1.2一定是直角三角形吗 课件 2024-2025学年 北师大版数学八年级上册

第一章　勾股定理 2　一定是直角三角形吗 数学 八年级上册 BS版 数学 九年级上册 BS版 课前预习 典例讲练 目录 CONTENTS 课前导入 数学 八年级上册 BS版 0 1 课前预习 1. 勾股定理的逆定理. 如果三角形的三边长 a ， b ， c 满足 ，那么这个 三角形是直角三角形. 注意：此时， c 是斜边长， a ， b 是直角边长. a2＋ b2＝ c2　 数学 八年级上册 BS版 返回目录 2. 勾股数. 满足 的三个正整数，称为勾股数. 注意：勾股数应满足的三个条件：①都是正数；②都是整数； ③ a2＋ b2＝ c2.勾股数有无数组，若一组数是勾股数，则把它们 同时扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数.如3，4，5是一组勾 股数，则3 n ，4 n ，5 n （ n 为正整数）仍是一组勾股数. a2＋ b2＝ c2　 数学 八年级上册 BS版 返回目录 数学 九年级上册 BS版 课前导入 0 2 问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? 用 13 个等距的结把一根绳子分成等长的 12 段，一个工匠同时握住绳子的第 1 个结和第 13 个结，两个助手分别握住第 4 个结和第 8 个结，拉紧绳子就得到一个直角三角形，其直角在第 4 个结处. 新课引入 下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 a，b，c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17. 问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 是 勾股定理的逆定理 下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a，b，c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17. 问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？ ① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252， ③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172. 问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ 32 + 42 = 52，满足. a2 + b2 = c2 我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差. 我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体. 问题3 据此你有什么猜想呢? 由上面几个例子，我们猜想： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. △ABC≌△A′B′C′ 　　 ？ ∠C 是直角　　　 △ABC 是直角三角形　　 A　 B　 C　 a b c 已知：如图，△ABC 的三边长 a，b，c，满足 a2 + b2 = c2. 求证：△ABC 是直角三角形． 构造两直角边分别为a，b 的 Rt△A′B′C′ 证一证： 简要说明： 作一个直角∠MC1N， 在 C1M 上截取 C1B1 = a = CB， 在 C1N 上截取 C1A1 = b = CA， 连接 A1B1. 在 Rt△A1C1B1中，由勾股定理， 得 A1B12 = a2 + b2 = AB2. ∴ A1B1 = AB. ∴△ABC≌△A1B1C1 (SSS). ∴∠C =∠C1 = 90°. ∴△ABC 是直角三角形. a c b A C B b C1 M N B1 A1 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判定此三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角. 特别说明： 归纳总结 数学 八年级上册 BS版 0 3 典例讲练 （1）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　B　） A. 3，4，4 B. 3，4，5 C. 3，4，6 D. 3，4，7 B 【解析】A. 因为32＋42＞42，所以这三条线段只能组成锐角三角形；B. 因为32＋42＝52，所以这三条线段能组成直角三角形；C. 因为32＋42＜62，所以这三条线段只能组成钝角三角形；D. 因为3＋4＝7，所以这三条线段不能组成三角形.故选B. 【点拨】（1）利用边的关系判定直角三角形的步骤：①先找到三角形的最长边；②计算最长边的平方及另外两边的平方和；③若两者相等，则为直角三角形，否则就不是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理不是判定直角三角形的唯一方法，还可 以用直角三角形的定义来判定. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 （2）下列四组数中，是勾股数的是（　D　） A. ， ， B. 0.9，1.2，1.5 C. 6，7，8 D. 21，28，35 【解析】A，B中的数不是正整数，所以A，B中的数不是勾股数；C. 62＋72≠82，所以C中的数不是勾股数；D. 212＋282＝352，所以D中的数是勾股数.故选D. D 【点拨】（1）判断勾股数的步骤：①确定三个数都是正整数；②确定其中的最大数；③分别计算最大数的平方与其他两个数的平方和；④若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否则就不是一组勾股数.（2）常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17.勾股数同时扩大若干正整数倍后还是勾股数；勾股数同时缩小到原来的若干正整数分之一后不一定是勾股数，但仍满足 a2＋ b2＝ c2，以它们作为边长的三角形仍是 直角三角形. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 在△ ABC 中，已知 a ,b , c 分别为其三边,给出下列四个条件:①∠ A :∠ B :∠ C ＝3∶4∶5；② a ∶ b ∶ c ＝3∶4∶5；③ a ＝16， b ＝63， c ＝65；④∠ A ＝ ∠ B ＝ ∠ C . 其中能判定△ ABC 是直角三角形的有 （填序号）. ②③④　 【解析】①因为∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝3∶4∶5，所以∠ C ＝ ×180°＝75°.因为△ ABC 中最大的角∠ C ＝75°，所以△ ABC 不是直角三角形.②设 a ＝3 k （ k ＞0），则 b ＝4 k ， c ＝5 k .因为（3 k ）2＋（4 k ）2＝（5 k ）2，所以△ ABC 是直角三角形.③因为162＋632＝652，所以△ ABC 是直角三角形.④因为∠A ＝ ∠ B ＝ ∠ C ，所以∠ B ＝2∠ A ，∠ C ＝3∠ A . 因为∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝180°，所以6∠ A ＝180°.解得∠ A ＝30°.所以∠ C ＝90°.所以△ ABC 是直角三角形.故答案为②③④. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 如图，在正方形 ABCD 中，已知点 E 为 AB 的中点，点 F 为 AD 上一点，且 AF ＝ AD . 试判断△ FEC 的形状. 解：设 AD ＝4 k （ k ＞0）. 因为四边形 ABCD 是正方形， AF ＝ AD ，点 E 为 AB 的中点， 所以 AF ＝ k ， AE ＝ BE ＝ AB ＝ AD ＝2 k . 所以 DF ＝4 k － k ＝3 k . 在Rt△ AEF 中， EF2＝ AF2＋ AE2＝ k2＋（2 k ）2＝5 k2. 在Rt△ BCE 中， EC2＝ BE2＋ BC2＝（2 k ）2＋（4 k ）2＝20 k2. 在Rt△ DCF 中， FC2＝ DF2＋ CD2＝（3 k ）2＋（4 k ）2＝25 k2. 所以 EF2＋ EC2＝5 k2＋20 k2＝25 k2＝ FC2. 所以△ FEC 是直角三角形. 【点拨】直角三角形的两种判定方法：（1）从角上看，利用直角三角形的定义判定，即有一个内角是直角的三角形是直角三角形；（2）从边上看，利用勾股定理的逆定理判定，即从三角形的三边数量关系来判定.在解题过程中，根据题目给出的具体条件灵活选取判定方法. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ， BC ＝10，点 D 是线段 AB 上一点， BD ＝6，连接 CD ， CD ＝8. （1）试说明： CD ⊥ AB ； 解：（1）在△ BDC 中， BC ＝10， BD ＝6， CD ＝8. 因为 BD2＋ CD2＝62＋82＝100＝ BC2， 所以△ BDC 是直角三角形，且∠ BDC ＝90°. 所以 CD ⊥ AB . （2）求△ ABC 的周长. （2）由题意，得 AC ＝ AB ＝ AD ＋6. 因为 CD ⊥ AB ，所以△ ADC 是直角三角形. 所以 AD2＋ CD2＝ AC2， 即 AD2＋82＝（ AD ＋6）2. 解得 AD ＝ . 所以 AC ＝ AB ＝ ＋6＝ . 所以△ ABC 的周长＝ ＋ ＋10＝ . 数学 八年级上册 BS版 返回目录 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB ∶ BC ∶ CD ∶ DA ＝2∶2∶3∶1，且∠ B ＝90°，试求∠ DAB 的度数. 解：如图，连接 AC . 因为 AB ∶ BC ∶ CD ∶ DA ＝2∶2∶3∶1，所以设 AB ＝2 k （ k ＞0），则 BC ＝2 k ， CD ＝3 k ， DA ＝ k . 在Rt△ ACB 中，因为 AB ＝ BC ，所以∠ BAC ＝45°. 根据勾股定理，得AC2＝ AB2＋ BC2＝（2 k ）2＋（2 k ）2＝8 k2. 所以 AD2＋ AC2＝ k2＋8 k2＝9 k2.又因为 CD2＝（3 k ）2＝9 k2，所以 CD2＝ AD2＋ AC2.所以△ ACD 是直角三角形，且∠ DAC ＝90°. 所以∠ DAB ＝∠ DAC ＋∠ BAC ＝90°＋45°＝135°. 【点拨】本例是勾股定理与勾股定理的逆定理的综合运用.求∠ DAB 的度数时，采取了转化的思想方法，把∠ DAB 分成∠ BAC 和∠ DAC ，并放入两个三角形中分别求解，进而得到 ∠ DAB 的度数.因为题设给出了边长的比例式，这就需要引进新的未知数 k ，把多条边用含 k 的代数式表示，为利用勾股定理和勾股定理的逆定理创造条件，从而使问题得以顺利解决. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地.已知 AD ＝4 m， CD ＝3 m，∠ ADC ＝90°， AB ＝13 m， BC ＝12 m.小区为美化环境，欲在空地上铺草坪.若每平方米草坪30元，则用草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 解：如答图，连接 AC . 在Rt△ ACD 中，由勾股定理，得 AC2＝ CD2＋ AD2＝32＋42＝25. 所以 AC ＝5 m（负值舍去）. 因为 AC2＋ BC2＝52＋122＝169， AB2＝132＝169， 所以 AC2＋ BC2＝ AB2. 所以△ ACB 是直角三角形，且∠ ACB ＝90°. 所以空地的面积＝ S△ ACB － S△ ACD ＝ ×5×12－ ×3×4＝30－6＝24（m2）. 故用草坪铺满这块空地共需24×30＝720（元）. 数学 八年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 八年级上册 BS版 $$