1.3勾股定理的应用 课件 2024-2025学年 北师大版数学八年级上册

第一章　勾股定理 3　勾股定理的应用 数学 九年级上册 BS版 课前预习 典例讲练 目录 CONTENTS 课前导入 数学 八年级上册 BS版 0 1 课前预习 1. 平面内，两点之间 最短. 2. 解有关立体图形表面上的路线问题时，常常把立体图形转化为平面图形，再转化为平面上的路线问题求解. 3. 勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形中缺少直角条件，则可以通过作垂线段的方法构造直角三角形，为勾股定理的应用创造条件. 线段　 数学 八年级上册 BS版 0 2 课前导入 在 A 点的小狗，为了尽快吃到 B 点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？ C B A AC+CB>AB（两点之间线段最短） 思考：在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？ 数学来源于生活，勾股定理的应用在生活中无处不在，观看视频，你能理解小贤和一菲的做法吗？ 问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从 A 处爬到 B 处，问怎么走最近？最短路程怎么求？ A B 蚂蚁从 A→B 的路线 将侧面展开后，根据“两点之间线段最短”可得最短路线. 立体图形中两点之间的最短路程 若已知圆柱体高为 12 cm，底面半径为 3 cm，π 取 3. B A 3 O 12 侧面展开图 12 3π A B A' A' 解：在 Rt△ABA′ 中，由勾股定理得 AB2 = AA′2 + A′B2 立体图形中求两点间的最短路程，一般把立体图形展开成平面图形，根据“两点之间线段最短”确定最短路线，再根据勾股定理求最短路程. 归纳 = AA′2 + A′B2 ≈ 122 + 92 = 225，故 AB ≈ 15 cm. →最短路程 数学 八年级上册 BS版 0 3 典例讲练 如图，有一个水池，水面 BE 的宽为16 dm，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面2 dm.若将这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的高度是 dm. 17　 【解析】设水池的深度为 x dm，则 AB ＝ AD ＝（ x ＋2）dm. 由题意，得 BC ＝ BE ＝8 dm. 在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，由勾股定理，得 AC2＋ BC2＝ AB2， 即 x2＋82＝ （ x ＋2）2，解得 x ＝15.所以 x ＋2＝17. 故这根芦苇的高度是17 dm. 故答案为17. 【点拨】运用勾股定理解决实际问题时，关键是找出几何图形与实际问题的对应关系，即各边、各角的大小，再根据勾股定理直接计算或列方程解答. 一个滑梯的示意图如图所示，若将滑道 AC 水平放置，刚好与 AB 一样长.已知滑梯的高度 CE ＝3.6 m， CD ＝1.2 m，则滑道 AC 的长度是 m. 6　 【解析】设滑道 AC 的长度为 x m， 则 AB ＝ x m， AE ＝（ x －1.2）m. 在Rt△ ACE 中，∠ AEC ＝90°， 由勾股定理，得 AE2＋ CE2＝ AC2， 即（ x －1.2）2＋3.62＝ x2，解得 x ＝6. 即滑道 AC 的长度为6 m. 故答案为6. （1）一个圆柱形油罐的示意图如图所示，底面周长为24 m，高为10 m.从 A 处环绕油罐建梯子，梯子的顶端正好在点 A 的正上方点 B 处，则所建的梯子最短需要多长？ 解：如图，把圆柱形油罐的侧面沿线段 AB 展开成长方形， 则沿 AB 建梯子最节省材料. 由已知，得 AC ＝24 m， BC ＝10 m. 在Rt△ ACB 中，∠ C ＝90°，根据勾股定理，得 AB2＝ AC2＋ BC2＝242＋102＝262， 所以 AB ＝26 m（负值舍去）. 故所建的梯子最短需要26 m. （2）如图，长方体的高是9 cm，底面是边长为4 cm的正方形.一只蚂蚁从点 A 出发，沿着长方体表面经过3个侧面爬到点 B 处，则这只蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 解：如图，将长方体的三个侧面展开. 在Rt△ ACB 中， AC ＝4×3＝12（cm）， BC ＝9 cm，∠ ACB ＝90°. 由勾股定理，得 AB2＝ AC2＋ BC2＝122＋92＝152， 所以 AB ＝15 cm（负值舍去）. 故这只蚂蚁爬行的最短路程是15 cm. 【点拨】求立体图形表面最短路径的一般步骤：（1）把立体图形展开成平面图形（只需展开包含相关点的面）；（2）确定关键点的位置；（3）连接关键点，构造直角三角形；（4）利用勾股定理求解.求最短路径的依据是“两点之间，线段最短”. 如图，一个长方体空木箱的长、宽、高分别为12 m，4 m，3 m，则能放进空木箱中的直木棒（粗细忽略不计）最长为 m. 13　 【解析】如图，因为侧面对角线 CB2＝32＋42＝25＝52， 所以 CB ＝5 m. 因为 AC ＝12 m， 所以 AB2＝ AC2＋ CB2＝122＋52＝169＝132. 因为 AB ＞0，所以 AB ＝13 m. 所以能放进空木箱中的直木棒最长为13 m. 故答案为13. 如图，一只蜘蛛在一个长方体木块的一个顶点 A 处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点 G 处.若 AB ＝3 cm， BC ＝5 cm， BF ＝6 cm，则蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛爬过的路程是多少厘米？ 解：①若把长方体的正面和右面展开在同一平面内，如图1所示（单位：cm）. 这种展开方式的一条直角边 AC ＝ AB ＋ BC ＝8（cm）， 另一条直角边 CG ＝ BF ＝6 cm. 在Rt△ ACG 中，根据勾股定理，得 AG2＝ AC2＋ CG2＝82＋62＝100； ②若把长方体的正面和上面展开在同一平面内， 如图2所示（单位：cm）. 这种展开方式的一条直角边 AB ＝3 cm， 另一条直角边 BG ＝ BF ＋ FG ＝ BF ＋ BC ＝11（cm）. 在Rt△ ABG 中，根据勾股定理，得 AG2＝ AB2＋ BG2＝32＋112＝130； 图1 图2 ③若把长方体的左面和上面展开在同一平面内，如图3所示（单位：cm）. 这种展开方式的一条直角边 GF ＝ BC ＝5 cm， 另一条直角边 AF ＝ AE ＋ EF ＝ BF ＋ AB ＝6＋3＝9（cm）. 在Rt△ AFG 中，根据勾股定理，得AG2＝ AF2＋ GF2＝92＋52＝106. 因为130＞106＞100，且102＝100， 所以蜘蛛沿如图1所示的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，这时蜘蛛爬过的路程是10 cm. 图3 【点拨】本例没有指明从长方体一顶点运动到相对的顶点的具体路线，确定其最短路径问题时，需要进行分类讨论，比较后才能确定.如图， 由点 A 到点 B 的最短路径显然是不能沿长方体的任何一条棱运动的，也就必然由点 A 进入到相邻的两个面，所以到点 B 有六条不同的路径，但不同长度的路径只有三条. （1）如图1，右侧面向前展开，这种展开方式是以（ a ＋ b ）为一条直角边长， c 为另一条直角边长，此时 AB2＝（ a ＋ b ）2＋ c2＝ a2＋ b2＋ c2＋2 ab ； （2）如图2，上底面向前展开，这种展开方式是以（ b ＋ c ）一条直角边长， a 为另一条直角边长，此时 AB 2＝（ b ＋ c ）2＋ a2＝ a2＋ b2＋ c2＋2 bc ； （3）如图3，上底面向左展开，这种展开方式是以（ a ＋ c ）为一条直角边长， b 为另一条直角边长，此时 AB2＝（ a ＋ c ）2＋ b2＝ a2＋ b2＋ c2＋2 ac .通过对三种展开方式的观察和分析，于是有：当 c 最大时，如图1所示的展开方式中的 AB 最短；当 a 最大时，如图2所示的展开方式中的 AB 最短；当 b 最大时，如图3所示的展开方式中的 AB 最短. 图1 图2 图3 如图，圆柱形杯子的高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点 B 处有一滴蜂蜜.此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯口2 cm，且与蜂蜜相对的点 A 处（杯壁厚度不计），则蚂蚁从外壁点 A 处到达内壁点 B 处的最短路程是多少厘米？ 解：如答图，将圆柱的侧面展开，作点 A 关于直线 EF 对称的点A'， 连接A'B交 EF 于点 M ，连接 AM ，则A'B的长度即为折线 AMB 的最短长度. 由题意知，A'D＝ ×24＝12（cm）， BD ＝18＋2－4＝16（cm）. 在Rt△A'DB中，由勾股定理，得 A'B2＝A'D2＋ BD2＝122＋162＝400， 所以A'B＝20 cm（负值舍去）. 故蚂蚁从外壁点 A 处到达内壁点 B 处的最短路程是20 cm. 答图 演示完毕 谢谢观看 $$