股定理得：EQ= = ， ∴S△EFG= GF•EP= = ． 综上所述：△EFG的面积为 或 ． 故答案为： 或 ． 85 七．含30度角的直角三角形 86 33.若等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，那么等腰三角形的顶角等于( ____ ) A.60°或120° B.30°或150° C.150° D.30° 【解析】解：①如图， B 87 __ ∵BD是△ABC的高，AB=AC，BD= AB， ∴∠A=30°， ②如图， _______ 88 ∵CD是△ABC边BA 上的高，DC= AC， ∴∠DAC=30°， ∴∠BAC=180°-30°=150°， 故选：B． 89 34.请你完成命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明． (提示：证明命题应首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”、“求证”，最后写出证明过程．) 【解析】解：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， 求证：BC= AB， 证明：如图：延长BC到点D，使CD=BC，连接AD， 90 ___ ∵∠ACB=90°， ∴AC是BD的垂直平分线， ∴AD=AB， ∵∠BAC=30°， ∴∠B=90°-∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AD=BD=AB，∵BC=CD= BD， ∴BC= AB． 91 八．轴对称的性质 92 35.将△ABC的顶角A沿直线DE折叠(如图)，点A的对应点为点A'，记∠CDA'为∠1，∠BEA′为∠2． _____ (1)如图1，当点A的对应点A'落在△ABC内部时，试探求∠1，∠2与∠A的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点A的对应点A'落在△ABC外部时，∠1，∠2与∠A又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 93 【解析】解：(1)∠1+∠2=2∠DAE，理由如下： 如图1，连接AA'， ___ ∵∠1是△ADA'的外角， ∴∠1=∠DAA′+∠DA′A． 同理，∠2=∠EAA′+∠EA′A． ∴∠1+∠2=∠DAA'+∠DA'A+∠EAA'+∠EA'A． 由折叠性质得∠DAE=∠DA′E． 94 ∴∠1+∠2=2∠DAE． (2)∠1-∠2=2∠DAE，证明如下： 如图2，连接AA'， ___ ∵∠1是△ADA'的外角， ∴∠1=∠DAA′+∠DA′A． 同理，∠2=∠EAA′+∠EA′A． ∴∠1=∠DAE+∠EAA'+∠EA'A+∠DA'E． 95 由折叠性质得∠DAE=∠DA′E． ∴∠1=2∠DAE+∠2， ∴∠1-∠2=2∠DAE． 96 九．轴对称图形 97 36.下列图形中，不是轴对称图形的是( ____ ) ___________ A.①⑤ B.②⑤ C.④⑤ D.①② 【解析】解：①⑤的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A 98 ②③④的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 99 37.勾股，为古代传统数学的一个分支，《九章算术》勾股章是中国古代最早的系统的勾股理论．下列图形是《九章算术》“注释”中的图形，其中是轴对称图形的是( ____ ) A.___ B.__ C.__ D 100 D.___ 【解析】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 101 一十．关于x轴 102 38.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于x轴对称，其中点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′，若点P(3，2)在△ABC的边上，则点P在△A′B′C′上的对应点P′的坐标是( ____ ) A.(3，2) B.(-2，3) C.(3，-2) D.(-2，-3) 【解析】解：∵△ABC与△A′B′C′关于x轴对称， C 103 点P(3，2)在△ABC的边上， ∴点P在△A′B′C′上的对应点P′的坐标是(3，-2)． 故选：C． 104 一十一 105 39.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，∠C=90°，AC⊥x轴，点C的坐标为(2，4)，作△ABC关于直线AB的对称图形，其中点C的对称点为M，且AM交y轴于点N，则点N的坐标为( ____ ) A. B. C. D.(0，1) B 106 【解析】解：∵∠C=90°，AC⊥x轴，∠AOB=90°， ∴四边形AOBC是矩形， ∵点C的坐标为(2，4)， ∴OB=AC=4，OA=BC=2， ∴由轴对称变换可知，BM=BC=OA，∠M=∠C=90°=∠AON， 又∵∠BNM=∠ANO， ∴△BNM≌△ANO(AAS)， ∴BN=AN， ∴在Rt△AON中， ∵AN2=OA2+ON2， ∴(4-ON)2=22+ON2， 107 ∴ ， ∴ ， 故选：B． 108 一十二．作图 109 40.如图，在8×8的方格纸中，P，Q为格点，△ABC的顶点均在格点上，请按要求画图． _____ (1)在图1中画出格点△DEF，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，使得△DEF与△ABC关于线段PQ成轴对称图形． 110 (2)在图2中画出△ABC平移后的格点△GHK，点A，B，C的对应点分别为G，H，K，使得线段PQ平分△GHK的面积． 【解析】解：(1)如图，△DEF即为所求． _____ (2)如图，△GHK即为所求(答案不唯一)． 111 41.平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A(4，0)，B(0，4)，C(-3，1)． (1)若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，作出△A1B1C1，并写出B1的坐标； (2)求△ABC的面积． 【解析】解：(1)如图所示：△A1B1C1即为所求， 其中，B1(0，-4)； 112 ___ (2) ． 113 42.如图，在正方形网格上有一个△ABC． (1)画△ABC关于直线MN的对称图形(不写画法)； (2)若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积． (3)在直线MN上求作一点P，使PA+PB最小． 【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求； 114 ___ (2)△ABC的面积=4×5- 1×4- 1×4- 3×5=20-2-2-7.5=8.5． 115 ___ (3)如图，点P即为所求． 116 43.如图，在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)完成下列各题： (1)画出格点△ABC(顶点均在格点上)关于直线DE对称的△A1B1C1； (2)求出△ABC的面积． 【解析】解：(1)如图所示： 117 ____ △A1B1C1即为所求． (2)△ABC的面积： ×4×3- -1×1= ． 118 一十三．轴对称 119 44.在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是( ____ ) A.___ B.___ C.___ A 120 D.___ 【解析】解：根据线段的性质可知，点P即为所求作的位置． 符合题意的画法是A． 故选：A． 121 45.如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是( ____ ) A.____ B.___ C.____ B D.____ 122 【解析】解：作点M关于直线l的对称点M′，连接M′N交直线l于点Q，则MP+NP=M′N，此时管道长度最短． ___ 故选：B． 123 46.如图，在锐角△ABC中， ，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ____ ． 【解析】解：在AC上取一点N'，使AN'=AN，连接MN'，BN'，过点B作BH⊥AC于点H，如图， ___ ∵AD平分∠BAC， 3 124 ∴AD是∠BAC的对称轴， ∴MN=MN'， ∴BM+MN=BM+MN'≥BN'≥BH， ∴BM+MN的最小值是BH， 在Rt△ABH中， ∵∠BAH=45°， ∴AH=BH， ∵AB=3 ， ∴由勾股定理，得BH2+AH2=AB2， 即BH2+BH2=(3 )2， 125 ∴BH=3(负值已舍)， ∴BM+MN的最小值是3． 126 47.如图，已知AB=10，点C，D在线段AB上，且AC=DB=2．P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G，则CG+GD的最小值是 　　． 【解析】解：如图，分别延长AE、BF交于点H，过点H作HK⊥AB于点K． ∵∠A=∠FPB=60°， ∴AH∥PF， ∵∠B=∠EPA=60°， ∴BH∥PE， 127 ∴四边形EPFH为平行四边形， ∴EF与HP互相平分． ∵G为EF的中点， ∴G也正好为PH中点， 即在P的运动过程中，G始终为PH的中点， ∴G的运行轨迹为△HCD的中位线MN． 作点C关于MN的对称点J，连接DJ交MN于点G′，连接HJ，CJ，则四边形CJHK是矩形，此时CG′+DG′的值最小，最小值为线段DJ的长． ∵△ABH是等边三角形，AB=10，HK⊥AB， ∴AK=KB=5， ∴CJ=KH= =5 ， 128 ∵AC=DB=22， ∴CD=AB-AC-DB=6， ∴DJ= = = ， ∴CG+DG的最小值为 ． 故答案为： ． 129 48.在平面直角坐标系中，点A，B，P的坐标分别为(8，0)，(0，6)，(0，-3)，AB=10，点M，N分别是线段OA，线段AB上的动点，则PM+MN的最小值为 　　． 【解析】解：如图，过点P作PH⊥AB于H，交ABx轴于点P，连接PA， ___ 130 当点P，M，N三点共线时，即为点P，M，N三点在线段PH上， PM+MN的最小值为PH的长， ∵AB=10，OA=8，PB=6-(-3)=9， ∴ ∴ ， 故答案为： ． 131 49.先阅读下列一段文字，再解答问题．已知在平面内有两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其两点间的距离公式为 ，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2-x1|或|y2-y1|． (l)已知点A(4，4)，B(1，0)，试求A，B两点间的距离； (2)已知点A，B在平行于x轴的直线上，点A的横坐标为6，点B的横坐标为-2，试求A，B两点间的距离； (3)应用平面内两点间的距离公式，求代数式 的最小值． 132 【解析】解：(1)∵点A(4，4)，B(1，0)， ∴AB= =5． (2)根据题意可知：点A，B在平行于x轴的直线上， ∴AB=|6-(-2)|=8． (3)∵原式= ， ∴原式表示点(x,y)到(0，-1)和(-6，7)的距离之和． ∵两点之间线段最短， ∴点(x,y)在以(0，-1)和(-6，7)为端点的线段上时，原式值最小． ∴最小值= =10． 133 50.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=3，D为线段BC的中点，E是线段AC上的一动点，求ED+BE的最小值． 【解析】解：如图所示，作点B关于AC的对称点F，连接FC，FD，EF， ___ ∵Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°， ∴∠ABC=60°， 134 ∵CF=CB， ∴△CFB是等边三角形， ∵CA⊥FB， ∴EF=EB， ∴ED+BE=ED+EF≥DF， 即最小值为DF的长， ∵ ，则FB=6， ∴ ． 135 $$