专题强化02 函数的概念与性质必刷大题（25道）-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

专题强化02 函数的概念与性质必刷大题 1．（23-24高一上·河南商丘·期中）已知函数的图象关于原点对称. (1)求实数，，的值； (2)作出的大致图象； (3)结合图象求不等式的解集. 2．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知的定义域为，且恒成立. (1)求的值; (2)试判断的单调性，并用定义证明你的结论. 3．（23-24高一上·云南·期中）已知函数（）． (1)若在上是单调递减函数，求的取值范围； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 4．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数是定义域为的奇函数，且当时，，求的解析式，并写出的值域． 5．（23-24高一上·北京·期中）设函数是定义在上的增函数，，对任意总有成立. (1)求与的值； (2)求使成立的的取值范围. 6．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)用分段函数的形式表示函数的解析式，并直接在本题给出的坐标系中画出函数的图像； (3)用表示，中的较大者，即 ，若 ，则求 的值 . 7．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知二次函数的最小值为1，且． (1)求的解析式； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． (3)若在区间上不单调，求实数的取值范围； 8．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 9．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论； (3)若，求的取值范围. 10．（23-24高一上·河南·期中）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求，的解析式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 11．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数 (1)求函数的定义域和值域； (2)设（为实数），求在时的最大值： (3)对（2）中，若对任意及任意恒成立，求实数的取值范围. 12．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知幂函数． (1)若函数在定义域上不单调，函数的图像关于对称，当时，，求函数的解析式； (2)若在R上单调递增，求函数在上的最大值． 13．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有． (1)令，求的定义域 (2)解不等式． 14．（23-24高一上·山西太原·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明． 15．（23-24高一上·河南商丘·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)令函数，记的最小值为，求的取值范围. 16．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数，． (1)若命题：，为假命题，求实数a的取值范围； (2)求函数的最小值； (3)若，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 17．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，， (1)若，成立，求的取值范围； (2)若对，总，使得，求实数的取值范围． 18．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数 (1)解关于x的不等式． (2)设函数，若的解集为，求函数在上的值域． 19．（23-24高一上·湖南常德·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)若不等式成立，求实数的取值范围； (3)若函数，，求函数的最大值. 20．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)若存在，不等式成立，求实数的取值范围. 21．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)若对任意，都有，则的解析式； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； (3)若，求的最小值. 22．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，且满足.对定义域内的两个任意满足.当时，有. (1)求，的值. (2)若不等式在区间恒成立.求的最大值. 23．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求a，b值； (2)用定义证明：在上单调递减； (3)解关于t的不等式． 24．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的取值范围； (2)求的函数关系式； (3)设，若对于任意，都存在，使得，求正数的取值范围. 25．（23-24高一上·云南·期中）定义表示不小于的最小整数，如，，设函数. (1)若，求的取值范围； (2)设，，若，，，，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化02 函数的概念与性质必刷大题 1．（23-24高一上·河南商丘·期中）已知函数的图象关于原点对称. (1)求实数，，的值； (2)作出的大致图象； (3)结合图象求不等式的解集. 【答案】(1)，， (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数性质求解函数解析式即可； （2）利用二次函数作出分段函数图象； （3）利用图象法解不等式即可. 【详解】（1）因为时，， 若，则，所以. 因为函数的图象关于原点对称，所以是奇函数， 所以时，， 而时，，所以，，. （2）由（1）知， 的大致图象如下： （3）当时，由，得，解得或； 当时，由，得，解得或（舍去）， 结合（2）中图象可知的解集为. 2．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知的定义域为，且恒成立. (1)求的值; (2)试判断的单调性，并用定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)为上的增函数，证明见解析 【分析】（1）根据题意得，求得并检验； （2）根据单调性定义判断并证明结论. 【详解】（1）因为满足，故函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 当时，，满足，符合题意， 故. （2）由（1）可知，.函数在上为增函数. 证明如下： 任取，所以， 所以 所以. 故为上的增函数. 3．（23-24高一上·云南·期中）已知函数（）． (1)若在上是单调递减函数，求的取值范围； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据二次函数的单调性可建立不等式，求解即可； （2）不等式恒成立问题可以参变分离求最值，也可以直接求得函数最值. 【详解】（1）由题意得的图象开口向上，其图象的对称轴为直线． 因为在上是单调递减函数，所以 解得，即的取值范围为． （2）因为在上恒成立， 所以，即在上恒成立． 方法一：因为，所以， 因为，所以（）的最小值为， 所以，即的取值范围为． 方法二：因为，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 解得，即的取值范围是． 4．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数是定义域为的奇函数，且当时，，求的解析式，并写出的值域． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由换元法令，求得，代入化简即可得出答案； （2）根据是定义域为的奇函数，，当时，，可求出时函数，的解析式；再由的单调性即可求出的值域． 【详解】（1）令，则， 所以， 所以的解析式为； （2）因为函数是定义域为的奇函数，当时，， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上，， 因为当时，， 因为在上单调递增，所以， 当时，， 因为在上单调递增，所以， 当时，，所以的值域为. 5．（23-24高一上·北京·期中）设函数是定义在上的增函数，，对任意总有成立. (1)求与的值； (2)求使成立的的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用赋值法计算可得； （2）依题意可将不等式化为，结合函数的单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）因为对任意的总有成立， 令，可得，则， 又，令，则. （2）因为，， 所以不等式即， 又函数是定义在上的增函数， 所以，解得， 即的取值范围为. 6．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)用分段函数的形式表示函数的解析式，并直接在本题给出的坐标系中画出函数的图像； (3)用表示，中的较大者，即 ，若 ，则求 的值 . 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)，图象见解析 (3)或 【分析】（1）根据奇函数的定义证明； （2）根据绝对值的定义变形，然后结合二次函数图象作图； （3）由，分类解方程和，求得方程的解后检验是否满足题意即得． 【详解】（1）函数为上的奇函数， 因为， 所以函数为上的奇函数； （2）， 图象如图所示， （3），若，则， 此时，，满足题意； 若，显然时，无解； 因此，，解得，此时满足题意． 所以或 7．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知二次函数的最小值为1，且． (1)求的解析式； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． (3)若在区间上不单调，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，设出二次函数的顶点式求出解析式. （2）求出在上的最小值，再列式求出即可. （3）利用二次函数的性质列式求解即得. 【详解】（1）依题意，二次函数满足，则函数图象的对称轴为， 由函数的最小值为，设， 由，得，解得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知，，当时，，依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. （3）由（1）知，函数图象的对称轴为， 要使函数在区间上不单调，当且仅当，解得， 所以实数的取值范围为. 8．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)为奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据与定义域关于原点对称判断即可； （2）任取，且，作差，再判号得到相应结论； （3）先得到，为奇函数，从而根据奇偶性和第一问求出的单调性解不等式，得到答案. 【详解】（1）由，且定义域关于原点对称，故为奇函数. （2）任取，且， ， 因为，且， 故，，，，， 所以，， 故函数在上单调递增； （3）由（1）（2）为奇函数，且在上单调递增， 变形为， 则要满足，解得：， 故不等式的解集为 9．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上是增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）由条件可得，求出的值，然后根据可求出； （2）根据函数单调性的定义判断并证明即可； （3）由条件先将不等式化为，结合函数的定义域和单调性可得满足的不等式组，从而得出答案. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，解得，则， 又因为，则，解得，所以， 对于，，即是奇函数， 所以. （2），函数在上是增函数. 证明：任取， 所以 ， 因为，所以， 则，所以， 故函数在上是增函数. （3）函数是定义在上的奇函数，且， 则， 因为函数在上是增函数， 所以，则，解得， 所以的取值范围是. 10．（23-24高一上·河南·期中）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求，的解析式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据，分别是偶函数和奇函数列方程组求解； （2）将问题转化为的值域是在区间上值域的子集，求出各自的值域，然后列不等式求解. 【详解】（1）因为，分别是偶函数和奇函数， ①， 所以，即② ①-②可得，即， ①+②可得，即. 所以，； （2）由（1）可知，图象开口向上，对称轴为， 又容易得在区间上的值域为 由题可知，的值域是在区间上值域的子集. 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，. 所以，得. 当时，在区间上单调递减， 所以，. 所以，得， 所以实数的取值范围是. 11．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数 (1)求函数的定义域和值域； (2)设（为实数），求在时的最大值： (3)对（2）中，若对任意及任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3). 【分析】（1）根据函数的解析式有意义，列出不等式组，求得的定义域，再由函数，进而求得的值域； （2）令，转化为即为函数的最大值，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解； （3）由（2）转化为对恒成立，即，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为， 又由，且，所以函数的值域为. （2）解：令，则， 由题意知，函数即为函数的最大值， 抛物线的图像的对称轴为， 因为时，函数，的图像是开口向下的抛物线的一段， ①当，即时， 则函数在上单调递减，即， ②当，即时， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 即， ③当，即时， 则函数在上单调递增，即， 综上可得，. （3）解：由（2）可知，当时，， 当时，， 当时，，所以， 由对恒成立， 即恒成立，即， 令，对所有的，成立， 只需，解得或或， 所以的取值范围是. 12．（23-24高一上·山东菏泽·期中）已知幂函数． (1)若函数在定义域上不单调，函数的图像关于对称，当时，，求函数的解析式； (2)若在R上单调递增，求函数在上的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由幂函数定义得到方程，结合函数的单调性得到，从而求出的解析式； （2）先由（1）得到，，画出函数图象，数形结合得到在上的最大值在，，中取得，分，，结合函数单调性得到最值，得到答案. 【详解】（1）由题意，解得或， 当时，在R上单调递增，不合题意，舍去； 当时，在定义域上不单调，所以， 设，则，时， 因为关于对称，所以， 所以； （2）由（1）可知，在R上单调递增，满足要求， 由题意知，，作出大致图象如图：    易得，， 所以可判断在上的最大值在，，中取得． 当时，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又， ①若，则； ②若，则． 综上可知，在区间上，. 13．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有． (1)令，求的定义域 (2)解不等式． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用函数定义域的概念计算即可； （2）利用赋值法确定的奇偶性与单调性，后解不等式即可. 【详解】（1）因为定义域为， 所以有解得：， 所以的定义域为 （2）令，可得，即， 令，得， 即，是奇函数． 令，则， 且为奇函数， ， 在上单调递增． 由题意可知， ∴， 即不等式的解为． 14．（23-24高一上·山西太原·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明． 【答案】(1)， (2)在上为减函数，证明见解析 【分析】（1）根据为定义在上的奇函数，则，求出的值，代入，求出的值. （2）利用定义法证明函数单调性即可. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 则，此时，为奇函数，符合题意， 又因为，即，解得， 所以，． （2）函数在上为减函数； 证明如下：取任意且， 则， 因为，所以， 又因为， 所以，所以，即 所以函数在上为减函数 15．（23-24高一上·河南商丘·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)令函数，记的最小值为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用及列方程组求解，然后利用奇函数定义检验即可求解； （2）换元法，令，则，分类讨论对称轴与区间的位置关系求解最小值，然后根据的单调性求解值域即可. 【详解】（1）因为，且是奇函数，所以，所以， 解得，所以. 检验：由解析式可知，的定义域为， 对于，都有，且， 所以是奇函数，满足题意.故； （2）由题意知，令，则， 当时，；当时，， 所以，. 函数的对称轴方程为， 当，或时，的最小值； 当时，的最小值.； 当时，的最小值. 所以， 因为在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以的取值范围是. 16．（23-24高一上·山东聊城·期中）已知函数，． (1)若命题：，为假命题，求实数a的取值范围； (2)求函数的最小值； (3)若，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)3 (3)． 【分析】（1）由否定的定义结合一元二次不等式的恒成立问题求解即可； （2）去掉绝对值，分类讨论得出最值； （3）由一元二次不等式的恒成立问题得出，，利用基本不等式求出的最小值，从而得出实数a的取值范围． 【详解】（1）解：由命题：，为假命题可得，， 即，，解得； 即实数a的取值范围是； （2） 当时，； 当时，； 当时，． 则，当且仅当时成立， （3），，即， 则，即， 则，， 而，当且仅当时等号成立； 又由（2）知当时，有最小值3， 即当时，的最小值为7． 所以． 故实数a的取值范围是． 17．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，， (1)若，成立，求的取值范围； (2)若对，总，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意得到，，再根据二次函数的性质可得，进而求解即可； （2）先根据题意可得原条件等价于在上的最小值大于在上的最小值，再结合二次函数的性质分，，三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）因为，成立， 即，成立， 所以，， 设， 则， 解得或， 故的取值范围为. （2）对，总，使得，等价于， 等价于在上的最小值大于在上的最小值， 由于在上单调递增，因此； 因为开口向上，且其对称轴为， ①若，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以，即，解得，不符合； ②若，即，函数在上单调递增， 则， 所以，即，解得，符合； ③若，即，函数在上单调递减， 则， 所以，即，无解， 综上所述，的取值范围是． 18．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数 (1)解关于x的不等式． (2)设函数，若的解集为，求函数在上的值域． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）考虑，和三种情况，解得，即，解不等式得到答案. （2）确定，令，，根据函数的单调性计算值域得到答案. 【详解】（1）， 当时，解集为； 当时，，当，即时，对应方程的解为， ①当时，解集为； ②时，解集为； ③时，解集为； ④时，解集为. 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. （2）的解集为，故，则，， 则，令，则， . 在上单调递减，在上单调递增， 故，， ，，故. 19．（23-24高一上·湖南常德·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)若不等式成立，求实数的取值范围； (3)若函数，，求函数的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用奇函数定义求出的函数关系式即可. （2）探讨函数的单调性，结合奇函数求解不等式即得. （3）求出给定区间上函数解析式，再分类求出在该区间上的最大值即得. 【详解】（1）因为函数是定义域为上的奇函数，则，当时，， 设，有，则， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知，函数，函数在上单调递增， 在上单调递增，因此函数在上为单调递增， 由函数为奇函数，不等式，化为， 于是，解得， 即实数的取值范围是. （3）当时，由（1）知函数， 当，即时，函数在上单调递减， 则当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，即，函数在上单调递增，在上单调递减， 则当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，即，函数在上单调递增， 则当时，函数取得最大值，最大值为， 所以函数的最大值. 20．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)若存在，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质可得，进而列出方程组求解即可； （2）分和两种情况求得，进而求解即可. 【详解】（1）由题意，， 即，解得，， 此时， 则， 即，所以，. （2）由（1）知，， 当时，，对称轴为， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，； 当时，，对称轴为， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，. 综上所述，， 由题意，存在，不等式成立，则只需要即可， 所以，即实数的取值范围为. 21．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)若对任意，都有，则的解析式； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； (3)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件列出等量关系，由此求解出的值，则解析式可知； （2）根据区间与对称轴的关系列出不等式，由此求解出的取值范围； （3）分析对称轴与区间的关系，结合二次函数的单调性求解出. 【详解】（1）因为， 所以， 化简得，且不恒为， 所以，所以， 所以； （2）因为的对称轴为，又在区间上不单调， 所以，所以， 所以的取值范围为； （3）的对称轴为， 当时，即时，在上单调递增，所以； 当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以； 当时，即时，在上单调递减，所以， 综上可知，. 22．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，且满足.对定义域内的两个任意满足.当时，有. (1)求，的值. (2)若不等式在区间恒成立.求的最大值. 【答案】(1)，； (2)4. 【分析】（1）利用给定的函数等式，结合求解即得. （2）判断函数的单调性，变形给定不等式，再脱去法则，分离参数，利用基本不等式求出的取值范围即得. 【详解】（1）由，，， 得，解得，， 所以，. （2）由，当时，有，得函数在上单调递增， 由（1）知，，则不等式，化为， 即，于是，依题意，，， 即，而当时，，当且仅当，即时取等号， 所以，的最大值为4. 23．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求a，b值； (2)用定义证明：在上单调递减； (3)解关于t的不等式． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据，解得答案，再验证即可. （2）取，计算得到证明. （3）利用函数的奇偶性和单调性得到，解得答案. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，，所以； 又，，解得， 所以，，， 又，故满足是奇函数． （2）证明：，且，即， 则     ， 因为，，，，， 故，即， 所以函数在区间上单调递减． （3）函数在上单调递减，且为奇函数， 由得，所以，解得． 所以不等式的解集为 24．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的取值范围； (2)求的函数关系式； (3)设，若对于任意，都存在，使得，求正数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数单调性求最值； （2）利用函数的奇偶性求函数在对称区间上的解析式； （3）根据题意求出，转化为的值域包含的值域即可得解. 【详解】（1）因为的对称轴为， 所以函数在单调递减，在单调递增， 因为，所以在上的值域为； （2）因为是定义在上的奇函数，所以； 设，则，所以； 又因为是定义在上的奇函数，所以， 所以 （3）因为，所以，所以， 当时，，因为在上递增，所以在上递增， 所以，所以， 所以，所以， 当时，， 因为在上递减，在上递增， 此时，因为，，所以， 所以不符合题意， 综上，. 25．（23-24高一上·云南·期中）定义表示不小于的最小整数，如，，设函数. (1)若，求的取值范围； (2)设，，若，，，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数新定义直接求解即可； （2）先根据函数的单调性求出函数的值域，再根据不等式恒成立问题利用二次函数最值即可求解. 【详解】（1）由题意及，得，即的取值范围是. （2）当时，在上单调递减，在上单调递增， 则函数在上单调递增，在上单调递减，. 因为，，所以在上的值域为. ，，，则，，， 即，，即. 当时，，得， 因为在上单调递增，所以，所以，解得； 当时，，得， 因为在上单调递减，所以，所以，解得. 综上，的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$