第3章 勾股定理 素能测评 课件 2024—2025学年苏科版数学八年级上册

第3章素能测评 一、 选择题(每小题3分,共24分) 1. 在Rt△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c,∠C=90°.若a=3,b=5,则c2的值为 (　　) A. 4 B. 8 C. 16 D. 34 2. 在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D.若AB=4,BD=5,则点D到BC的距离是 (　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 3. 下列各组数中,是勾股数的为 (　　) A. 2、3、4 B. 0.6、0.8、1 C. 32、42、52 D. 6、8、10 4. 已知△ABC的三边长a、b、c满足等式a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则△ABC是 (　　) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 5. 如图,在高为3m、斜坡长为5m的楼梯台阶上铺地毯,则地毯的长度至少为 (　　) A. 5m B. 6m C. 7m D. 8m 6. 如图,在4×4的正方形网格中有两个格点A、B,连接AB,在网格中再找一个格点C,使得△ABC是等腰直角三角形,满足条件的格点C的个数是 (　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 7. 如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点(不含端点B、C).若线段AD的长为正整数,则点D共有 (　　) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 8. 如图,在长方形纸片ABCD中,E为BC的中点,连接AE,将△ABE沿AE折叠得到△AFE,连接CF.若AB=4,BC=6,则CF的长为 (　　) A. 3 B. C. D. D 解析:连接BF,交AE于点O.由折叠的特征,得AE垂直平分BF,∴ BF=2BO. ∵ E为BC的中点,∴ BE=CE=BC=3.在Rt△ABE中,由勾股定理,易得AE =5.∵ S△ABE=AB·BE=AE·BO,∴ BO=,∴ BF=2BO=.由折叠的特征,得BE=EF,∴ BE=EF=EC,∴ 易得∠BFC=90°.在Rt△BFC中,由勾股定理,得CF2=BC2-BF2=,∴ CF=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 二、 填空题(每小题3分,共24分) 9. 在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线.若AB=5,BC=6,则AD的长为　 . 10. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题:“仅有池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”大意如下:如图,有一个池塘,底面是边长为10尺的正方形,一棵芦苇AB生长在它的中央,高出水面的部分BC=1尺.如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的点B'.水深为　　　　尺,芦苇的长为 　　　　尺.  4 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 11. 如图,所有涂色部分的四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形.已知正方形A、B、C的面积依次为3、5、4,则正方形D的面积为　　　. 　 　　　　　　　　 12. 在△ABC中,AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,则边AC上的高是　　　cm. 13. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=12,点D在边BC上,∠ADC=2∠B,AD= 13,则BC的长为　　　　.  12 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 14. 如图,在三角形纸片ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸片折叠,使点B落在边BC上的点D处;再折叠纸片,使点C与点D重合. 若折痕与AC的交点为E,则AE的长为　　　　.   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 15. 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图①),且大正方形的面积是15,小正方形的面积是3,直角三角形的较短直角边的长为a,较长直角边的长为b.如果将四个全等的直角三角形按如图②所示的方式摆放,那么图②中最大的正方形的面积为　　　　.  　　　　　　 27 解析:在题图①中,由题意,得a2+b2=15,(b-a)2=3.两 式相减,得2ab=12.在题图②中,大正方形的面积为 (a+b)2=a2+2ab+b2=15+12=27. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 16. 如图,在△ABC中,AB=12,AC=16,BC=20.将△ABC沿射 线BM折叠,使点A与边BC上的点D重合,E为射线BM上的 一个动点,当△CDE的周长最小时,CE的长为　　　　. 10 解析:由题意,可知A、D两点关于射线BM对称.∵ C△CDE=CD+DE+CE, CD的长为定值,∴ 要使△CDE的周长最小,即DE+CE最小,∴ AC与射线BM的交点即为使△CDE的周长最小的点E.∵ AB=12,AC=16,BC=20,且122+162=202,∴ AB2+AC2=BC2,∴ △ABC为直角三角形,且∠BAC=90°.如图,由折叠,得∠BAC=∠BDE=90°,AB=BD=12,AE=DE. ∴ ∠BDE=∠CDE=90°.∵ AB=BD=12,∴ CD=BC-BD=8. 设CE=x,则AE=DE=16-x.∵ 在Rt△CDE中,CE2=DE2+CD2, ∴ x2=(16-x)2+82,解得x=10,∴ CE的长为10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 三、 解答题(共82分) 17. (5分)判断由下面各组线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形. (1) a=15、b=17、c=8; (2) a=4、b=5、c=6. (1) ∵ a2+c2=152+82=289,b2=172=289,∴ a2+c2=b2,∴ 线段a、b、c组成的三角形是直角三角形　 (2) ∵ a2+b2=42+52=41,c2=36,∴ a2+b2≠c2,∴ 线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 18. (5分)如图,在6×4的方格纸ABCD中,请按要求画格点线段(端点在格点上),且线段的端点均不与点A、B、C、D重合. (1) 在图①中画格点线段EF、GH各一条,使点E、F、G、H分别落在边AB、BC、CD、DA上,且EF=GH,EF不平行于GH; (1) 如图①,线段EF、GH即为所求　 第18题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 (2) 在图②中画格点线段MN、PQ各一条,使点M、N、P、Q分别落在边AB、BC、CD、DA上,且PQ2=5MN2. (2) 如图②,线段MN、PQ即为所求 第18题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 19. (5分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=15,AC=20,AD⊥BC,垂足为D,求AD、BD的长. 在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC2=AB2+AC2=152+202=625, ∴ BC=25.∵ S△ABC=AB·AC=BC·AD,∴ AD=== 12.在Rt△ABD中,由勾股定理,得BD2=AB2-AD2=152-122=81, ∴ BD=9 第19题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 20. (5分)如图,E是正方形ABCD内的一点,点E'在边BC的下方,连接AE、BE、CE、BE'、CE'.若AE=1,BE=2,CE=3,且△ABE≌△CBE',求∠BE'C的度数. 如图,连接EE'.∵ △ABE≌△CBE',∴ BE=BE'=2,AE=CE' =1,∠ABE=∠CBE'.∵ 四边形ABCD是正方形,∴ ∠ABC= 90°,即∠ABE+∠EBC=90°,∴ ∠CBE'+∠EBC=90°,即 ∠EBE'=90°,∴ △BEE'为等腰直角三角形,∴ E'E2=BE2+ BE'2=8,∠BE'E=45°.∵ CE2=32=9,CE'2=12=1,∴ E'E2+CE'2 =CE2,∴ ∠EE'C=90°,∴ ∠BE'C=∠BE'E+∠EE'C =135° 第20题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 21. (6分)如图,∠O=90°,OA=36cm,OB=12cm,一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O,机器人立即从点B出发,沿直线匀速前进拦截小球,恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程BC是多少? ∵ 小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,运 动时间相等,∴ BC=CA.设BC=CA=xcm,则OC=(36 -x)cm.∵ ∠O=90°,∴ 在Rt△BOC中,由勾股定理, 得OB2+OC2=BC2,即122+(36-x)2=x2,解得x=20,∴ BC=20cm,∴ 如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程BC是20cm 第21题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 22. (6分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,动点P从点C出发,按C→A→B的路径运动,且速度为1cm/s.设运动时间为ts. (1) 当t为何值时,CP=3cm? 第22题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 (1) 在△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,∴ 根据勾股定理,得AC= 4cm.① 若点P在CA上,则CP=tcm=3cm,∴ t=3.② 如图,若点P在AB上,则CP=CB=3cm,AP=(t-4)cm.过点C作CH⊥AB于点H,则PB=2BH.由S△ABC =AC·BC=AB·CH,得4×3=5CH,∴ CH=cm.在Rt△BCH中,∵ BH2+ CH2=BC2,∴ BH2+=32,∴ BH=cm,∴ PB=2BH=cm.由AP+PB= AB,得t-4+=5,∴ t=.③ 当点P与点B重合时,CP=3cm,此时 t=9.综上所述,当t的值为3或或9时,CP=3cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 (2) 当t的值为　　 　　时,△BCP为等腰三角形.  第22题 3或或或6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 23. (8分)我们规定:三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差.如图①,在△ABC中,AO是边BC上的中线,AB与AC的“极化值”就等于AO2-BO2的值,可记为AB△AC=AO2-BO2.在图②中,若∠BAC=90°,AB=8,AC=6,AO是边BC上的中线,求下面各式的值: (1) AB△AC; (1) ∵ ∠BAC=90°,∴ AB2+AC2=BC2,即82+62=BC2, ∴ BC=10.∵ 在Rt△ABC中,AO是边BC上的中线,∴ BO=CO=AO=BC=5,∴ AB△AC=AO2-BO2=52-52=0 第23题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 (2) OC△OA. (2) 如图,取AC的中点D,连接OD,则CD=AC=3.由(1), 知AO=CO=5,∴ OD⊥AC(三线合一),∴ 在Rt△ODC 中,OD2=OC2-CD2=52-32=16,∴ OD=4,∴ OC△OA= OD2-CD2=42-32=7 第23题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 24. (8分)如图,有一张四边形纸片ABCD,AB⊥BC,经测得AB=9cm,BC= 12cm,CD=8cm,AD=17cm.求: (1) A、C两点之间的距离; (2) 这张纸片的面积. (1) 连接AC.在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=9cm,BC=12cm,∴ AC===15(cm),∴ A、C两点之间的距离为15cm　 (2) ∵ CD2+AC2=82+152=289(cm2),AD2=289cm2,∴ CD2+AC2=AD2,∴ ∠ACD=90°,∴ 四边形纸片ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=AB·BC+ AC·CD=×9×12+×15×8=114(cm2) 第24题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 25. (10分)为把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园,某地大力修建崭新的公路.如图,现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC、AD和AB,C、D、B三地在同一条笔直的公路上,公路AC与公路CB互相垂直,又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H地处连接,且公路DH与公路AB互相垂直.已知AC=9千米,AB=15千米,BD=5千米. (1) 求公路CD的长度; (1) ∵ ∠C=90°,AC=9千米,AB=15千米,∴ BC= ==12(千米).∵ BD=5千米,∴ CD=BC-BD=12-5= 7(千米) 第25题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 (2) 若修公路DH每千米的费用是2000万元,请求出修建公路DH的总费用. (2) ∵ DH⊥AB,∴ S△ABD=BD·AC=AB·DH,∴ DH= ==3(千米),∴ 修建公路DH的总费用为3×2000 =6000(万元) 第25题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 26. (12分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm.若点P从点A出发,以2cm/s的速度沿折线A—C—B向点B运动,设运动时间为ts(t>0). (1) 在AC上是否存在点P,使得PA=PB?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由. (1) 存在　∵ ∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,∴ 由勾股定 理,得AC2+BC2=AB2,∴ AC=4cm.假设存在点P,使得PA= PB,则PA=PB=2tcm,PC=(4-2t)cm.在Rt△BPC中,由勾股 定理,得PC2+BC2=PB2,即(4-2t)2+32=(2t)2,解得t=.∴ 存 在满足条件的点P,此时t的值为 第26题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 (2) 若点P恰好在△ABC的角平分线上,请求出t的值. 第26题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 (2) ① 当点P在点C或点B处时,一定在△ABC的角平分线上,此时t=2或t=.② 如图①,当点P在边AC上,且点P在∠ABC的平分线上时,AP=2tcm.过点P作PH⊥AB,垂足为H,易得△BHP≌△BCP.∴ PH=PC=(4-2t)cm,BH=BC =3cm,∴ AH=AB-BH=2cm.在Rt△AHP中,由勾股定理,得AH2+PH2=AP2, ∴ 22+(4-2t)2=(2t)2,解得t=.③ 如图②,当点P在边BC上,且点P在∠BAC的平分线上时,PC=(2t-4)cm,PB=BC-PC=(7-2t)cm.过点P作PH⊥AB,垂足为H,易得△AHP≌△ACP.∴ PH=PC=(2t-4)cm,AH=AC=4cm,∴ BH=AB-AH=1cm.在Rt△BHP中,由勾股定理,得BH2+PH2=PB2,∴ 12+(2t-4)2=(7-2t)2,解得t=.综上所述,当点P恰好在△ABC的角平分线上时,t的值为2或或或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 27. (12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,点P从点A出发,沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动.设点P的运动时间为t秒(t>0). (1) 当点P在AC的延长线上运动时,CP的长为　　　　 (用含t的代数式表示);  第27题 2t-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 (2) 当点P在∠ABC的平分线上时,求t的值; (2) 如图①,过点P作PM⊥AB于点M.∵ ∠ACB=90°,∴ PC ⊥BC.∵ 点P在∠ABC的平分线上,PM⊥AB,PC⊥BC,∴ PC =PM.又∵ PB=PB,∴ Rt△PCB≌Rt△PMB(HL),∴ CB=MB, ∴ AM=AB-MB=AB-BC=5-3=2.设PC=PM=x,则AP=4-x.在 Rt△APM中,由勾股定理,得AM2+PM2=AP2,∴ 22+x2=(4-x)2, 解得x=,∴ PC=,∴ t===,∴ 当点P在∠ABC的平分 线上时,t的值为 第27题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 (3) 当△ABP是等腰三角形时,求t的值. (3) 如图②,当AB为底边时,PA=PB.设PA=a,则PC=AC-AP= 4-a.在Rt△PCB中,由勾股定理,得PB2=PC2+CB2,∴ a2=(4- a)2+32,解得a=,此时t=÷2=.如图③,当AB为腰时,若 AP1=AB=5,则t==;若AB=BP2,则易得t====4. 综上所述,t的值为或或4 第27题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 $$