2.6正多边形与圆（讲义）（暑期自学课） 2024-2025学年苏科版数学九年级上册

2024-2025学年苏科版数学九年级上册 2.6正多边形与圆（讲义） （暑期自学课） 知识梳理 【知识点】 1.四点共圆 性质：圆内接四边形对角互补，任何一个外角等于其内对角。 判定四点共圆常用的方法有： （1）对角互补的四边形，四点共圆； （2）外角等于内对角的四边形，四点共圆； （3）同底同侧的顶角相等的两个三角形，四点共圆； （4）到定点的距离等于定长的四个点，四点共圆。 2.正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 特别说明：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件： (1)各边相等； (2)各角相等；缺一不可. 如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 3.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 4.正多边形的有关概念 　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 5.正多边形的有关计算 　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 6.正多边形的性质 （1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. （2）正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形. （3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. （4）边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． （5）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 典型例题 【例1】以下说法正确的是 ( ) A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形． B．正n边形的对称轴不一定有n条． C．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数． D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【例2】如图，正六边形内接于，连接，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【例3】下图是某经营摄影器材公司的（公司的徽标）它由六个全等的直角三角形拼成，根据所学知识求出是______． 【例4】如图，分别是正方形、正五边形和正六边形， （1）试分别计算这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角的度数； （2）探究正n边形相邻两条对角线的夹角满足的规律． 举一反三 【变式1】若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CMD的大小为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 【变式3】如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a等于（　　） A．cm B．2cm C．2cm D．cm 【变式4】如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，⊙O的半径长为a，下列说法中不正确的是（　　） A.正六边形ABCDEF的中心角等于60° B．正六边形ABCDEF的周长等于6a C．正六边形ABCDEF的边心距等于 D．正六边形ABCDEF的面积等于3 【变式5】如图，在正五边形中，连结，以点为圆心，为半径画圆弧交于点，连结．则的度数是__________． 【变式6】如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE． （1）求∠AED的度数； （2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值． 小试牛刀 一、选择题（共4题） 1.一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 2. 若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（   ） A． B．4 C． D．2 3.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是（   ） A．72° B．70° C．60° D．45° 4.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（     ） A．2mm B． C． D．4mm 二、填空题（共4题） 5.颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是　 　　米． 6.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为 　 　cm． 7.如图，点为正八边形的中心，则的度数为______． 8.如图，正十二边形，连接，，则 ______ ． 三、解答题（共4题） 9.已知正六边形内接于，图中阴影部分的面积为，则的半径为多少？ 10.如图，四边形内接于圆，，对角线平分． （1）求证：是等边三角形； （2）过点作交的延长线于点，若，求的面积． 11.如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹． (1)在图1中的边上求作点，使； (2)在图2中的边上求作点，使． 12.阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有 　 　． 任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 　 　． （2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$