第13章 轴对称 培优题突破练习★★★【13个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学八年级上册

第13章 轴对称 培优题突破练习★★★ 【13个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年 人教版数学八年级上册 1 一．线段垂直平分线的性质 二．等腰三角形的性质 三．等腰三角形的判定 四．等腰三角形的判定与性质 五．等边三角形的性质 六．等边三角形的判定 七．等边三角形的判定与性质 八．含30度角的直角三角形 九．生活中的轴对称现象 一十．轴对称的性质 一十一．轴对称图形 一十二．作图 一十三．轴对称 2 一．线段垂直平分线的性质 3 1.如图，∠BAC=120°，若DM和EN分别垂直平分AB和AC，则∠DAE等于( ____ ) A.60° B.70° C.80° D.90° 【解析】解：∵DM、EN是线段AB、AC的垂直平分线， ∴AD=BD，AE=EC， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE， ∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠BAC=120°， A 4 ∴∠B+∠C=60°， ∵∠BAC=∠BAD+∠CAE+∠DAE=120°， ∴∠BAC=∠B+∠C+∠DAE=120°， ∴60°+∠DAE=120°， ∴∠DAE=60°． 故选：A． 5 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm,则AC+BC=( ____ ) A.25cm B.45cm C.50cm D.55cm 【解析】解：∵DE垂直平分AB交BC于点D， ∴AD=DB， ∵△ACD的周长为50cm, 即AC+AD+CD=AC+CD+DB=AC+BC=50cm,故选：C． C 6 二．等腰三角形的性质 7 3.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，AB=AC=13，点B，C的坐标分别是(8，12)，(8，2)，则点A的坐标是( ____ ) A.(3，6) B.(-4，5) C.(-4，6) D.(-4，7) 【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D， ∵B(8，12)，C(8，2)， ∴BC=10， D 8 ∵AB=AC=13， ∴BD=CD= BC=5， ∴AD= = =12． ∵8-12=-4，12-5=7， ∴A(-4，7)． 故选：D． 9 4.如图，在△ABC中，AB=AC=13，AD⊥BC，垂足为D，CD=5，则点C到直线AB的距离是( ____ ) A.10 B.12 C. D. 【解析】解：∵AB=AC=13，CD=5，AD⊥BC， ∴AD=12，BC=10， 设点C到直线AB的距离为h, D 10 ∴ ， ∴10×12=13h, ∴h= ， 故选：D． 11 5.如图，点P是线段AB上一动点(不包括端点)，过点P作PQ⊥AB交以AB为直径的半圆O于点Q，连接AQ，过点P作PC∥AQ交该半圆于点C，连接CB．当△PCB是以PC为腰的等腰三角形时， 为 　　． 【解析】解：①PC=BC时，过点C作CT⊥AB于T， ____ ∵PQ⊥AB， 12 ∴CT∥PQ， ∴∠QPC=∠TCP， ∵PC∥AQ， ∴∠QPC=∠AQP，∠A=∠CPB， ∵PC=BC，CT⊥AB， ∴CT平分∠PCB，PT=BT，∠PCT=∠BCT， ∴∠AQP=∠QPC=∠PCT=∠BCT，∠A=∠CPB=∠B， ∵∠A=∠B， ∴ = ∴ = ， 13 ∴AQ=BC， 在△APQ和△BTC中， ， ∴△APQ=△BTC(AAS)， ∴AP=BT， ∵PT=BT， ∴AP=PT=BT， ∴ = ； 14 ②PC=PB时，连接AC， ____ ∵AB为直径， ∴∠ACB=∠PCA+∠PCB=90°， ∴∠CAB+∠B=90°， ∵PC=PB， ∴∠B=∠PCB， ∴∠CAB=∠PCA， 15 ∴PA=PC， ∴PC=PA=PB， ∴ = ． 综上所述， 的值为 或 ， 故答案为： 或 ． 16 6.已知：如图，D、E是△ABC中BC边上的两点，AD=AE，要证明△ABE≌△ACD，应该再增加一个什么条件？请你增加这个条件后再给予证明． 【解析】解：本题答案不唯一，增加一个条件可以是：EC=BD，或AB=AC，或BE=CD，或∠B=∠C或∠BAD=∠CAE或∠BAE=∠CAD等 增加∠B=∠C证明过程如下： 证明：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED ∴∠ADB=∠AEC ∴△ABD≌△ACE(AAS) ∴∠BAD=∠CAE 17 ∵∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE ∴∠BAE=∠CAD ∴△ABE≌△ACD(AAS)． 18 三．等腰三角形的判定 19 7.如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x,ON=x+2，点P是边OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的取值范围是　　． 【解析】解：如图1中，当△P2MN是等边三角形时满足条件，作P2H⊥OA于H． 20 ___ 在Rt△P2HN中，P2H= NH= ， ∵∠O=∠HP2O=45°， ∴OH=HP2= ， 21 ∴x=OM=OH-MH= -1． 如图2中，当⊙M与OB相切于P1，MP1=MN=2时，x=OM=2 ，此时满足条件； 22 ___ 如图3中，如图当⊙M经过点O时，x=OM=2，此时满足条件的点P有2个． 23 ___ 如图4中，当⊙N与OB相切于P1时，x=OM=2 -2， 24 ____ 观察图3和图4可知：当2 -2＜x≤2时，满足条件， 综上所述，满足条件的x的值为：2 -2＜x≤2或x=2 或x= -1，故答案为2 -2＜x≤2或x=2 或x= -1． 25 四．等腰三角形的判定与性质 26 8.如图，△ABC中，AC=DC=3，∠BAC的角平分线AD⊥BD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值( ____ ) A.1.5 B.3 C.4.5 D.9 【解析】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O． C 27 ____ ∵AD⊥BH， ∴∠ADB=∠ADH=90°， ∴∠ABD+∠BAD=90°，∠H+∠HAD=90°， ∵∠BAD=∠HAD， ∴∠ABD=∠H， 28 ∴AB=AH，∵AD⊥BH， ∴BD=DH， ∵DC=CA， ∴∠CDA=∠CAD， ∵∠CAD+∠H=90°，∠CDA+∠CDH=90°， ∴∠CDH=∠H， ∴CD=CH=AC， ∵AE=EC， ∴S△ABE= S△ABH，S△CDH= S△ABH， ∵S△OBD-S△AOE=S△ADB-S△ABE=S△ADH-S△CDH=S△ACD， 29 ∵AC=CD=3， ∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为 ×3×3= ． 故选：C． 30 9.在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC=2BE． 【解析】证明：过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F， ∴∠F=∠DBC，∠FAD=∠C， ∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=∠C， ∴∠F=∠FAD=∠ABD，BD=CD， ∴AD=DF，AB=AF， ∵AE⊥BD， 31 ∴BE=EF= BF， ∵AC=AD+CD=DF+BD=BF， ∴AC=2BE． 32 五．等边三角形的性质 33 10.如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN=30°．若AM=m,MN=x,CN=n,则以x,m,n为边长的三角形的形状为( ____ ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.随x,m,n的值而定 【解析】解：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN． C 34 ___ ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°， ∵∠MBN=30°， ∴∠ABM+∠CBN=30°， ∴∠NBH=∠CBH+∠CBN=30°， ∴∠NBM=∠NBH， 35 ∵BM=BH，BN=BN， ∴△NBM≌△NBH， ∴MN=NH=x, ∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=m, ∴∠NCH=120°， ∴x,m,n为边长的三角形△NCH是钝角三角形， 故选：C． 36 11.若点P在边长为2等边三角形ABC的边AC上移动，则BP的最小值是( ____ ) A.2 B. C. D. 【解析】解：过点B作BD⊥AC，交AC于点D， D 37 ___ ∵等边三角形ABC， ∴AB=BC=AC=2， ∵BD⊥AC， ∴ ， 在Rt△DBC中， ， 38 ∵BD⊥AC，点边AC上移动， ∴ ， 当点P与点D重合时，BP取得最小值 ， 故选：D． 39 12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，当CF取最小值时，△BDE的周长为 ____ ． 【解析】解：连接BF，过点C作CH⊥BF．交BF的延长线于H， ___ 18 40 ∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点， ∴∠ABF=30°， ∴点F在射线BF上运动， 当点F与点H重合时，CF最小， ∵∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴∠A=60°，AB=2AC=12， ∵∠ABF=30°， ∴∠BD'H=∠AD'C=60°， ∴△ACD'是等边三角形， ∴AD'=AC=6， ∴BD'=AB-AD'=12-6=6， 41 ∴△BDE的周长为：18， 故答案为：18． 42 13.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D在边AC上，且AD=1，线段EF在边AB上运动，EF=1，则(DE+CF)的最小值为 　　． 【解析】解：作点D关于AB的对称的M，DM交AB于点T，连接EM， 以EM，EF为邻边在△ABC的外面作平行四边形MEFN， 过点C作CG⊥AB，垂足为G，CG的延长线与MN的延长线交于H， ___ 根据轴对称的性质可知：EM=DE， 43 ∵四边形MEFN为平行四边形， ∴EM=FN， ∴DE=FN， ∴DE+CF=FN+CF， 根据“两点之间线段最短”可知： 当C，F，N在同一条直线上时，FN+CF为最短， 即：DE+CF为最小， 此时DE+CF的最小值即为线段CN的长， ∵△ABC为等边三角形，边长为6， ∴∠A=60°， 又D，M关于AB对称， 44 ∴DT⊥AB，DT=MT， 在Rt△ADT中，∠A=60°，AD=1， ∴ ， ， ∴ ， ∵CG⊥AB，DM⊥AB，MN∥AB， ∴四边形MTGH为矩形， ∴ ， 45 ∵△ABC为等边三角形，CG⊥AB，AB=AC=6， ∴AG=BG=3， ∴ ， ∴ ， 又∵四边形MEFN为平行四边形 ∴MN=EF=1， ∴ ， 在Rt△ACG中，AC=6，∠A=60°， ∴ ， 46 ∴ ， 在Rt△CNH中， ， ， 由勾股定理得：CN= = 故答案为： ． 47 14.等边三角形ABC的面积为 ，则其边长为 ____ ． 【解析】解：作AD⊥BC于点D，设等边三角形边长为a, ___ 则CD= = a, ∵∠CAD=30°， 4 48 ∴AD= CD= a, ∴等边△ABC的面积为 BC•AD= ， ∴ =4 ， 解得a=4． 故答案为：4． 49 15.如图，△ABC是等边三角形，点D是线段AC上的一动点，E在BC的延长线上，且BD=DE．若点D为线段AC的中点，求证：AD=CE． 【解析】证明：∵点D为线段AC的中点， ∴BD平分∠ABC， ∴∠DBE=30°， ∵BD=DE， ∴∠E=∠DBE=30°， ∵∠DCE=180°-∠ACB=120°， ∴∠CDE=180°-120°-30°=30°，∴AD=CE． 50 16.已知△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∠EDF=120°，DE交线段AB于E，DF交直线BC于F． (1)如图(1)，求证：DE=DF； (2)如图(2)，若BE=3AE，求证：CF= BC． (3)如图(3)，若BE= AE，则CF=　　BC；在图(1)中，若BE=4AE，则CF=　　BC． ________ 51 【解析】证明：(1)如图1中，连接BD，作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N， ___ ∵∠DMB=∠DNB=90°，∠ABC=60°， ∴∠MDN=∠EDF=120°， 52 ∴∠MDE=∠NDF， ∵△ABC是等边三角形，AD=DC， ∴∠DBA=∠DBC， ∴DM=DN， ∴△DME≌△DNF(ASA)， ∴DE=DF． (2)如图2中，作DK∥BC交AB于K．设AE=a,则BE=3a,AB=AC=BC=4a, 53 ___ ∵AD=DC，DK∥CB， ∴AK=BK=2a,DK= BC=2a=AD=AK， ∴AE=EK=a, 54 ∴DE⊥AK， ∴∠BED=90°， ∵∠BED+∠BFD=180°， ∴∠DFB=90°， 在Rt△CDF中，∵∠C=60°， ∴CF= CD=a, ∴CF= BC． (3)①如图3中，作DK∥BC交AB于K． 55 ___ 设BE=a,则AE=3a,AK=BK=2a,△ADK是等边三角形， ∴∠ADK=60°，∠EDF=∠KDC， ∴∠KDE=∠CDF， ∵DK=DC，DE=DF， 56 ∴△EDK≌△FDC， ∴EK=CF=a,∵BC=4a, ∴CF= BC． ②如图4中，由(1)可知EM=FN， 57 ___ 设AE=a,则BE=4a,AB=BC=AC=5a,AM=CN= a,EM=FN= a, ∴CF=FN+CN= a, 58 ∴CF：BC= a：5a=3：10， ∴CF= BC． 故答案为 ， ． 59 六．等边三角形的判定 60 17.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，延长AC至E，使CE=AC． (1)求证：DE=DB； (2)连接BE，试判断△ABE的形状，并说明理由． 【解析】(1)证明：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴BC⊥AE，∠CAB=60°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠DAB= ∠CAB=30°=∠ABC， ∴DA=DB， ∵CE=AC， 61 ∴BC是线段AE的垂直平分线， ∴DE=DA， ∴DE=DB； (2)△ABE是等边三角形；理由如下： 连接BE，如图： ∵BC是线段AE的垂直平分线， ∴BA=BE， 即△ABE是等腰三角形， 又∵∠CAB=60°， ∴△ABE是等边三角形． 62 七．等边三角形的判定与性质 63 18.边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形(如图)，…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为( ____ ) A. B. A 64 C. D. 【解析】解：连接AD、DF、DB． ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠ABC=∠BAF=∠AFE，AB=AF，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD， ∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°， ∵∠AFE=∠ABC=120°， ∴∠AFD=∠ABD=90°， 65 在Rt△ABD和RtAFD中 ∴Rt△ABD≌Rt△AFD(HL)， ∴∠BAD=∠FAD= ×120°=60°， ∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°， ∴AD∥EF， ∵G、I分别为AF、DE中点， ∴GI∥EF∥AD， ∴∠FGI=∠FAD=60°， 66 ___ ∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形， ∴∠EDM=60°=∠M， ∴ED=EM， 同理AF=QF， 即AF=QF=EF=EM， ∵等边三角形QKM的边长是a, 67 ∴第一个正六边形ABCDEF的边长是 a,即等边三角形QKM的边长的 ， 过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N， 则FZ∥EN， ∵EF∥GI， ∴四边形FZNE是平行四边形， ∴EF=ZN= a, ∵GF= AF= × a= a,∠FGI=60°(已证)， 68 ∴∠GFZ=30°， ∴GZ= GF= a, 同理IN= a, ∴GI= a+ a+ a= a,即第二个等边三角形的边长是 a,与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是 × a； 同理第第三个等边三角形的边长是 × a,与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是 69 × × a； 同理第四个等边三角形的边长是 × × a,第四个正六边形的边长是 × × × a； 第五个等边三角形的边长是 × × × a,第五个正六边形的边长是 × × × × a； 第六个等边三角形的边长是 × × × × a,第六个正六边形的边长是 × × × × × a, 70 即第六个正六边形的边长是 × a, 故选：A． 71 八．含30度角的直角三角形 72 19.如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA=CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为　　． 【解析】解：过P作PF∥BC交AC于F，如图所示： ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFM=∠QCM，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°， ∴△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF， ∵PE⊥AC， 73 ∴AE=EF， ∵AP=PF，AP=CQ， ∴PF=CQ， 在△PFM和△QCM中， ， ∴△PFM≌△QCM(AAS)， ∴FM=CM， ∵AE=EF， ∴EF+FM=AE+CM， 74 ∴AE+CM=ME= AC， ∵AC=3， ∴ME= ， 故答案为： ． 75 20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=6，点M是射线AC上的一个动点，MC=1，连接BM，以AB为边在AB的上方作∠ABE=∠AMB，直线BE交AC的延长线于点F，则CF=　　． 【解析】解：如图，过点F作FH⊥BM于点H， ____ ∴∠BHF=90°， 76 ∵∠ABE+∠ABF=180°，∠AMB+∠BMF=180°，∠ABE=∠AMB， ∴∠ABF=∠BMF， ∵∠ABF+∠A+∠AFB=180°，∠BMF+∠MBF+∠AFB=180°， ∴∠A=∠MBF， ∵∠A=30°， ∴∠MBF=∠A=30°， ∴HF= BF， 设CF=x, ∵MC=1， ∴MF=MC+CF=x+1， 77 ∵∠ACB=90°， ∴∠BCF=180°-∠ACB=90°， ∵∠ACB=90°，∠A=30°，AC=6， ∴BC=AC•tan30°=6× =2 ， ∴BM= = ，BF= = ， ∴HF= BF= ， ∵ MF•BC= BM•FH， ∴ (x+1)×2 = × × ， 78 ∴x= 或x=- (舍去)， 如图，过点F作FH⊥BM，交BM的延长线于点H， _____ ∴∠BHF=90°， 设CF=x, ∵MC=1， ∴MF=CF-MC=x-1， 79 同理，BM= ，BF= ，HF= BF= ， ∵ MF•BC= BM•FH， ∴ (x-1)×2 = × × ， ∴x= 或x=- (舍去)， 综上，CF= 或 ， 故答案为： 或 ． 80 21.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．AC的垂直平分线交BC于F，交AC于E，交BA的延长线于G，若EG=3，则BF的长是 ____ ． 【解析】解：∵AC的垂直平分线FG， ∴AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°， ∵∠BAC=120°， ∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°， ∵∠BAC=120°，AB=AC， ∴∠B=∠C= (180°-∠BAC)=30°， ∴∠B=∠G， 4 81 ∴BF=FG， ∵在Rt△AEG中，∠G=30°，EG=3， ∴AG=2AE， 即(2AE)2=AE2+32， ∴AE= (负数舍去)， 即CE= ， 同理在Rt△CEF中，∠C=30°，CF=2EF， (2EF)2=EF2+( )2， ∴EF=1(负数舍去)， ∴BF=GF=EF+CE=1+3=4，故答案为：4． 82 22.如图，△ABC，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=8，求CD的长． 【解析】解：∵∠C=90°，∠ABC=60°， ∴∠A=30°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD=30°， ∴∠A=∠ABD， ∴DB=AD=8， ∵∠C=90°， ∠CBD=30°，∴CD= DB， ∴CD=4． 83 23.如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？ 【解析】解：∵∠ADB=30°，∠ACB=15°， ∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=15°， ∴∠ACB=∠CAD， ∴AD=CD=20， 又∵∠ABD=90°， ∴AB= AD=10，∴树的高度为10米． 84 九．生活中的轴对称现象 85 24.如图，以平面镜AD和DC为两个侧面的一个黑盒子的另一个侧面BC上开有一个小孔P，一位观察者在盒外沿与BC平行方向走过时，则通过小孔能几次看到光源S所发出的光线( ____ ) A.1次 B.2次 C.3次 D.4次 【解析】解：有4条：分别是：由S发出的线SP； 由S发出，经过AD反射直接通过P的光线； D 86 由S发出，经过CD反射直接通过P的光线； 由S发出，经过CD反射再经过AD反射通过P的光线． 故选：D． 87 一十．轴对称的性质 88 25.如图，△ABC中，BA=BC，D是边AC上一点，连接BD，作BA关于BD的对称线段BE，连接CE并延长，交BD的延长线于点F，若∠ABC=50°，则∠F的大小为( ____ ) A.25° B.40° C.50° D.65° 【解析】解：∵BA和BE关于BD对称， ∴BA=BE，∠ABD=∠EBD． D 89 ∵BA=BC，∠ABC=50°， ∴∠A=∠ACB=65°，BE=BC，∠EBC=50°-2∠EBD， ∴∠BEC=∠BCE= ． 又∵∠BEC=∠EBD+∠F， ∴∠F=65°． 故选：D． 90 26.如图，在四边形ABCD中，AB=6，AD=BC=3，E为AB边中点，且∠CED=120°，则边DC长度的最大值为 ____ ． 【解析】解：如图，将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿EC翻折得到△NCE，连接MN． ______ 由翻折的性质可知，AD=DM=3．AE=EB=EM=EN=3，CB=CN=3，∠AED=∠MEB，∠EBC=∠NEC， ∵∠DEC=120°， 9 91 ∴∠AED+∠BEC=180°-120°=60°， ∴∠DEM+∠NEC=60°， ∴∠MEN=60°， ∴△EMN是等边三角形， ∴MN=EM=EN=3， ∵CD≤DM+MN+CN， ∴CD≤9， ∴CD的最大值为9， 故答案为：9． 92 一十一．轴对称图形 93 27.下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是( ____ ) A.菱形 B.三角形 C.等腰梯形 D.正五边形 【解析】解：A、菱形，对角线所在的直线即为对称轴，可以用直尺画出，故A选项错误； B、三角形对称轴只用一把无刻度的直尺无法画出，故B选项正确； C、等腰梯形，延长两腰相交于一点，作两对角线相交于一点， B 94 根据等腰梯形的对称性，过这两点的直线即为对称轴，故C选项错误； D、如图，正五边形中，直线l即为对称轴，故D选项错误． __ 故选：B． 95 一十二．作图 96 28.如图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形． ___ 97 【解析】解：如图所示． ___ 98 29.如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-3，2)，B(-4，-3)，C(-1，-1)． (1)直接写出点A，B，C关于x轴对称的点A1，B1，C1的坐标： A1( ____ ， ____ )，B1( ____ ， ____ )，C1( ____ ， ____ )； (2)在图中作出△ABC关于y轴对称图形△A2B2C2． 【解析】解：(1)A1(-3，-2)，B1(-4，3)，C1(-1，1)， 故答案为：-3；-2；-4；3；-1；1； -3 -2 -4 3 -1 1 99 (2)如图所示：△A2B2C2即为所求． ____． 100 30.(Ⅰ)已知点A与点B关于直线l成轴对称，请尺规作图作出直线l(保留作图痕迹)； (Ⅱ)如图，△ABC(∠B＞∠A)． (ⅰ)在边AC上用尺规作图作出点D，使∠ADB+2∠A=180°(保留作图痕迹)； (ⅱ)在(ⅰ)的情况下，连接BD，若CB=CD，∠A=35°，则∠C= _____ ． ___________ 40° 101 【解析】解：(Ⅰ)如图，直线l为所作； _____ (Ⅱ)(ⅰ)如图，点D为所作； (ⅱ)∵∠ADB+2∠A=180°， 而∠ADB+∠A+∠DBA=180°， 102 ∴∠A=∠DBA=35°， ∴∠CDB=∠A+∠DBA=70°， ∵CD=CB， ∴∠CBD=∠CDB=70°， ∴∠C=180°-70°-70°=40°． 故答案为40°． 103 31.如图，等边△ABD，△BDC与△BDA关于射线BD对称，点E为边AB上一点．点F在DB的延长线上，EF=ED．作点F关于直线AB的对称点G，连接EG． (1)依题意补全图形，并证明∠ADE=∠FEB； (2)用等式表示AE，CG，DF之间的数量关系，并证明． 【解析】(1)证明：补全的图形如图所示； 104 ___ ∵△ABD是等边三角形， ∴∠ADB=∠ABD=60°， ∴∠ADE+∠BDE=60°，∠FEB+∠BFE=∠ABD=60°． ∵ED=EF， ∴∠BDE=∠BFE， ∴∠ADE=∠FEB； 105 (2)解：DF=CG+2AE．证明如下： 如图所示，连接DG． ___ ∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABD=∠A=60°，AD=DB， ∴∠ABF=120°， ∵△BDC与△ABD关于射线BD对称， 106 ∴∠CBD=∠ABD=60°，BC=AB=BD， ∴∠ABC=∠ABF=120°， 又∵点F和点G关于AB对称， ∴∠ABF=∠ABG=120°， ∴点F关于AB的对称点G在线段BC上， ∴EG=EF=ED，∠GEB=∠FEB=∠ADE． ∵∠DEB=∠A+∠ADE=∠DEG+∠GEB， ∴∠DEG=∠A=60°， ∴△DEG为等边三角形， ∴DE=DG，∠EDG=60°， ∴∠ADE+∠EDB=∠EDB+∠BDG=60°， 107 ∴∠ADE=∠BDG， ∴△ADE≌△BDG(SAS)， ∴AE=BG， ∴DF=DB+BF=BC+AE=CG+BG+AE=CG+2AE． 108 32.如图，在10×10的正方形中网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)． (Ⅰ)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；(要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应) (Ⅱ)若有一格点P到点A、B的距离相等(PA=PB)，则网格中满足条件的点P共有 ____ 个． 【解析】解：(Ⅰ)△A1B1C1如图所示； (Ⅱ)如图所示，满足条件的P共有9个． 9 109 ___ 故答案为9． 110 一十三．轴对称 111 33.△ABC中，∠ABC=97.5°，P、Q两点在AC边上，PB=2，BQ=3 ，PQ= ，若点M、N分别在边AB、BC上，当四边形PQNM的周长最小时，(MP+MN+NQ)2的值为( ____ ) A.18+8 B.24+8 C.22+6 D.31+ C 112 【解析】解：如图，作点P关于AB的对称点P′，点Q关于BC的对称点Q′，连接P′Q′交AB于M，交BC于N，此时四边形PQNM的周长最小．作PH⊥BQ于H． ____ ∴PH2=PB2-BH2=PQ2-HQ2， 113 ∴22-BH2=( )2-(3 -BH)2， 解得BH= ， ∴PH2=4-2=2， ∴PH= ， ∴PH=BH= ， ∴∠PBQ=45°， ∵∠ABP=∠ABP′，∠CBQ=∠CBQ′， ∴∠P′BQ′=2(∠ABC-∠PBQ)+∠PBQ=2∠ABC-∠PBQ=150°， 作Q′K⊥P′B于K． 在Rt△BKQ′中，∠KBQ′=30°，BQ′=BQ=3 ， 114 ∴KQ′= ，BK= ， 在Rt△P′Q′K中，KP′=2+ ，KQ′= ， ∴P′Q′2=(2+ )2+( )2=22+6 ， ∴(MP+MN+NQ)2=P′Q′2=22+6 ． 故选：C． 115 34.如图，∠ABC=30°，点D、E分别在射线BC、BA上，且BD=2，BE=4，点M、N分别是射线BA、BC上的动点，当DM+MN+NE最小时，(DM+MN+NE)2的值为( ____ ) A.20 B.26 C.32 D.36 【解析】解：如图，作点D关于BA的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH交AB有M，交BC有N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小． A 116 ___ 根据对称的性质可知：BD=BG=2，BE=BH=4，DM=GM，EN=NH， ∴DM+MN+NE的最小值为线段GH的长， ∵∠ABC=∠GBM=∠HBC=30°， ∴∠HBG=90°， 117 ∴GH2=BG2+BH2=20， ∴当DM+MN+NE最小时，(DM+MN+NE)2的值为20， 故选：A． 118 35.在平面直角坐标系中，长为2的线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动，A(0，2)，B(0，4)，连接AC，BD，则AC+BD的最小值为( ____ ) A.2 B.2 C.6 D.3 【解析】解：设C(m,0)， ∵CD=2， B 119 ∴D(m+2，0)， ∵A(0，2)，B(0，4)， ∴AC+BD= + ， ∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P(m,0)，使得点P到M(0，2)和N(-2，4)的距离和最小， 如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小， 120 __ ∵N(-2，4)，Q(0，-2) PM+PN的最小值=P′N+P′Q=NQ= =2 ， ∴AC+BD的最小值为2 ． 解法二：如图，将线段DB向左平移到CE的位置， 121 作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′． ___ 则E(-2，4)，A′(0，-2)，AC+BD=CA′+CE≥EA′， EA′= =2 ， ∴AC+BD的最小值为2 ．故选：B． 122 36.如图．已知△ABC．∠ACB=30°，CP为∠ACB的平分线，且CP=6，点M、N分别是边AC和BC上的动点，则△PMN周长的最小值为( ____ ) A.4 B.6 C.6 D.10 【解析】解：作点P关于AC的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC于N，连接CE、CF．此时△PMN的周长最小． B 123 ___ 由对称的性质可知，∠ACP=∠ACE，∠PCB=∠BCF，CP=CE=CF=6， ∵∠ACB=30°， ∴∠ECF=60°， ∴△CEF是等边三角形， ∴EF=CE=6， ∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=EM+MN+NF=EF=6，故选：B． 124 37.如图，定直线MN∥PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC=12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ=60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE=4，DF=8，AD=24 ，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为( ____ ) _______ A.24 B.24 C 125 C.12 D.12 【解析】解：如图， _____ 作DL⊥PQ于L，过点A作PQ的垂线，过点D作PQ的平行线，它们交于点R，延长DF至T，使DT=BC=12，连接AT， AT交MN于B′，作B′C′∥BC，交PQ于C′，则当BC在B′C′时，AB+ 126 CD最小，最小值为AT的长， 可得AK=AE•sin60°= =2 ，DL= =4 ， =6 ， ∴AR=2 +6 +4 =12 ， ∵AD=24 ， ∴sin∠ADR= = ， ∴∠ADR=30°， ∵∠PFD=60°， 127 ∴∠ADT=90°， ∴AT= = =12 ， 故答案为：C． 128 38.如图，∠AOB=60°，点P到OA的距离是2，到OB的距离是3，M，N分别是OA，OB上的动点，则△PMN周长的最小值是( ____ ) A. B. C.9 D. A 129 【解析】解：作P点分别关于OA、OB的对称点P'、P''，连接P'P''，分别交OA、OB于M、N， 则MP=MP'，NP=NP''，OP=OP'=OP''，∠BOP=∠BOP''，∠AOP=∠AOP'， ∴PN+PM+MN=NP''+MN+MP'=P'P''， ∠P'OP''=2∠AOB=120°， ∴此时△PMN周长最小值为P'P''， 延长P'P，交OB与D． ∵∠AOB=60°， ∴∠P'PP''=120°， ∴∠EPD=60°， 130 ∴∠D=30°， ∵PE=3， ∴PD=2PE=6， ∴CD=CP+PD=2+6=8， ∴OC= CD= ， ∴OP= = = ， ∴P'P''= OP= =2 ， 即△PMN周长的最小值是2 ．故选：A． 131 39.如图，已知∠AOB=60°，点D是∠AOB的平分线上的一点，点E，F分别是射线OA和射线OB上的点，且DE=DF，∠EDF＞90°．下列结论中正确的是( ____ ) A.∠EDF是一个定值 B.四边形DEOF的面积是一个定值 C.当DE⊥OA时，△DEF的周长最小 D.当DE∥OB时，DF也平行OA 【解析】解：过点D作DM⊥OA于点M，DN⊥OB于点N，DG⊥EF于点G，如图所示： C 132 ____ ∵点D是∠AOB的平分线上的一点， ∴DM=DN， ∵DE=DF， ∴Rt△DEM≌Rt△DFN(HL)， ∴∠EDM=∠FDN，S△DEM=S△DFN， ∴∠EDM+∠EDN=∠EDN+∠FDN， ∴∠MDN=∠EDF， ∵∠DMO=∠DNO=90°，∠AOB=60°， 133 ∴∠MON=360°-90°-90°-60°=120°， ∴∠EDF=120°， 即∠EDF是一个定值；当E、F关于OD对称时，DE=DF，∠EDF不固定， ___ 故A错误，不符合题意； ∵S△DEM=S△DFN， ∴S△DEM+S四边形DEON=S四边形DEON+S△DFN， 134 即S四边形DEOF=S四边形DMON， ∵四边形DMON的面积是一个定值， ∴四边形DEOF的面积是一个定值，当E、F关于OD对称时，DE=DF，∠EDF不固定， ___ 四边形DEOF的面积不固定， 故B错误，不符合题意； 135 ∵DG⊥EF，DE=DF， ∴EG=FG， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴当DE最小时，△DEF的周长最小， ∵垂线段最短， ∴当DE⊥OA时，DE最小，△DEF的周长最小，故C正确，符合题意； ∵DE∥OB时，∠DEO=180°-∠ABC=120°， 136 ∴∠DFO=360°-∠EDF-∠DEO-∠AOB=60°， ∴∠AOB+∠DFO=60°+60°=120°≠180°， ∴DF一定与OA不平行，故D错误，不符合题意． 故选：C． 137 40.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则DE+EF+FD的最小值是( ____ ) A.2.5 B.3.5 C.4.8 D.6 【解析】解：如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，DN，DM，EN，FM． C 138 ___ ∵∠MCA=∠DCA，∠BCD=∠BCN，∠BCD+∠ACD=90°， ∴∠DCN+∠DCM=180°， 139 ∴M、C、N共线， ∵DF+DE+EF=FM+EF+EN， ∵FM+EF+EN≥MN， ∴当F、E、M、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD， ∵CD⊥AB， ∴ AB•CD= BC•AC， ∴CD= =2.4 ∴DE+EF+FD的最小值为4.8． 故选：C． 140 41.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=30°，BC=4，D为AB边上一动点(不与点A重合)，△AED为等边三角形，过点D作DE的垂线，F为垂线上任意一点，连接EF，G为EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值是( ____ ) A. B. C. D.10 A 141 【解析】解：∵∠C=90°，∠CAB=30°，BC=4， ∴AB=8，AC= =4 ， 取DE的中点H，连接HG，AH， ____ ∵DE⊥DF，G为EF的中点， ∴GH∥DF， ∴GH⊥DE， ∵△AED为等边三角形， 142 ∴AH⊥DE，∠DAH=30°， ∴A，H，G三点共线， ∴点G在直线AH上运动， 作点C关于AH的对称点C′，连接CC′交AH于点N，连接BC′，作BM⊥CC′， ∴CG=C'G， ∴BG+CG=BG+C′G≥BC′，AN垂直平分CC′， ∴当B，G，C′三点共线时，BG+CG的值最小，最小值为BC'， ∵∠CAB=30°， ∴∠CAH=∠CAD+∠DAH=60°， ∴∠ACN=30°， 143 ∴AN= AC=2 ， ∴CN= =6， ∴CC′=2CN=12， ∵∠ACB=90°，∠ACN=30°， ∴∠BCM=60°， ∵BM⊥CC′， ∴∠CBM=30°， ∴CM= BC=2， ∴BM= =2 ，C′M=CC′-CM=10， 144 ∴BC'= =4 ． ∴BG+CG的最小值是 ， 故选：A． 145 42.如图，平面直角坐标系中有三点A(2，3)、B(1，4)、C(0，1)，在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则OD=　　． 【解析】解：如图， ___ 取E(0，-1)，连接AE，交x轴于D， 则四边形ABCD的周长最小， 146 设AE的解析式是：y=kx-1， 当x=2时，y=3， ∴2k-1=3， ∴k=2， ∴y=2x-1， 当y=0时，2x-1=0， ∴x= ， ∴OD= ， 故答案为： ． 147 43.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 　　． 【解析】解：如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，PA，EM，FN，AE，AF． _____ ∵∠BAC=90°，AB=4，AC=3， 148 ∴BC= = =5， 由对称的性质可知，AE=AP=AF，∠BAP=∠BAE，∠CAP=∠CAF， ∵∠PAB+∠PAC=∠BAC=90°， ∴∠EAF=180°， ∴E，A，F共线， ∵ME=MP，NF=NP， ∴PM+MN+PN=EM+MN+NF， ∵EM+MN+NF≥EF， ∴EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小， ∵EF=2PA， ∴当PA⊥BC时，PA的值最小，此时PA= 149 = ， ∴PM+MN+PN≥ ， ∴PM+MN+PN的最小值为 ． 故答案为： ． 150 44.已知如图，AB=8，AC=4，∠BAC=60°，BC所在圆的圆心是点O，∠BOC=60°，分别在 、线段AB和AC上选取点P、E、F，则PE+EF+FP的最小值为 　　． 【解析】解：如图，连接BC，AO，作点P关于AB的对称点M，作点P关于AC的对称点N，连接MN交AB于E，交AC于F，此时△PEF的周长=PE+PF+EF=EM+EF+FN=MN， 151 __ ∴当MN的值最小时，△PEF的值最小， ∵AP=AM=AN，∠BAM=∠BAP，∠CAP=∠CAN，∠BAC=60°， ∴∠MAN=120°， ∴MN= AM= PA， ∴当PA的值最小时，MN的值最小， 152 取AB的中点J，连接CJ． ∵AB=8，AC=4， ∴AJ=JB=AC=4， ∵∠JAC=60°， ∴△JAC是等边三角形， ∴JC=JA=JB， ∴∠ACB=90°， ∴BC= = =4 ， ∵∠BOC=60°，OB=OC， ∴△OBC是等边三角形， 153 ∴OB=OC=BC=4 ，∠BCO=60°， ∴∠ACH=30°， ∵AH⊥OH， ∴AH= AC=2，CH= AH=2 ， ∴OH=6 ， ∴OA= = =4 ， ∵当点P在直线OA上时，PA的值最小，最小值为4 -4 ， ∴MN的最小值为 •(4 -4 )=4 -12．故答案为4 -12． 154 45.如图，点B在射线AN上，以AB为边作等边△ABC，M为AN中点，且AN=4，P为BC中点，当PM+PN最小时，AB=　　． 【解析】解：如图，在AC边上截取CM′=BM， _____ ∵△ABC是等边三角形， ∴∠C=∠CBA=60°， ∵P为BC中点， 155 ∴CP=BP， 在△CPM′和△BPM中， ， ∴△CPM′≌△BPM(SAS)， ∴PM′=PM， ∴PM+PN=PM′+PN， ∵PM′+PN≥M′N， 当NM′⊥AC时，NM′最小， ∴NM′= AM′=2 ，即PM+PN最小为2 ， 156 如图，作PM′⊥AC于点M′，作PM″⊥AB于点M″，连接AP， _____ ∵△ABC是等边三角形，P为BC中点， ∴PM′=PM″，∠PAM′=30°， ∵AM′=AM″=2， ∴PM″=PM′=2× = ， ∵∠PBM″=60°， 157 ∴BM″= ， ∴AB=AM″+BM″=2+ = ． 故答案为： ． 158 46.如图，在等腰△ABC中，底边BC的长为5cm,面积是20cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 ____ cm. 【解析】解：连接AD， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC= BC•AD= ×5×AD=20，解得AD=8， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， 8 159 ∴AD的长为BM+MD的最小值， ∴△CDM周长的最小值=(BM+MD)+CD=AD=8． 故答案为：8． 160 47.如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是 _____ ． 【解析】解：如图，连接CF， ∵△ABC、△BEF都是等边三角形， ∴AB=BC=AC，BE=EF=BF，∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠EBF=∠BEF=∠BFE=60°， ∴∠ABC-∠EBD=∠EBF-∠EBD， ∴∠ABE=∠CBF， 30° 161 在△BAE和△BCF中， ， ∴△BAE≌△BCF(SAS)， ∴∠BCF=∠BAD=30°， 如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD=FG， ∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，且BG⊥CG时，△BDF的周长最小， 由轴对称的性质，可得∠DCG=2∠BCF=60°，CD=CG， ∴△DCG是等边三角形， 162 ∴DG=DC=DB， ∴∠DBG=∠DGB= ∠CDG=30°， 故答案为：30°． 163 48.如图，现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小？(保留作图痕迹及简要说明) 【解析】解：如图，作点B关于公路的对称点B′，连接AB′，交公路于点C， 则这个基地建在C处，才能使它到这两个超市的距离之和最小． 164 49.如图，A，B两个小镇在河流CD的同侧，到河的距离分别为AC=6千米，BD=14千米，且CD=15千米，现要在河边建一自来水厂，同时向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最省，并求出总费用是多少？ 【解析】解：作点A关于直线CD的对称点A'．连接BA'，交CD于点M，则A'B=AM+BM， 此时AM+BM为铺设水管的最短路线， 过A'作CD的平行线，交BD的延长线于点E，得Rt△ 165 A'BE， ∵DE=A'C=AC=6千米，BE=DE+BD=20千米，A'E=CD=15千米，∴A'B= = =25， ∴总费用是：3×25=75(万元)． 166 50.如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上． (1)求出AB的长． (2)求出△ABC的周长的最小值？ 【解析】解：(1)作AD⊥OB于D，如图1所示： 则∠ADB=90°，OD=1，AD=4，OB=3， ∴BD=3-1=2， ∴AB= ； (2)要使△ABC的周长最小，AB一定， 167 则AC+BC最小， 作A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点C， 点C即为使AC+BC最小的点， 作A′E⊥x轴于E， 由对称的性质得：AC=A′C， 则AC+BC=A′B，A′E=4，OE=1， ∴BE=4， 由勾股定理得：A′B= ， ∴△ABC的周长的最小值为2 +4 ． 168 $$