专题01 全等三角形的判定与性质重难点题型专训（17大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题01 全等三角形的判定与性质重难点题型专训（17大题型+15道拓展培优） 题型一 全等图形相关问题 题型二 全等三角形的概念 题型三 利用全等三角形的性质求角度 题型四 利用全等三角形的性质求长度 题型五 利用全等三角形的性质求面积 题型六 用SSS证明三角形全等 题型七 用SAS证明三角形全等 题型八 用ASA（AAS）证明三角形全等 题型九 用HL证明直角三角形全等 题型十 灵活选用判定方法证明全等 题型十一 添加条件使三角形全等 题型十二 尺规作图 题型十三 利用全等三角形的判定与性质求角度 题型十四 利用全等三角形的判定与性质求长度 题型十五 利用全等三角形的判定与性质求面积 题型十六 全等三角形中的动点问题 题型十七 全等三角形的综合问题 知识点一、全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 知识点二、全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点三、全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点四、全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 知识点五 尺规作图 一．作已知角的角平分线 二．过一点作已知线段的垂线 【经典例题一 全等图形相关问题】 【例1】（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，矩形矩形矩形，连接并延长交于点K，点F落在上，若已知的面积为整数，则下列图形面积为整数的是（    ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 1．（2022·江西·二模）如图，正方形纸片分成五块，其中点为正方形的中心，点，，，分别为，，，的中点．用这五块纸片拼成与此正方形不全等的四边形（要求这五块纸片不重叠无缝隙），符合要求的拼图方法有（   ）种 A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，，其中，则 ．    3．（22-23七年级下·广东·期中）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【经典例题二 全等三角形的概念】 【例2】（23-24七年级下·陕西西安·期中）下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．等边三角形都全等 2．（20-21八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫做格点三角形，画与只有一条公共边且全等的格点三角形，在该网格中这样的格点三角形（不与重合）最多可以画出 个． 3．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，，请写出图中的对应角，对应边．    ①的对应角为（    ）；②的对应角为（    ）；③的对应角为（    ）；④的对应边为（    ）；⑤的对应边为（    ）． 【经典例题三 利用全等三角形的性质求角度】 【例3】（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知点在上，点在上，，且，若，则（　　）    A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·湖北十堰·阶段练习）已知，，，则 ． 3．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，已知，点E在上，与相交于点F． (1)若，则_______； (2)若，求的度数． 【经典例题四 利用全等三角形的性质求长度】 【例4】（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知，点F，B，E，C在同一条直线上，若，则的长度为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 1．（22-23九年级上·海南海口·期末）如图，点在同一直线上，若，，，则等于（    ） A．3 B． C．4 D． 2．（23-24七年级下·上海长宁·期末）一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 ． 3．（23-24八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在四边形中，，，，动点，分别在线段，上，连接，，． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数； (3)若与全等，点与点为对应点，求的长． 【经典例题五 利用全等三角形的性质求面积】 【例5】（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知，下列说法：①；②是的中线；③；④与面积相等．其中正确的是：（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（20-21八年级上·福建福州·期中）如图，，下面四个结论中，不正确的是（    ）． A． B．和的周长相等 C． D．和的面积相等 2．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，现有一动点，从点出发沿着三角形的边运动回到点停止，速度为，设运动时间为． （1）如图，当 时，的面积等于面积的一半； （2）如图，在中，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点出发，沿着边运动回到点A停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，则点Q的运动速度是 ． 3．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）【操作发现】（1）如图1是一个长为、宽为a的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2），那么图2中的阴影部分的面积为：________（用a，b的代数式表示）；观察图2，请你写出，，ab之间的等量关系是________． 【灵活应用】（2）①若x，y为有理数，且，，求的值； ②若，求的值； 【拓展迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板，按如图3所示的方式放置，A，O，D在同一直线上，连接，．若，，求阴影部分的面积．   【经典例题六 用SSS证明三角形全等】 【例6】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，，，，那么（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在和中，，与相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）如图，在与中，在边上，，，，若，则 ， ． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．” 即：作一个已知角的平分线． 欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边，则就是的平分线． 请证明平分； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图2，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理论依据是______； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图3，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请在对应的示意图4中画出路灯E的位置，并说明图中所画各组线段的数量关系． 【经典例题七 用SAS证明三角形全等】 【例7】（2023·贵州黔东南·一模）如图，点，分别为的边，上的点，连接并延长至，使，连接．若，，，则的长等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，分别是，的中线，，，，则的长度为（   ）    A．2 B．3 C．4.5 D．6 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，以为边向右下方作，满足，点为上一点，连接，若，，，则 ． 3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，求边上的中线的取值范围 第一小组得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把，，转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_________； 【问题解决】（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________； ①；②；③；④ 【问题拓展】（3）如图3，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，求的面积．    【经典例题八 用ASA（AAS）证明三角形全等】 【例8】（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，和的平分线交于点P，点P在上，于点E，若四边形的面积为78，，则的长为（    ）    A．6 B．10 C．12 D．18 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，，，若，则的面积为 ．    3．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）（1）如图1，已知：在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E．证明：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【经典例题九 用HL证明直角三角形全等】 【例9】（23-24八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在中，，是上一点，于点，，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 1．（21-22八年级上·陕西汉中·期末）如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，过A作，垂足为H，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为12，，则的长是(   ) A．2 B．2.5 C．3 D． 2．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，若，，则的长为 ． 3．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【经典例题十 灵活选用判定方法证明全等】 【例10】（23-24七年级下·河南郑州·期末）下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（    ） A． B．，， C．，， D．，， 1．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）判断两个三角形全等的方法不正确的有（   ） A．两边和一个角分别相等的两个三角形 B．两个角和一个边分别相等的两个三角形 C．三边分别相等的两个三角形 D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在和中，，，与相交于点，与相交于点，与相交于点，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ． 3．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． (1)甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； (2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______． 【经典例题十一 添加条件使三角形全等】 【例11】（23-24七年级下·江西抚州·期末）如图，已知，请你在下面四个备选条件：①；②；③；④中任选一个备选条件和已知条件组合，组合后仍然不能证明的备选条件是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 1．（23-24七年级下·福建福州·期末）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，C分别是点 A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 表格记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（   ） ①若第3轮甲添加，则甲必胜； ②若第3轮甲添加， 则甲获胜； ③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； ④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多四轮必分胜负． A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 2．（23-24七年级下·广东茂名·期末）如图点，分别在线段，上，，相交于点，，要使，只需添加一个条件是 （只需添加一个你认为适合的条件）． 3．（2023·浙江杭州·一模）问题：如图，点，，，在同一直线上，，若 ，求证 ． 在，，这三个条件中选择其中两个，剩余的一个条件补充在结论中，并完成问题的解答． 【经典例题十二 尺规作图】 【例12】（2021·河南焦作·二模）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，则 D．点在的平分线上 1．（20-21八年级上·四川广安·期末）如图，在外找一个点（与点A不重合），并以为一边作，使之与全等，且不是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．    3．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）作图题： 如图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点是图的一个格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图中画，使； (2)在图中画，使； (3)在图中画，使． 【经典例题十三 利用全等三角形的判定与性质求角度】 【例13】（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在，，平分，，，下列结论中：，，，．正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 1．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，D，E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ． 3．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连． (1)求证： (2)若，，，求的度数． 【经典例题十四 利用全等三角形的判定与性质求长度】 【例14】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，与的平分线交于点，若，，则四边形的周长为（    ） A．38 B．40 C．44 D．56 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，A，B，C，D是四个村庄，其中B，D，C在一条直线上，，且，村庄A，B之间有一个小湖．为方便通行，现要在湖面上建一座桥，测得，，，则建造的桥长至少为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，则的长为 ． 3．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，、相交于点，点、分别是线段、上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，，求． 【经典例题十五 利用全等三角形的判定与性质求面积】 【例15】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 1．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，则四边形的面积等于（    ）    A．12 B．14 C．24 D．48 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，过点B作，且使得，连接AD．若，则的面积为 ． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在和中，已知，，． (1)如图，求证：； (2)当三点在一条直线上时， 如图，已知，求的度数； 如图，过作交于点，若，的面积为，求的长． 【经典例题十六 全等三角形中的动点问题】 【例16】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（    ）秒时，与全等． A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12 1．（22-23八年级上·湖南株洲·期末）如图，，．，点 P 在线段 上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上由点B向点D方向运动．它们运动的时间为，则点Q的运动速度为 时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． A．1或 B．1或 C．2或 D．1 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动时间为 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（）． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，为高线，．点为上一点，，连接，交于点，若．    (1)猜想线段与的位置关系，并证明； (2)若动点从点出发沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，运动的时间为秒． ①当点在线段上时，是否存在的值，使得的面积为27？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； ②动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒，点是直线上一点，且，当与全等时，请直接写出的值． 【经典例题十七 全等三角形的综合问题】 【例17】（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④；⑤A、D两点一定在线段的垂直平分线上，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在中，，于，平分交于，在上，并且，则下列四个结论： ①，②，③，④，其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 2．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论序号都填上） 3．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）综合与实践： 【问题情境】如图①所示， 已知在中， ， ， 是的中线，过点C作， 垂足为M， 且交于点E． 【数学思考】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【猜想证明】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点N， 即可得， 该结论正确吗? 请说明理由； 【拓展延伸】（3）小刚在（2）的基础上，连接，如图③所示，请你帮助小刚证明． 1．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为F，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·重庆·期末）根据下列已知条件，画出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，当与全等时，的值为（    ） A．2.4 B．2.4或2 C．2.4或2.5 D．2或2.5 4．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，于点E，于点D，，， 则的长是（  ）    A．5 B．6 C．7 D．8 5．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在 中，，，，，平分 ，交 于点，，是 ，上的动点，则 的最小值为（   ）    A． B．3 C．4 D． 6．（陕西省咸阳市秦都区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）如图，和的顶点A重合，点C在上，，，且，若，，则的长为 ． 7．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，过点B作，且，延长至点E，使，连接并延长交边于点F，若，则 ． 8．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当 秒时，能使与以点、、为顶点的三角形全等． 9．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，海岸上有两个观测点，点在点的正东方，海岛C在观测点A正北方，海岛C,D在观测点A,B所在海岸的同一侧，如果从观测点A看海岛D的视角与从观测点B看海岛C的视角相等，海岛C,D分别到观测点B,A的距离相等，问海岛D在观测点B的正北方吗？请说明理由：_________． 10．（23-24八年级下·重庆南岸·期中）如图，在中，，点D是边上的一点，过点B作交的延长线于点E，延长至点F，使得，连接交于点H，连接，若，，则的长度为 ． 11．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 12．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，是的平分线，，点P在上，，，M，N分别是垂足． (1)与全等吗？为什么？ (2)吗？为什么？ 13．（2024七年级下·全国·专题练习）(1)阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接(或将绕着点逆时针旋转得到)，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______； (2)问题解决：如图2，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 14．（23-24七年级下·江西宜春·期末）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． (1)如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 ； (2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； (3)应用：如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 15．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读与思考： 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决，比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，D是内一点，且平分，连接，若的面积为10，求的面积． 该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点B作交延长线于点交于点E， 平分 ， ， 在和中， ， （依据1） （依据2），， ，，…… (1)任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，____________； (2)任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； (3)应用：如图3，在中，，平分交于点D，过点C作交延长线于点E，若，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 全等三角形的判定与性质重难点题型专训（17大题型+15道拓展培优） 题型一 全等图形相关问题 题型二 全等三角形的概念 题型三 利用全等三角形的性质求角度 题型四 利用全等三角形的性质求长度 题型五 利用全等三角形的性质求面积 题型六 用SSS证明三角形全等 题型七 用SAS证明三角形全等 题型八 用ASA（AAS）证明三角形全等 题型九 用HL证明直角三角形全等 题型十 灵活选用判定方法证明全等 题型十一 添加条件使三角形全等 题型十二 尺规作图 题型十三 利用全等三角形的判定与性质求角度 题型十四 利用全等三角形的判定与性质求长度 题型十五 利用全等三角形的判定与性质求面积 题型十六 全等三角形中的动点问题 题型十七 全等三角形的综合问题 知识点一、全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 知识点二、全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点三、全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点四、全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 知识点五 尺规作图 一．作已知角的角平分线 二．过一点作已知线段的垂线 【经典例题一 全等图形相关问题】 【例1】（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，矩形矩形矩形，连接并延长交于点K，点F落在上，若已知的面积为整数，则下列图形面积为整数的是（    ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用．设，，求得，由的面积为整数，推出和是整数，即可判断矩形的面积为整数． 【详解】解：设，， ∵矩形矩形矩形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ， ，， ∵的面积为整数， ∴和是整数， ∴为整数， ∴为整数， 故选：D． 1．（2022·江西·二模）如图，正方形纸片分成五块，其中点为正方形的中心，点，，，分别为，，，的中点．用这五块纸片拼成与此正方形不全等的四边形（要求这五块纸片不重叠无缝隙），符合要求的拼图方法有（   ）种 A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】考查了平面镶嵌（密铺），关键是得到与此正方形不全等的四边形（要求这五块纸片不重叠无缝隙）的各种情况．先根据题意画出图形，即可得到结论． 【详解】解：如图所示： 符合要求的拼图方法有6种， 故选：D． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，，其中，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等图形的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；全等图形对应角相等．先求出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵蜂房的顶部由三个全等的四边形围成， ∴， 故答案为：． 3．（22-23七年级下·广东·期中）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等图形的概念，根据能够完全重合的图形为全等图形，在图中画出即可，熟知全等图形的概念是解题的关键． 【详解】解：如图所示： （答案不唯一）． 【经典例题二 全等三角形的概念】 【例2】（23-24七年级下·陕西西安·期中）下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的判定与性质，利用全等图形的判定与性质即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）形状相同的两个三角形不一定是全等形，故错误； （2）全等图形的周长都相等，故正确； （3）面积相等的两个等腰三角形不一定是全等形，故错误； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故正确； 故选：B 1．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．等边三角形都全等 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的定义和性质，掌握全等形的概念、全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的定义和性质判断即可． 【详解】解：A、全等三角形是指形状和大小相同的两个三角形，该选项错误； B、全等三角形的面积相等，该选项正确； C、面积相等的两个三角形不一定都是全等三角形，该选项错误； D、等边三角形不一定都是全等三角形，该选项错误． 故选：B． 2．（20-21八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫做格点三角形，画与只有一条公共边且全等的格点三角形，在该网格中这样的格点三角形（不与重合）最多可以画出 个． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形、格点三角形的定义，可以以为公共边和以为公共边分别画出个三角形，以为公共边不可以画出三角形，即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图所示： ， 以为公共边可以画出、、三个三角形， 以为公共边可以画出、、三个三角形， 故可以画出个， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，，请写出图中的对应角，对应边．    ①的对应角为（    ）；②的对应角为（    ）；③的对应角为（    ）；④的对应边为（    ）；⑤的对应边为（    ）． 【答案】，，，， 【分析】根据全等三角形的定义可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴①的对应角为； ②的对应角为； ③的对应角为； ④的对应边为； ⑤的对应边为； 故答案为：，，，，． 【点睛】本题考查了全等三角形，找准对应边、对应角是解题的关键． 【经典例题三 利用全等三角形的性质求角度】 【例3】（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，根据题意得出，然后进行等量代换求解即可，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故选：B 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知点在上，点在上，，且，若，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，根据全等三角形的性质，，，又，，得到，在中根据内角和定理求解，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， 在中，由三角形内角和定理可得， ，，， ， 故选：C． 2．（21-22八年级上·湖北十堰·阶段练习）已知，，，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，先根据三角形全等得到对应角相等，然后根据三角形内角和得到角度，准确找到对应角是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，已知，点E在上，与相交于点F． (1)若，则_______； (2)若，求的度数． 【答案】(1)3 (2) 【分析】此题考查全等三角形的性质及三角形外角的性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等进行分析． （1）根据全等三角形的性质解答即可； （2）根据全等三角形的性质得，再利用三角形外角的性质解答即可． 【详解】（1）解：， ，， ， 故答案为：3； （2）， ， ， ． 【经典例题四 利用全等三角形的性质求长度】 【例4】（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知，点F，B，E，C在同一条直线上，若，则的长度为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，求出，再求出答案即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 1．（22-23九年级上·海南海口·期末）如图，点在同一直线上，若，，，则等于（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质可得，，然后由求出的值，即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵点在同一直线上， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形性质，熟练掌握全等三角形对应边相等的性质是解题的关键． 2．（23-24七年级下·上海长宁·期末）一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 ． 【答案】17 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 先根据全等三角形的性质，得出x和y的值，再根据三角形三边之间是关系，得出该等腰三角形的底边和腰长，即可解答． 【详解】解：∵一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5， ∴， ∵， ∴等腰三角形底边长为3，腰长为7， ∴等腰三角形的周长， 故答案为：17． 3．（23-24八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在四边形中，，，，动点，分别在线段，上，连接，，． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数； (3)若与全等，点与点为对应点，求的长． 【答案】(1) (2) (3)3或3.5 【分析】（1）根据三角形内角和算出，再根据平角定义算出最后再运用三角形内角和即可求解； （2）根据得出再由三角形内角和即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解； 【详解】（1）， ， ， ， ； （2）∵， ， ． （3）当时， 则， 当时， 则， ， 综上可得：为3或3.5． 【点睛】该题主要考查了三角形内角和定理以及全等三角形的性质，解题的关键是分类讨论思想的运用． 【经典例题五 利用全等三角形的性质求面积】 【例5】（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知，下列说法：①；②是的中线；③；④与面积相等．其中正确的是：（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，根据，可知，，，． 【详解】①∵， ∴． 说法①错误． ②∵， ∴． ∴是的中线． 说法②正确． ③∵， ∴． ∴． 说法③正确． ④∵， ∴，且的边上的高与的边上的高相等． ∴与面积相等． 说法④正确． 综上所述，说法正确的有②③④，共3个． 故选：C 1．（20-21八年级上·福建福州·期中）如图，，下面四个结论中，不正确的是（    ）． A． B．和的周长相等 C． D．和的面积相等 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质即可判断． 【详解】解：∵， ∴，故选项A不正确，符合题意； ，和的周长相等，和的面积相等，故选项B、C、D正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应角相等；对应边相等；面积相等；周长相等”是解题的关键． 2．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，现有一动点，从点出发沿着三角形的边运动回到点停止，速度为，设运动时间为． （1）如图，当 时，的面积等于面积的一半； （2）如图，在中，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点出发，沿着边运动回到点A停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，则点Q的运动速度是 ． 【答案】 或 或或或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、三角形中线的性质；根据题意分类讨论即可求解． （1）根据三角形中线的性质，分点运动到边上时和点运动到边上时两种情况分别讨论即可； （2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】解：的面积等于面积的一半， 点运动到的中点， 此时， 当点运动到边上时， 此时， 此时点在边的中点， 此时， 综上所述，当或时，的面积等于面积的一半； （2）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴ 解得； ②当点在上，点在上，时， ， ∴， 解得； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ∴运动的速度为或或或． 故答案为：或或或． 3．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）【操作发现】（1）如图1是一个长为、宽为a的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2），那么图2中的阴影部分的面积为：________（用a，b的代数式表示）；观察图2，请你写出，，ab之间的等量关系是________． 【灵活应用】（2）①若x，y为有理数，且，，求的值； ②若，求的值； 【拓展迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板，按如图3所示的方式放置，A，O，D在同一直线上，连接，．若，，求阴影部分的面积．    【答案】（1），；（2）①；②10；（3）阴影部分的面积为48 【分析】本题主要考查的是完全平方公式及其变形的应用、全等三角形的性质等知识点，熟练地运用完全平方公式的几何变形是解答本题的关键． （1）图2中阴影部分的面积可以用两种方法得到，先表示阴影部分的边长，再表示面积，二是图2大正方形面积减去图1的面积，然后再化简即可得出三个代数式之间的关系； （2）①利用（1）中关系，整体代入求值即可； ②设，，得到，，然后得到，利用完全平方公式的变形求解即可； （3）根据两块全等的特制直角三角板可得，进而得到，设，根据已知条件、列方程求得y，进而求得阴影部分的面积即可． 【详解】解：（1）图2中，阴影部分的边长为的正方形，因此面积为， 也可以从边长为的正方形面积减去图1的面积，即，则 故答案为：，； （2）①由（1）可得 ∴， ∴，解得：； ②设， ∴， ∴ ； （3）∵两块直角三角板全等， ∴， ∵点A，O、D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上， ∴， 设， ∴， ∵，即 ∴ ∵， ∴，解得：， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【经典例题六 用SSS证明三角形全等】 【例6】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，，，，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理．先找出满足两个三角形全等的条件：三边对应相等，可证．再根据全等三角形的性质、三角形内角和定理可求． 【详解】证明：， ． 在与中， ， ． ， ． 故选：C． 1．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在和中，，与相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，由条件可证，可求得，再利用三角形内角和求得，即可求解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）如图，在与中，在边上，，，，若，则 ， ． 【答案】 【分析】证明，得出，，进而可得，根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图， 在与中， ， ， ，， ， ， ，， ． 故答案为：，． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．” 即：作一个已知角的平分线． 欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边，则就是的平分线． 请证明平分； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图2，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理论依据是______； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图3，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请在对应的示意图4中画出路灯E的位置，并说明图中所画各组线段的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键． （1）先证明，可得，从而可得答案； （2）先证明，可得，可得是的角平分线； （3）在、上截取，用角尺，使角尺的顶点O到点M，N的距离相等，即，连接点与角尺的顶点O，在上截取，则点即为所求作的点． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴此做法的理论依据是； （3）如图，在、上截取，用角尺，使角尺的顶点O到点M，N的距离相等，即，连接点与角尺的顶点O，在上截取，则点即为所求作的点． 根据作图可知：，，， ∴， ∴平分， 【经典例题七 用SAS证明三角形全等】 【例7】（2023·贵州黔东南·一模）如图，点，分别为的边，上的点，连接并延长至，使，连接．若，，，则的长等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明是解题的关键． 【详解】解：， ， 在与中， ， ， ， ， ， 又， ． 故选：A． 1．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，分别是，的中线，，，，则的长度为（   ）    A．2 B．3 C．4.5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，遇到与三角形的中线有关的问题时，常将中线延长一倍(这种方法称为倍长中线法)，然后连接相应的点，构造全等三角形，通过全等三角形的性质将线段的关系进行转化，从而达到解决问题的目的．本题延长至F，使得，则，分别证明和得到即可求解． 【详解】解：延长至F，使得，则，    ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴，， ∵是的中线，， ∴，则， ∵，，， ∴，又， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，以为边向右下方作，满足，点为上一点，连接，若，，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长到E，使，连接，先证明，得到，，再证明，得到，即可由，进而即可求解． 【详解】解：延长到E，使，连接，如图， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，求边上的中线的取值范围 第一小组得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把，，转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_________； 【问题解决】（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________； ①；②；③；④ 【问题拓展】（3）如图3，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，求的面积．    【答案】（1）；（2）②③；（3） 【分析】（1）延长到，使得，证明得出，结合三角形三边关系即可得出答案； （2）延长至，使，连接，证明，得出，，再证明，得出，，即可得出答案； （3）延长至，使，连接，，得出，，，证明，得出，，，从而得出，求出，再根据计算即可得出答案． 【详解】（1）解：延长到，使得，    ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，延长至，使，连接，      ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴正确选项的序号是②③， 故答案为：②③； （3）如图，延长至，使，连接，      ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形的内角和定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【经典例题八 用ASA（AAS）证明三角形全等】 【例8】（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 根据，求出，，从而求得，再根据三角形全等证明即可． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ． 故选：B． 1．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，和的平分线交于点P，点P在上，于点E，若四边形的面积为78，，则的长为（    ）    A．6 B．10 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，平行线性质，通过证明，，得到，根据求出结果即可． 【详解】解：，， ， 于点E， ， 平分，平分， ，， 在与中， ， ， 同理， ， ， ， ， 故选：C． 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，，，若，则的面积为 ．    【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，过点D作，交的延长线于点E，利用证明，得出三角形的高，根据，计算出面积即可，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点E，    ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 3．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）（1）如图1，已知：在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E．证明：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，，由，可得，证明，则，； （2）证明过程同理（1）． 【详解】（1）证明：由题意知，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：成立，证明如下； ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即． 【经典例题九 用HL证明直角三角形全等】 【例9】（23-24八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在中，，是上一点，于点，，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：． 1．（21-22八年级上·陕西汉中·期末）如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，过A作，垂足为H，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为12，，则的长是(   ) A．2 B．2.5 C．3 D． 【答案】C 【分析】先证明得到，再证明，，得到，设，则根据四边形的面积为12得到即可得到答案． 【详解】解；∵，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∵四边形的面积为12， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 2．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质；由为角平分线，利用角平分线定理得到，再由，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得出，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，由，即可求解． 【详解】解：是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ， ； 在和中， ， ， ， ， 故答案：. 3．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判断方法并准确识图确定出全等的三角形是解题的关键． （1）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后证明即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得，再利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ， ，， ； （2）解：， ， 在和中， ， ， ． 【经典例题十 灵活选用判定方法证明全等】 【例10】（23-24七年级下·河南郑州·期末）下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（    ） A． B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件．熟练掌握三角形全等的判定方法，三角形三边关系，是解决问题的关键． 根据三角形三边的关系对B进行判断；根据全等三角形的判定方法对A、C、D进行判断． 【详解】A．， 不符合三角形全等判定条件，不能作出唯一三角形； B．，，， 这里，不符合三角形三边关系，不能作出三角形； C．，，， 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，不能作出唯一三角形； D．，，， 两边及夹角对应相等的两个三角形全等，能作出唯一三角形． 故选：D． 1．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）判断两个三角形全等的方法不正确的有（   ） A．两边和一个角分别相等的两个三角形 B．两个角和一个边分别相等的两个三角形 C．三边分别相等的两个三角形 D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．掌握普通两个三角形全等共有四个定理，即；直角三角形可用定理，但无法证明三角形全等． 直接利用三角形全等的判定条件进行判定逐项判断即可解答． 【详解】解：A、两边和一个角分别相等的两个三角形不一定全等；故本选项错误； B、两个角和一个边分别相等的两个三角形，可利用或判定全等；故本选项正确； C、三边分别相等的两个三角形；故本选项正确； D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形；故本选项正确． 故选：A． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在和中，，，与相交于点，与相交于点，与相交于点，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，全等三角形的性质的应用，所以熟悉三角形全等的判定方法并应用，熟悉全等三角形的性质并应用是关键． 先证明与全等，再证明即可得到答案． 【详解】解：， ， 在与 中， ，故①正确， 在与 中， ()，故④正确， ，故③正确． 因为条件不足，无法证明②； 故答案为：①③④． 3．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． (1)甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； (2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______． 【答案】(1)甲，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用， （1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的； （2）甲根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】（1）甲同学的方案可行． 理由：由题意得， 在与中， ， ∴， ∴， 故甲同学的方案可行． （2）； 理由： ∵， 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【经典例题十一 添加条件使三角形全等】 【例11】（23-24七年级下·江西抚州·期末）如图，已知，请你在下面四个备选条件：①；②；③；④中任选一个备选条件和已知条件组合，组合后仍然不能证明的备选条件是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定方法．根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 【详解】解：，，， ，①能证明，不符合题意； ，，， ②不能证明，符合题意； ，，， ，③能证明，不符合题意； ，，， ，④能证明，不符合题意； 故选：B． 1．（23-24七年级下·福建福州·期末）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，C分别是点 A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 表格记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（   ） ①若第3轮甲添加，则甲必胜； ②若第3轮甲添加， 则甲获胜； ③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； ④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多四轮必分胜负． A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定、熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．根据全等三角形的判定方法逐个判断即可求解． 【详解】解：①若第3轮甲添加，满足边边角关系，不能判定与全等，则不分胜负，需进行下一轮添加，故①说法错误，不符合题意； ②若第3轮甲添加， 满足角角边关系，能判定与全等，则乙获胜，故②说法错误，不符合题意； ③若第2轮乙添加条件修改为， 若第3轮甲添加一对角相等，满足角角边或角边角关系，能判定与全等，则乙获胜； 若第3轮甲添加一对边相等，满足边角边或斜边直角边关系，能判定与全等，则乙获胜， 故乙必胜，此③说法正确，符合题意； ④若第2轮乙添加条件修改为，第3轮甲只能添加或，满足边边角，不能判定与全等，不分胜负，可进行第4轮；第4轮无论乙添加什么条件，满足边边边或角角边或角边角或边角边，都能判定与全等，则乙必输，此游戏最多四轮必分胜负，故④说法正确，符合题意， 综上，说法正确的是③④， 故选：D． 2．（23-24七年级下·广东茂名·期末）如图点，分别在线段，上，，相交于点，，要使，只需添加一个条件是 （只需添加一个你认为适合的条件）． 【答案】或或（任性一个即可） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：添加，可由证明； 添加，可由证明； 添加，可由证明； 故答案为：或或．（任性一个即可） 3．（2023·浙江杭州·一模）问题：如图，点，，，在同一直线上，，若 ，求证 ． 在，，这三个条件中选择其中两个，剩余的一个条件补充在结论中，并完成问题的解答． 【答案】，；或，；，证明见解析． 【分析】本题考查全等三角的判定与性质，平行线的性质与判定，根据题意选择条件即可，熟练掌握全等三角的判定与性质，平行线的性质与判定是解题的关键． 【详解】第一种情况，，求证：， 证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，；； 第二种情况，，求证：， 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 故答案为：，；． 【经典例题十二 尺规作图】 【例12】（2021·河南焦作·二模）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，则 D．点在的平分线上 【答案】C 【分析】根据题意可知，即可推断结论A；先证明，再证明即可证明结论B；连接OP，可证明可证明结论D；由此可知答案． 【详解】解：由题意可知， ， ， 故选项A正确，不符合题意； 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， 故选项B正确，不符合题意； 连接OP， ， ， 在和中， ， ， ， 点在的平分线上， 故选项D正确，不符合题意； 若，， 则， 而根据题意不能证明， 故不能证明， 故选项C错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，明确以某一半径画弧时，准确找到相等的线段是解题的关键． 1．（20-21八年级上·四川广安·期末）如图，在外找一个点（与点A不重合），并以为一边作，使之与全等，且不是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题是开放题，要想使△A′BC与△ABC全等，先确定题中条件，再对应三角形全等条件求解． 【详解】解：如图： 以B点为圆心，CA为半径上下画弧，C点为圆心，BA为半径上下画弧，两弧相交分别得到点、；以C点为圆心，CA为半径画弧，以B点为圆心，BA为半径画弧，两弧的交点得到点，所以符合条件的点A′有3种可能的位置． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等的判定综合．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法去求证． 2．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可． 【详解】解：过B作于D，    ∵点B到射线的距离为d， ∴， ①如图，    当C点和D点重合时，，此时是一个直角三角形； ②如图，    当时，此时C点的位置有两个，即有两个； ③如图，    当时，此时是一个三角形； 所以x的范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了考查全等三角形的判定，点到直线的距离等知识点，注意：能求出符合的所有情况是解此题的关键． 3．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）作图题： 如图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点是图的一个格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图中画，使； (2)在图中画，使； (3)在图中画，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（）根据网格线的特点及轴对称的性质作图； （）根据网格线的特点及旋转的性质作图； （）根据网格线的特点及平移的性质作图； 此题考查了作图的应用，掌握网格线的特点及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）如图： ∴即为所求； （2）如图： ∴即为所求； （3）如图： ∴即为所求． 【经典例题十三 利用全等三角形的判定与性质求角度】 【例13】（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在，，平分，，，下列结论中：，，，．正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的定义以及余角的性质等知识点，根据平行线的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的定义以及余角的性质逐项判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， ，故①正确； 平分， ， ， ， ，故②正确； ， 和互余，和互余， ， ，故③正确； 和不一定全等，故和不一定相等，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：A． 1．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查网格中的全等三角形，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．根据网格特点，可得出，进而可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C． 2．（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，D，E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ． 【答案】/140度 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 设交于点G，由，推导出，而，，即可根据“”证明，得，可求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点G， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连． (1)求证： (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出，根据，结合角的和差关系即可得答案． 【详解】（1）证明：∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题十四 利用全等三角形的判定与性质求长度】 【例14】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，与的平分线交于点，若，，则四边形的周长为（    ） A．38 B．40 C．44 D．56 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，构造辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．过点作，根据角平分线可证明，，得到，，从而推算出四边形的周长等于． 【详解】解：如下图所示，过点作， 的平分线交于点E， ∴， ，， ， ∴， ∵，， ∴， 同理可得： ， ∵， ∴四边形的周长为， 故选：C． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，A，B，C，D是四个村庄，其中B，D，C在一条直线上，，且，村庄A，B之间有一个小湖．为方便通行，现要在湖面上建一座桥，测得，，，则建造的桥长至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及其性质，根据，得出，进而得出，这样可得出桥长度． 【详解】解：由题意知：， ∵在和中， ， ∴， ∴， 故斜拉桥至少有（千米）． 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】先根据证明，则可得，即可求出的长． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵、是 的高， ， ，， ， 在和中 ， ， ，， ， ， 又， ， ． 故答案为：5. 3．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，、相交于点，点、分别是线段、上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，得到是解题的关键． （1）利用，可得，即可推出，即可解答； （2）证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ． 【经典例题十五 利用全等三角形的判定与性质求面积】 【例15】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 1．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，则四边形的面积等于（    ）    A．12 B．14 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识．由，，，求得，由，得，而，，即可根据“”证明，则，即可推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，， ， ∵， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，过点B作，且使得，连接AD．若，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，与三角形高有关的计算，过点D作的延长线的垂线，作，垂足为E，先求出，再证明从而得到，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点D作的延长线的垂线，作，垂足为E， ，， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：8． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在和中，已知，，． (1)如图，求证：； (2)当三点在一条直线上时， 如图，已知，求的度数； 如图，过作交于点，若，的面积为，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)；． 【分析】（）证明即可得出； （）通过得出，通过角度和差得，最后由三角形内角和得出的度数； 过点作于点，通过底相等，高两倍得出，再通过面积换算得出的面积，从而求出的长度； 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形面积的求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）同理（）可得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 过点作于点， ∴ ∵， ∴，， ∵ ∴ ∴， 令，， ∵，， ∴， ∵的面积为， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【经典例题十六 全等三角形中的动点问题】 【例16】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（    ）秒时，与全等． A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图1，Q在上，点P在上时，作， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，， ∵， ∴， 当， 则， ∴， 解得：； ③如图3，当点Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当， 则， 即， 解得：； 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等， 故选D． 1．（22-23八年级上·湖南株洲·期末）如图，，．，点 P 在线段 上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上由点B向点D方向运动．它们运动的时间为，则点Q的运动速度为 时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． A．1或 B．1或 C．2或 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．设点Q的运动速度是，有两种情况：①，，②，，列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设点Q的运动速度是， ∵， ∴A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等，有两种情况： ①，， 则， 解得：， 则， 解得：； ②，， 则，， 解得：，， 故选A． 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动时间为 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（）． 【答案】6或12或18 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定定理和性质是解题关键． 此题要分两种情况：①当在线段上时，②当在上，再分别分两种情况或进行计算即可． 【详解】解：①当在线段上，时，， ， ， ， ∴的运动时间为秒； ②当在线段上，时，， 这时，因此时间为0秒（舍去）； ③当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为(秒)； ④当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为(秒)， ∴点的运动时间为6或12或18． 故答案为：6或12或18． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，为高线，．点为上一点，，连接，交于点，若．    (1)猜想线段与的位置关系，并证明； (2)若动点从点出发沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，运动的时间为秒． ①当点在线段上时，是否存在的值，使得的面积为27？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； ②动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒，点是直线上一点，且，当与全等时，请直接写出的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①存在t的值，理由见解析，；②t的值为或 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得，即可求解； （2）①由全等三角形的性质可得，由三角形的面积公式可求解； ②分两种情况讨论，由全等三角形的判定列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 在中，为高， ， 又， ， ，， ， ； （2）解：①存在的值，使得的面积为27，理由如下： ，， ， ， ，，    由（1）可知，， ， 在线段上， ， 解得：； ②， ， 、当点在线段延长线上时，如图3，   ， ， ， 当时，， 此时，， 解得：； 、当点在线段上时，如图4，   ， ， ， 当时，， 此时，， 解得：； 综上所述，当与全等时，的值为或． 【经典例题十七 全等三角形的综合问题】 【例17】（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，在中，，平分，于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④；⑤A、D两点一定在线段的垂直平分线上，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件可证明，从而可判断①、④正确；利用直角三角形的两锐角互余可判断②；利用角平分线的定义可判断③；利用线段垂直平分线的判定可判断⑤；从而可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴平分 故①正确； ∵，且， ∴； 故④正确； ∵， ∴A、D都在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， 故⑤正确； ∵， ∴， 故②正确； 若平分，则E应为中点，由条件无法得出， 故③不正确； 综上可知正确的结论有：①②④⑤，共四个， 故选：C． 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在中，，于，平分交于，在上，并且，则下列四个结论： ①，②，③，④，其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义；根据证明，再利用三角形全等的性质证明，，进而得出，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解此题的关键． 【详解】解：平分交于， ， 在和中， ， ，故④正确； ，故②③正确； ，于， ，， ， ，故①正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：D． 2．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论序号都填上） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，利用全等三角形的判定和性质，可以证明，由此即可一一判断． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ， ∴，故①②正确， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确， 在和中， ， ∴，故③正确， 故答案为：①②③④． 3．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）综合与实践： 【问题情境】如图①所示， 已知在中， ， ， 是的中线，过点C作， 垂足为M， 且交于点E． 【数学思考】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【猜想证明】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点N， 即可得， 该结论正确吗? 请说明理由； 【拓展延伸】（3）小刚在（2）的基础上，连接，如图③所示，请你帮助小刚证明． 【答案】（1）见解析 ；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题意，得，，利用余角的性质证明即可； （2）利用等腰直角三角形的性质，结合角的平分线定义，证明，结合三角形全等的判定定理即可证明； （3）根据，结合证明即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴． （2）结论是正确的．理由如下： 证明：∵， ， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 1．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为F，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，根据，求出，再根据三角形全等证明即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（23-24七年级下·重庆·期末）根据下列已知条件，画出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：A、根据，，，能画出唯一三角形，故本选项不合题意； B、，，，能画出唯一，故此选项不符合题意； C、，，，能画出唯一三角形，故本选项不合题意； D、，，，不能画出唯一三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，当与全等时，的值为（    ） A．2.4 B．2.4或2 C．2.4或2.5 D．2或2.5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：当，时，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2.4或2， 故选：B． 4．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，于点E，于点D，，， 则的长是（  ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（AAS）和性质（全等三角形的对应边）是解题的关键．根据直角三角形的两锐角互余及角的和差得到，即可证明，可得，，根据，即可解题． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 5．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在 中，，，，，平分 ，交 于点，，是 ，上的动点，则 的最小值为（   ）    A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，    ∵平分 ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ∵， ∴， 即的最小值为， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 6．（陕西省咸阳市秦都区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）如图，和的顶点A重合，点C在上，，，且，若，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了全等三角形．熟练掌握全等三角形的判断和性质，是解决问题的关键． 根据，，得到，根据，得到，得到，即得． 【详解】∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：7． 7．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，过点B作，且，延长至点E，使，连接并延长交边于点F，若，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，过点D作交的延长线于点G，分别利用证明出和，然后利用线段和差即可得解，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过点D作交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 8．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当 秒时，能使与以点、、为顶点的三角形全等． 【答案】7或15 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分两种情况讨论，或，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：为边上的高， ， ，， ， ， 当时，， ， 或， 或， 即当或秒时，能使与以点、． 故答案为：或． 9．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，海岸上有两个观测点，点在点的正东方，海岛C在观测点A正北方，海岛C,D在观测点A,B所在海岸的同一侧，如果从观测点A看海岛D的视角与从观测点B看海岛C的视角相等，海岛C,D分别到观测点B,A的距离相等，问海岛D在观测点B的正北方吗？请说明理由：_________． 【答案】海岛在观测点B的正北方，理由见解析． 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质等知识点，证明得出，即可得解，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】由题意得：，， ∵海岛C，D分别到观测点B，A的距离相等， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴海岛在观测点B的正北方， 故答案为：海岛在观测点B的正北方． 10．（23-24八年级下·重庆南岸·期中）如图，在中，，点D是边上的一点，过点B作交的延长线于点E，延长至点F，使得，连接交于点H，连接，若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，过点C作于M，先证明得到，，进而证明，得到，则． 【详解】解：如图所示，过点C作于M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，    ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由可得，再根据证明即可得； （2）根据“全等三角形对应角相等”可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及三角形内角和定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ， 即， 在和中， ， ∴， ． （2）解：∵， ， ∵中，， ． 12．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，是的平分线，，点P在上，，，M，N分别是垂足． (1)与全等吗？为什么？ (2)吗？为什么？ 【答案】(1)全等；理由见解析 (2)；理由见解析 【分析】本题主要考查了的是全等三角形的判定定理与性质定理．全等三角形的判定定理：． （1）根据“”即可证明； （2）根据可得，再根据等角的补角相等可得，然后证明，利用全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：是的平分线， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）， ． ． ，， ， 又， ， ． 13．（2024七年级下·全国·专题练习）(1)阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接(或将绕着点逆时针旋转得到)，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______； (2)问题解决：如图2，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图1中结构相关的图形． （1）延长至，使，连接，证明，得出，再利用三角形三边关系即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，，同（1）得，，得出再证明，得出，最后再利用三角形三边关系即可得出答案； （3）延长至点，使，连接，证明得出，再证明，得出，即可得证． 【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，，如图所示， 同（1）得，， ，， ∴， 在中，由三角形的三边关系得， ； （3）， 证明如下：延长至点，使，连接，如图所示， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， 在和中， ∴， ． ， ． 14．（23-24七年级下·江西宜春·期末）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． (1)如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 ； (2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； (3)应用：如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)4 【分析】本题考查了图形变换问题，全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算，正确理解图形变换问题中各小题间的内在联系是解题的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定证明，得到，，由此即得答案； （2）同（1）的思路证明，同样得到，得到，，由此即得答案； （3）根据（1）（2）的解题思路，同样可证明，所以，根据，可知，由此即可进一步求得答案． 【详解】（1），理由如下， ， ， ， ， ， ，， ； 故答案为： ． （2）仍然成立，理由如下， ， ， ， ， ， ，， ； （3），， ， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ，， ， ， ， 与的面积之和为4． 15．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读与思考： 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决，比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，D是内一点，且平分，连接，若的面积为10，求的面积． 该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点B作交延长线于点交于点E， 平分 ， ， 在和中， ， （依据1） （依据2），， ，，…… (1)任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，____________； (2)任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； (3)应用：如图3，在中，，平分交于点D，过点C作交延长线于点E，若，求的面积． 【答案】(1)，全等三角形的对应边相等； (2)见解析； (3)9． 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形判定和性质即可得到答案； （2）先推出，得出，，进而可得，即可得到答案； （3）延长、交于点，先推出，得到，再推出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）上述解答过程中的依据1是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或）， 依据2是：全等三角形的对应边相等； （2）∵ ． 即 ； （3）延长交于点F． 平分 在和中 ， 在中， 在中， 在和中 学科网（北京）股份有限公司 $$