第12章 全等三角形 基础题过关检测★【6个考点50题专练】—【冲刺满分】课件2024-2025学年人教版数学八年级上册

第12章 全等三角形 基础题过关检测★ 【6个考点50题专练】 【冲刺满分】2024−2025学年 人教版数学八年级上册 1 一．全等图形 二．全等三角形的性质 三．全等三角形的判定 四．全等三角形的判定与性质 五．全等三角形的应用 六．角平分线的性质 2 一．全等图形 3 1.下列说法正确的是( ____ ) A.形状相同的两个图形一定全等 B.两个长方形是全等图形 C.两个全等图形面积一定相等 D.两个正方形一定是全等图形 【解析】解：A、形状相同、大小相等的两个图形一定全等，故本选项不符合题意； B、长方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意； C、两个全等图形面积一定相等，故本选项符合题意； D、两个正方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意；故选：C． C 4 二．全等三角形的性质 5 2.如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE=4，BD=13，则AB等于( ____ ) A.7 B.8 C.9 D.10 【解析】解：∵△ABC≌△CDE， ∴AB=CD，BC=DE=4， ∵BD=13， ∴CD=BD-BC=13-4=9，∴AB=CD=9． 故选：C． C 6 3.如图，△ABC≌△DEF，边BC和EF在同一条直线上．若BC=4cm,BF=6cm,则BE长为( ____ ) A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 【解析】解：∵△ABC≌△DEF， ∴EF=BC=4cm, ∴BE=BF-EF=6-4=2(cm)， 故选：B． B 7 4.如图中的两个三角形全等，则∠α等于( ____ ) A.50° B.60° C.70° D.无法确定 【解析】解：∵两个三角形全等， ∴∠α的度数=180°-60°-70°=50°． 故选：A． A 8 三．全等三角形的判定 9 5.下列条件中，不能作出唯一三角形的是( ____ ) A.AB=2，BC=3，CA=4 B.AB=3.5，AC=2.5，∠B=40° C.AB=2，∠A=60°，CA=4 D.∠B=40°，∠A=60°，CA=4 【解析】解：因为AB=2，BC=3，CA=4， 根据全等三角形的判定定理“SSS”可知， 此时三角形唯一确定． 故A选项不符合题意． 因为AB=3.5，AC=2.5，∠B=40°， B 10 则此时△ABC的两边及其中一边的对角确定， 所以无法确定三角形． 故B选项符合题意． 因为AB=2，∠A=60°，CA=4， 根据全等三角形的判定定理“SAS”可知， 此时三角形唯一确定． 故C选项不符合题意． 因为∠B=40°，∠A=60°，CA=4， 根据全等三角形的判定定理“AAS”可知， 此时三角形唯一确定． 故D选项不符合题意．故选：B． 11 6.如图，在△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB=135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP=∠ABC；④AH+BD=AB；其中正确的个数是( ____ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】解：在△ABC中，∠ACB=90°， C 12 ∴∠CAB+∠CBA=90°， ∵AD、BE分别平分∠CAB、∠CBA， ∴ ， ， ∴ ， ∴∠APB=180°-(∠PAB+∠PBA)=180°-45°=135°，故结论①正确； ∴∠BPD=180°-∠APB=180°-135°=45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPA=∠FPD=90°， ∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=90°+45°=135°， ∴∠APB=∠FPB， 13 在△ABP和△FBP中， ， ∴△ABP≌△FBP(ASA)，故结论②正确； ∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF， ∴∠PAH=∠PFD， 在△PAH和△P F D中， ， 14 ∴△PAH≌△PFD(ASA)， ∴AH=FD，∠AHP=∠FDP， ∵∠FDP是△ABD的外角， ∴∠FDP＞∠ABC， ∴∠AHP＞∠ABC，故结论③错误； 又∵AH=FD，AB=FB， ∴AB=FB=FD+BD=AH+BD， 即AH+BD=AB，故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 15 7.如图，AC与BD相交于点O，OA=OD，OB=OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是( ____ ) A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA 【解析】解：在△ABO和△DCO中， ，∴△ABO≌△DCO(SAS)， 故选：B． B 16 8.如图，已知∠ACB=∠ACD，下列条件中，添加后仍不能判定△ABC≌△ADC的是( ____ ) A.AB=AD B.BC=DC C.∠CAB=∠CAD D.∠B=∠D 【解析】解：A、∵AB=AD，∠ACB=∠ACD，AC=AC，∴不能证明△ABC≌△ADC，故该选项是符合题意的； B、∵BC=DC，∠ACB=∠ACD，AC=AC，∴能证明△ABC≌△ADC(SAS)，故该选项是不符合题意的； A 17 C、∵∠CAB=∠CAD，∠ACB=∠ACD，AC=AC，∴能证明△ABC≌△ADC(ASA)，故该选项是不符合题意的； D、∵∠B=∠D，∠ACB=∠ACD，AC=AC，∴能证明△ABC≌△ADC(AAS)，故该选项是不符合题意的； 故选：A． 18 9.在一次数学活动课中，王老师布置学生“用角尺平分一个任意角”的学习任务．某位同学的做法是：如图，在∠AOB的边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB的平分线OP作法中用到三角形全等的判定方法是( ____ ) A.SSS B.SAS C.ASA D.HL A 19 【解析】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是SSS； 证明： ∵ ， ∴△ONP≌△OMP(SSS)， ∴∠NOP=∠MOP， 故OP为∠AOB的平分线． 故选：A． 20 10.根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是( ____ ) A.∠C=90°，AB=6 B.AB=4，BC=3，∠A=30° C.∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D.AB=3，BC=4，CA=8 【解析】解：A．如图Rt△ACB和Rt△ADB的斜边都是AB，但是两三角形不一定全等，故本选项不符合题意； C 21 ___ B．AB=4，BC=3，∠A=30°，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； C．∠A=60°，∠B=45°，AB=4，符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； D．3+4＜8，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 22 11.如图所示，已知四边形ABCD中，AB=12cm,BC=8cm,CD=14cm,∠B=∠C，点E为线段AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上面点C向点D运动．当点Q的运动速度为 　　cm/s时，能够使△BPE与△CPQ全等． 【解析】解：设运动时间为t秒，点Q的运动速度是v cm/s,则BP=3t cm,CQ=vt cm,CP=(8-3t)cm, ∵E为AB的中点，AB=12cm, ∴BE=AE=6cm, 23 ∵∠B=∠C， ∴要使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，必须BE=CP，BP=CQ或BE=CQ，BP=CP， 当BE=CP，BP=CQ时，6=8-3t,3t=vt, 解得：t= ，v=3，即点Q的运动速度是3cm/s, 当BE=CQ，BP=CP时，6=vt,3t=8-3t, 解得：t= ，v= ，即点Q的运动速度是 cm/s, 综合上述，当点Q的运动速度为3cm/s或 cm/s时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．故答案为：3cm/s或 cm/s. 24 12.如图，AD，BE是△ABC的两条高线，只需添加一个条件即可证明△AEB≌△BDA(不添加其它字母及辅助线)，这个条件可以是 _______________________ ．(写出一个即可) 【解析】解：添加BD=AE， ∵AD，BE是△ABC的两条高线， ∴∠BEA=∠ADB=90°， 在Rt△AEB和Rt△BDA中， ， BD=AE(答案不唯一) 25 ∴Rt△AEB≌Rt△BDA(HL)， 故答案为：BD=AE(答案不唯一)． 26 13.如图，∠ABC=∠ADE，∠BAD=∠CAE，AC=AE，求证：△ABC≌△ADE． ___ 【解析】证明：∵∠BAD=∠CAE， ∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD， 即∠BAC=∠DAE． 在△ABC和△ADE中， 27 ， ∴△ABC≌△ADE(AAS)． 28 四．全等三角形的判定与性质 29 14.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF交于点I，AE交BC于点E，BF交AC于点F，连接IC．过点I作ID⊥BC于点D，若ID=h,AB=c,AC=b,BC=a,现给出以下结论： ①∠ACI=∠BCI； ②∠BIC=90°+∠BAC； ③ ； ④当∠ACB=60°时，AF+BE=AB； ⑤当∠ACB=90°时， ； 其中，正确结论的个数是( ____ ) B 30 A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】解：如图1，作IG⊥AC于点G，IH⊥AB于点H， ∵AE平分∠BAC交BC于点E， ∴IF=IH， ∵BF平分∠ABC交AC于点F，ID⊥BC于点D， ∴ID=IH， 31 ∴IF=ID， ∴点I在∠ACB的平分线上， ∴CI平分∠ACB， ∴∠ACI=∠BCI， 故①正确； ∵∠IBC= ∠ABC，∠ICB= ∠ACB， ∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°- (∠ABC+∠ACB)， ∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC， ∴∠BIC=180°- (180°-∠BAC)=90°+ ∠BAC≠90°+∠BAC， 32 故②错误； ∵IF=IH=ID=h,AB=c,BC=a,AC=b, ∴S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△ACI= AB•IH+ BC•ID+ AC•IF= h(a+b+c)， ∴h= ≠ ， 故③错误； 如图2，在AB上截取AL=AF，连接IL， ∵∠ACB=60°， ∴∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=120°， 33 ∵∠IAB= ∠BAC，∠IBA= ∠ABC， ∴∠IAB+∠IBA= (∠BAC+∠ABC)= ×120°=60°， ∴∠AIB=180°-(∠IAB+∠IBA)=180°-60°=120°， ∴∠AIF=∠BIE=180°-∠AIB=180°-120°=60°， 在△AIL和△AIF中， ， ∴△AIL≌△AIF(SAS)， ∴∠AIL=∠AIF=60°， 34 ∴∠BIL=∠AIB-∠AIL=120°-60°=60°， ∴∠BIL=∠BIE， 在△BIL和△BIE中， ， ∴△BIL≌△BIE(ASA)， ∴BL=BE， ∴AF+BE=AL+BL=AB， 故④正确； 如图3，∠ACB=90°， 35 作IG⊥AC于点G，IH⊥AB于点H，则∠AGI=∠AHI=∠BHI=∠BDI=90°， ∵∠IGC=∠IDC=∠DCG=90°， ∴四边形IDCG是矩形， ∵IG=ID=IH， ∴四边形IDCG是正方形， ∴CG=CD=ID=h, 在Rt△AIG和Rt△AIH中， ， ∴Rt△AIG≌Rt△AIH(HL)， 36 ∴AG=AH， 在Rt△BID和Rt△BIH中， ， ∴Rt△BID≌Rt△BIH(HL)， ∴BD=BH， ∴CG+CD=2h=BC+AC-AG-BD=BC+AC-(AH+BH)=BC+AC-AB=a+b-c, ∴h= ， 故⑤正确， 故选：B． 37 15.如图，∠A=∠EGF，F为BE，CG的中点，DB=5，DE=8，则AD的长为( ____ ) A.1.5 B.2 C.3 D.5.5 【解析】解：∵F为BE，CG的中点， ∴EF=BF，GF=CF， 在△EFG和△BFC中， A 38 ， ∴△EFG≌△BFC(SAS)， ∴GE=CB，∠EGF=∠C， ∵∠A=∠EGF，∠AGD=∠EGF， ∴∠A=∠AGD=∠C， ∴AD=GD，AB=CB， ∴GE=AB， ∴DE=GD+GE=AD+AB=AD+AD+DB=2AD+DB， ∵DB=5，DE=8， 39 ∴2AD+5=8， 解得AD=1.5， 故选：A． 40 16.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，DE⊥BC于点E，且BE=AB．若AB= ，则 的值为( ____ ) A. B. C. D. B 41 【解析】解：连接BD，如图， ∵AD⊥DC，DE⊥BC， ∴∠ADC=90°，∠DEB=90°， ∵AB∥CD， ∴∠A=90°， 在Rt△DAB和Rt△DEB中， ， ∴Rt△DAB≌Rt△DEB(HL)， ∴∠DBA=∠DBE， ∵AB∥CD， 42 ∴∠CDB=∠DBA， ∴∠DBE=∠CDB， ∴CB=CD， ∵AB= ， ∴BE= CB， ∴BE= CE， 即 = ． 故选：B． 43 17.已知△ABC的高AD，BE所在的直线交于点F，若BF=AC，则∠ABC的度数为 _____________ ． 【解析】解：①若△ABC为锐角三角形时，∠BAC为锐角，如图1， ∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠C+∠CBE=90°，∠C+∠CAD=90°， ∴∠CBF=∠CAD， 在△BDF和△ADC中， 45°或135° 44 ， ∴△BDF≌△ADC(AAS)， ∴BD=AD， ∴∠ABD=45°， 即∠ABC=45°． ②若△ABC为钝角三角形时，∠ABC为钝角，如图2， 45 __ 同理可证△BDF≌△ADC(AAS)， ∴BD=AD， ∴∠ABD=45°， ∴∠ABC=135°， 综上所述，∠ABC的度数为45°或135°．故答案为：45°或135°． 46 18.如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为1，两边的正方形面积分别是S1，S2，则：S1+S2= ____ ． 【解析】解：如图， ______ ∵a、b、c都是正方形， ∴AC=CD，∠ACD=90°， ∴∠ACB+∠DCE=90°， 1 47 ∵∠ACB+∠BAC=90°， ∴∠BAC=∠DCE， 在△ACB和△DCE中， ， ∴△ACB≌△CDE(AAS)， ∴AB=CE，BC=DE； 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2， 即Sb=Sa+Sc=1， ∴S1+S2=1．故答案为：1． 48 19.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7cm,BC=3cm,CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 ______ s时，CF=AB． 【解析】解：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠CBD=90°， ∵CD为AB边上的高， ∴∠CDB=90°， ∴∠BCD+∠CBD=90°， ∴∠A=∠BCD， 2或5 49 ∵∠BCD=∠ECF， ∴∠ECF=∠A， ∵过点E作BC的垂线交直线CD于点F， ∴∠CEF=90°=∠ACB， 在△CEF和△ACB中， ， ∴△CEF≌△ACB(AAS)， ∴CE=AC=7cm, ①如图，当点E在射线BC上移动时，BE=CE+BC=7+3=10(cm)， 50 ∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动， ∴E移动了： =5(s)； ②当点E在射线CB上移动时，CE′=AC-BC=7-3=4(cm)， ∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动， ∴E移动了： =2(s)； 综上所述，当点E在射线CB上移动5s或2s时，CF=AB； 故答案为：2或5． 51 20.如图，已知AB=AC，PB=PC，AP交BC于点D，点E在线段AD的延长线上．给出下列结论：①BE=CE；②AD⊥BC；③EA平分∠BEC；④∠PBC=∠PCB；⑤图中共有6对全等三角形；⑥S四边形ABEC= BC•AE．其中正确的结论是 _________ ．(填写所有正确结论的序号) 【解析】解：∵AB=AC，PB=PC，AP=AP， ∴△ABP≌△ACP， ∴∠BAP=∠CAP， ∵AB=AC，AE=AE， ∴△ABE≌△ACE， ①②③④⑤⑥ 52 ∴BE=CE， 故①符合题意； ∵BE=CE， ∴∠BEA=∠CEA， 即AE平分∠BEC， 故③符合题意； ∵∠BAD=∠CAD，AB=AC，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD， ∴∠ADB=∠ADC， ∵∠ADB+∠ADC=180°， ∴AD⊥BC， 53 故②符合题意； ∵PB=PC， ∴∠PBC=∠PCB， 故④符合题意； 图中全等三角形：△ABP≌△ACP，△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BPD≌△CPD，△BPE≌△CPE，△EBD≌△ECD，共6对， 故⑤符合题意， ∵AD是线段BC的垂直平分线， ∴AD⊥BC， ∴S四边形ABEC=2S△ABE=2× = = 54 ， 故⑥符合题意． 故答案为：①②③④⑤⑥． 55 21.在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值是 ____ ． ___________ 【解析】解：在△ABC和△CDE中， ， 10 56 __________ ∴△ABC≌△CDE(ASA)， ∴AB=CD，BC=DE， ∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=9， 同理可证FG2+LK2=HL2=1， ∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=9+1=10． 故答案为：10． 57 22.已知：AC与BD交于点O，AB=CD，AD=CB． 求证：OD=OB (规范证明过程) 证明：在△ABD和△CDB中， _______ ∴△ABD≌△CDB ________ ∴∠ ____ =∠ ____ 在△AOD和△COB中， _______ ∴△AOD≌△COB ________ ∴OD=OB． (SSS) 1 2 (AAS) 58 【解析】证明：∵在△ABD和△CDB中 ∴△ABD≌△CDB(SSS)， ∴∠1=∠2， 在△AOD和△COB中 ∴△AOD≌△COB(AAS)，∴OD=OB， 故答案为：(SSS)，1，2，(AAS)． 59 23.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A=∠BEC，且AD=BE． (1)求证：△ABD≌△ECB； (2)如果∠BDC=75°，求∠ADB的度数． 【解析】(1)证明∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBE， 在△ABD和△ECB中， ， 60 ∴△ABD≌△ECB(ASA)； (2)解：∵△ABD≌△ECB， ∴BD=BC， ∴∠BDC=∠BCD=75°， ∴∠DBC=30°， ∴∠ADB=∠CBD=30°． 61 24.如图，在△ABC和△CED中，AB//CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠D=∠BCA． 【解析】证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠DCE， 在△ABC和△CED中， ， ∴△ABC≌△CED(SAS)， ∴∠D=∠BCA． 62 25.如图，A、D、B、E四点在同一条直线上，AD=BE，BC∥EF，BC=EF． (1)求证：AC=DF； (2)若CD为∠ACB的平分线，∠A=25°，∠E=71°，求∠CDF的度数． 【解析】证明：(1)∵AD=BE ∴AB=DE ∵BC∥EF ∴∠ABC=∠DEF，且AB=BE，BC=EF ∴△ABC≌△DEF(SAS) 63 ∴AC=DF (2)∵△ABC≌△DEF ∴∠ABC=∠E=71°，∠A=∠FDE=25° ∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=84° ∵CD为∠ACB的平分线 ∴∠ACD=42°=∠BCD ∵∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDF+∠EDF ∴∠CDF=42° 64 26.如图，点A，F，B，E在同一条直线上，点C、D在AE的同侧，连接AC，BC，DF，DE，∠A=∠D，DE∥BC，AB=DE，试说明∠C=∠DFE． 【解析】证明：∵DE∥BC， ∴∠ABC=∠DEF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF(ASA)，∴∠C=∠DFE． 65 27.如图，已知AC∥DF，AC=DF，BE=CF，求证：∠A=∠D． 【解析】证明：∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠F， ∵BE=CF， ∴BE+CE=CF+CE， ∴BC=EF， 在△ABC和△DEF中， 66 ， ∴△ABC≌△DEF(SAS)， ∴∠A=∠D． 67 28.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，过点B，C分别作BF⊥AD，CE⊥AD，垂足为E，F． (1)求证：BF=CE． (2)若BF=3，AE=2，求AC的长． 【解析】(1)证明：∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD ∵BF⊥AD，CE⊥AD， ∴∠BFD=∠CED=90° 在△BFD和△CED中 68 ， ∴△BFD≌△CED(AAS)， ∴BF=CE； (2)解：在△AEC中，CE=BF=3，AE=2， ∴ ． 69 29.将△ABC和△DEF如图放置．已知AB=DE，∠ACB=∠EFD=90°，AB∥EF，求证：AC=FD． 【解析】证明：∵AB∥EF， ∴∠ABC=∠DEF， 又AB=DE，∠ACB=∠EFD=90°， ∴△ABC≌△DEF(ASA))， ∴AC=FD． 70 30.如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC． (1)求证：△ABE≌△DCE； (2)求证：∠EBC=∠ECB． 【解析】(1)证明：在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE(AAS)； (2)∵△ABE≌△DCE， 71 ∴EB=EC， ∴△EBC是等腰三角形， ∴∠EBC=∠ECB． 72 31.如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=25°，过点A作AD⊥BC，垂足为D，延长DA至E．使得AE=AC．在边AC上截取AF=AB，连结EF． (1)求∠EAF的度数． (2)求证：EF=BC． 【解析】(1)解：∵AD⊥BC． ∴∠ADC=90°． ∵∠C=25°， ∴∠EAF=∠ADC+∠C=115°； (2)证明：在△ABC中，∠B=40°，∠C=25°， 73 ∴∠CAB=180°-∠B-∠C=115°． ∴∠EAF=∠CAB． 在△EAF和△CAB中， ， ∴△EAF≌△CAB(SAS)， ∴EF=CB． 74 32.已知，如图，点E、F在CD上，且CE=DF，AE=BF，AE∥BF．求证：AC=BD． 【解析】证明：∵AE∥BF， ∴∠AEC=∠BFD， 在△AEC与△BFD中， ， ∴△AEC≌△BFD(AAS)， ∴AC=BD． 75 33.已知：Rt△ABC中，∠B=90°，D是BC上一点，DF⊥BC交AC于点H，且DF=BC，FG⊥AC交BC于点E． 求证：AB=DE． 【解析】证明：∵FG⊥AC，FD⊥BC， ∴∠ABC=∠FDE=∠EGC=90°， ∴∠A+∠C=90°=∠C+∠GEC， ∴∠A=∠GEC， 在△ABC和△EDF中， 76 ， ∴△ABC≌△EDF(AAS)， ∴AB=DE． 77 34.如图，OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB，试说明：AB=CD． 【解析】证明：∵∠AOD=∠COB， ∴∠AOD-∠BOD=∠COB-∠BOD， 即∠AOB=∠COD． 在△AOB 和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD(SAS)，∴AB=CD． 78 五．全等三角形的应用 79 35.如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点O既是AA′的中点，也是BB′的中点，若测得AB=3.5cm,则该内槽A′B′的宽为 _____ cm. 【解析】解：∵点O既是AA′的中点，也是BB′的中点， ∴OA=OA′，OB=OB′， 在△AOB和△A′OB′中， ， ∴△AOB≌△A′OB′(SAS)， 3.5 80 ∴AB=A′B′=3.5cm, 故答案为：3.5． 81 六．角平分线的性质 82 36.如图，在△ABC，∠C=90°，AD平分∠BAC交CB于点D，过点D作DE⊥AB，垂足恰好是边AB的中点E，若AD=3cm,则BE的长为( ____ ) A. B.4cm C. D.6cm 【解析】解：∵DE⊥AB，E为AB的中点， ∴AD=BD， A 83 ∴∠B=∠BAD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD=∠BAD， ∴∠B=∠CAD=∠BAD， ∵∠C=90°， ∴∠B+∠BAD+∠CAD=180°-∠C=90°， ∴∠B=∠CAD=30°， ∵∠C=90°，AD=3cm, ∴CD= AD= cm, 由勾股定理得：AC= = 84 = (cm)， ∴AB=2AC=3 cm, ∴BE=AE= AB= (cm)， 故选：A． 85 37.如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：(1)PE=PF；(2)点P在∠COD的平分线上；(3)∠APB=90°-∠O，其中正确的有( ____ ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【解析】解：(1)证明：作PH⊥AB于H， ∵AP是∠CAB的平分线， C 86 ∴∠PAE=∠PAH， 在△PEA和△PHA中， ， ∴△PEA≌△PHA(AAS)， ∴PE=PH， ∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD， ∴PF=PH， ∴PE=PF， ∴(1)正确； 87 (2)与(1)可知：PE=PF， 又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F， ∴点P在∠COD的平分线上， ∴(2)正确； (3)∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP=360°， 又∵∠OEP+∠OFP=90°+90°=180°， ∴∠O+∠EPF=180°， 即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB=180°， 由(1)知：△PEA≌△PHA， ∴∠EPA=∠HPA， 同理：∠FPB=∠HPB， 88 ∴∠O+2(∠HPA+∠HPB)=180°， 即∠O+2∠APB=180°， ∴∠APB=90°- ， ∴(3)错误； 故选：C． 89 38.如图，已知∠ABC，以点B为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线BA，BC于 点M，N，分别以点M，N为圆心，大于 MN长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线BC上取点H，以点H为圆心，以线段BH长为半径作弧交射线BP于点D；点E，F分别在射线BA，HD上，∠AEF=68°，射线EF，BD交于点G，∠FDG=39°，则∠EGB=( ____ ) A.29° B.30° C.38° A 90 D.39° 【解析】解：由基本作图得到BP平分∠ABC，BH=DH， ∴∠ABP=∠CBP，∠HBD=∠BDH， ∴∠ABP=∠BDH， ∴FH∥AB， ∴∠EFD=∠AEF=68°， ∵∠FDG=39°， ∴∠EGB=∠EFD-∠FDG=68°-39°=29°． 故选：A． 91 39.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，∠B=30°，∠C=45°， ，则CD长是( ____ ) A.1 B. C. D.2 【解析】解：∵DE⊥AB于点E， ，∠B=30°， ∴BD=2DE， B 92 设DE=x,则BD=2DE=2x, ∴BE2+DE2=BD， ∴ ，解得：x=2， ∴DE=2． 如图：作DE⊥AC于点F， ______ ∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE=DF=2， ∵∠C=45°， 93 ∴CF=2， ∴在Rt△CDF中，CF2+DF2=DC2， ∴ ． 故选：B． 94 40.如图，AP平分∠BAC，PD⊥AC于点D，若PD=6，则P到AB的距离是( ____ ) A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】解：∵AP是∠BAC的平分线，PD⊥BC于点D， ∴点P到边AB的距离等于PD=6． 故选：C． C 95 41.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，过点A作BF的垂线，交BF于点P，交BC于点E，若△PBC面积为6cm2，△APC的面积为 ，则△ABP的面积为( ____ ) cm2． A.3 B.4 C. D. C 96 【解析】解：设△ABP的面积为S， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABP=∠EBP， ∴AP⊥BF， ∴∠BPA=∠BPE=90°， ∴∠BAP=∠BEP， ∴BA=BE， ∴AP=PE， ∴S△BPE=S△ABP=S，S△APC=S△EPC， ∴ =6-S， 97 解得S= ． 故选：C． 98 42.在△ABC中，∠A=60°，BC=4 ，BD、CE是△ABC的两条角平分线，分别交AC、AB于点D、E，且BD、CE交于点P，过点P作PF⊥BC于点F，则PF的最大值为( ____ ) A. B.2 C.1 D. 【解析】解：如图，∵∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°， B 99 ∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)=60°， ∴∠BPC=120°=定值， ∴点P的运动轨迹是 ， 当点P是弧BC的中点时，PF的值最大， 此时PB=PC， ∵PF⊥BC， ∴BF=FC=2 ，∠BPF=∠CPF=60°， 100 ∴PF= BF=2， ∴PF的最大值为2． 故选：B． 101 43.如图，在△ABC中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD为∠BAC的平分线，△ABC的面积是28cm,AB=20cm,AC=8cm,DF= ____ cm. 【解析】解：∵△ABC中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD为∠BAC的平分线 ∴DE=DF ∵△ABC的面积是28cm, ∴ AB•ED+12AC×DF=28cm, 则 (AC+AB)•FD=28cm, 2 102 ∴ ×(8+20)FD=28cm, 解得FD=2cm, 故答案为：2． 103 44.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，AB=4，DE=2，则△ABD的面积为 ____ ． 【解析】解：过点D作DF⊥AB于点F，如图所示： ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE=2， ∴DF=DE=2， ∵AB=4， ∴△ABD的面积= AB•DF= =4， 故答案为：4． 4 104 45.在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD是∠BAC的平分线，过点B作AD的垂线交AC于点E，过点D作AD的垂线交AC于点F，则EF的长为 　　． 【解析】解：BE交AD于O点，如图， ∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3， ∴AC= =5， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴ = = ，∠BAO=∠EAO， ∵BE⊥AD， 105 ∴∠AOB=∠AOE， ∴∠ABO=∠AEO， ∴AB=AE=4， ∴CE=AC-AE=1， ∵BE⊥AD，DF⊥AD， ∴DF∥BE， ∴ = = ， ∴ = ， ∴EF= ×1= ． 106 故答案为： ． 107 46.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，CD=3，D到AB的距离是 ____ ． 【解析】解：作DE⊥AB于E，如图， _____ ∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB， ∴DE=DC=3， 故答案为：3． 3 108 47.如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于点B，且PB=3cm,AP=5cm,点E是AC上的一动点，则PE的最小值为 ____ cm. 【解析】解：∵点E是AC上的一动点， ∴当PE⊥AC时，PE的值最小， ∵点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于点B， ∴当PE⊥AC时，PE=PB=3cm； 故答案为：3． 3 109 48.如图，在△ABC中，点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，AB+BC+AC=12，过O作OD⊥BC于点D，且OD=2，则△ABC的面积是 ____ ． 【解析】解：作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC于点F，连接AO，如图所示， ∵点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC于点D，且OD=2， ∴OD=OE=2，OD=OF=2， ∵AB+BC+AC=12，S△AOB+S△BOC+S△AOC= ， 12 110 ∴S△AOB+S△BOC+S△AOC= = =AB+BC+AC=12， ∵S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC， ∴S△ABC=12， 故答案为：12． 111 49.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，若CD=4，则点D到AB的距离为 ____ ． 【解析】解：过点D，作DE⊥AB，交AB于点E， ____ ∵∠ACB=90°，AD平分∠CAB， ∴DE=CD=4， 故答案为：4． 4 112 50.如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于点E，三角形ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，求DE的长． 【解析】解：∵BD平分∠ABC，DE垂直于AB于点E， ∴点D到BC的距离等于DE的长度， ∵AB=18，BC=12， ∴S△ABC=S△ABD+S△BCD = ×18•DE+ ×12•DE = DE(18+12) =15•DE， 113 ∵△ABC的面积等于90， ∴15•DE=90， ∴DE=6． 114 $$