第2章轴对称图形 素能测评 课件 2024—2025学年苏科版数学八年级上册

第2章素能测评 一、 选择题(每小题3分,共24分) 1. 围棋起源于中国,古代称之为“弈”,下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的为 (　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2. 如图,线段AB的长为6,利用尺规作AB的垂直平分线,步骤如下:① 分别以点A、B为圆心,b为半径作弧,两弧相交于点C、D;② 作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线.由此可知,b的值可能是 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 3. 小明从镜子中看到身后电子钟的示数如图所示,则此时的时间应是 (　　) A. 21:10 B. 10:21 C. 10:51 D. 12:01 4. 若等腰三角形的一个内角为70°,则另外两个内角的度数分别是 (　　) A. 55°、55° B. 70°、40°或70°、55° C. 70°、40° D. 55°、55°或70°、40° C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 5. 如图,BD是等边三角形ABC的边AC上的高,以点D为圆心,DB为半径作弧,交BC的延长线于点E,则∠DEC的度数为 (　　) A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 6. 如图,D是△ABC中边BC上的一点,AB=AC=BD,则∠1与∠2之间的关系是 (　　) A. ∠1=2∠2 B. ∠1+∠2=90° C. 180°-∠1=3∠2 D. 180°+∠2=3∠1 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 7. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°.根据尺规作图的痕迹作直线PQ交AB、AC于点D、E,连接CD.有下列说法:① 直线PQ是AC的垂直平分线;② CD =AB;③ △BCD是等边三角形;④ S△ADE∶S四边形DBCE=1∶4.其中,错误的个数是 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 8. 如图,在四边形ABCD中,∠C=50°,∠B=∠D=90°,E、F分别是BC、DC上的点.当△AEF的周长最小时,∠EAF的度数为 (　　) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 二、 填空题(每小题3分,共24分) 9. 若等腰三角形的两边长分别是8cm和5cm,则这个等腰三角形的周长为 　　　　cm.  10. 如图,直线m∥n,△ABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F.若∠1=140°,则∠2的度数为　　　　.  18或21 100° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 11. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=54°,依据尺规作图的痕迹,作直线CE,交AB于点F,则∠ACF的度数为　　　　.  12. 若一个等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的锐角为46°,则这个等腰三角形的底角度数为　　　 　.  18° 22°或68° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 13. 如图所示为4×4的正方形网格,其中已有四个小正方形被涂上了色.现在要从其余白色小正方形中任意选出一个也涂上色,使整个涂色部分的图形成为轴对称图形,则这样的白色小正方形有　　　　种选择. 14. 如图,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C的度数为 　　　　.  3 52° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 15. 如图,AD是三角形纸片ABC的中线,∠ADC=60°,BC=6,把△ABC沿直线AD折叠,使点C落在点C'处,连接BC',那么BC'的长为　　　　.  3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 16. 如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,∠B=62°,AB+BD=CD,则∠BAC的度数为　　　　. 87° 解析:延长DB至点E,使BE=AB,连接AE,则∠E=∠BAE. ∵ ∠ABC=∠E+ ∠BAE=2∠E=62°,∴ ∠E=31°.∵ AB+BD=CD,∴ BE+BD=CD,即DE= CD.∵ AD⊥BC,∴ AD垂直平分CE,∴ AC=AE,∴ ∠C=∠E=31°,∴ ∠BAC=180°-∠ABC-∠C=87°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 三、 解答题(共82分) 17. (5分)如图,在3×3的正方形网格中,已有两个小正方形被涂上了色,请再将图中剩余的七个小正方形中的任意一个涂上色,使整个图形成为轴对称图形. 如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 18. (5分)如图,求作一点M,使MC=MD,且使点M到∠AOB两边的距离相等(保留作图痕迹,不写作法). 如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 19. (5分)如图,在锐角三角形ABC中,∠ABC=48°,请用尺规作图的方法,在△ABC内部求作一点P,使PB=PC,且∠PBC=24°(保留作图痕迹,不写作法). 如图,点P即为所求 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 20. (5分)如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE是△ABC的角平分线.求证:AE =AD. ∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠ACB.∵ BD、CE是△ABC的角 平分线,∴ ∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,∴ ∠ABD= ∠ACE.在△ACE和△ABD中,∴ △ACE ≌△ABD(ASA),∴ AE=AD 第20题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 21. (6分)分别按要求完成下面的问题. (1) 在图①中,将△ABC先向左平移5个单位长度,再作关于AB所在直线对称的轴对称图形,经过两次变换后得到△A1B1C1,画出△A1B1C1; (1) 如图,△A1B1C1即为所求 第21题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 (2) 在图②中,△ABC经变换得到△A2B2C2,请描述变换过程(写出一种即可). (2) 答案不唯一,如先作△ABC关于AC所在直线 对称的轴对称图形,再向左平移2个单位长度,最 后作关于AB所在直线对称的轴对称图形 第21题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 22. (6分)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为D,过点D作DE ∥AC,交AB于点E.若AB=5,求线段DE的长. ∵ AD平分∠BAC,∴ ∠BAD=∠CAD.∵ DE∥AC, ∴ ∠CAD=∠ADE,∴ ∠BAD=∠ADE,∴ AE=DE. ∵ BD⊥AD,∴ ∠ADB=90°,∴ ∠BAD+∠ABD= 90°,∠ADE+∠BDE=90°,∴ ∠ABD=∠BDE,∴ DE=BE,∴ DE=BE=AE=AB.∵ AB=5,∴ DE=2.5 第22题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 23. (8分)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为线段CE的中点,BE=AC. (1) 求证:AD⊥BC; (2) 若∠BAC=75°,求∠B的度数. (1) 连接AE.∵ EF垂直平分AB,∴ AE=BE.∵ BE=AC, ∴ AE=AC.∵ D是EC的中点,∴ AD⊥BC　 (2) 设∠B=x°.∵ AE=BE,∴ ∠BAE=∠B=x°,∴ 由三角形外角的性质,得∠AEC=2x°.∵ AE=AC,∴ ∠C=∠AEC=2x°.在△ABC中,∵ ∠B+ ∠BAC+∠C=180°,∴ x°+75°+2x°=180°,解得x°=35°,∴ ∠B的度数为35° 第23题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 24. (8分)如图,∠BAC=∠ABD=90°,AC=BD,O是AD、BC的交点,E是AB的中点. (1) 求证:△OAB是等腰三角形; (2) 试判断OE与AB之间的位置关系,并证明. (1) 在△ABC和△BAD中, ∴ △ABC≌△BAD(SAS),∴ ∠ABC=∠BAD,∴ OA=OB,∴ △OAB是等腰三角形　 (2) OE垂直平分AB　∵ △OAB是等腰三角形,E是AB的中点,∴ OE⊥AB, ∴ OE垂直平分AB 第24题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 25. (10分) (1) 如图①,在△ABC和△AEF中,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=120°,连接BE、FC,延长BE、FC交于点D.请猜想BE与CF之间的数量关系及∠BDC的度数,并说明理由. (1) BE=CF,∠BDC=60°　理由:∵ ∠BAC=∠EAF= 120°,∴ ∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,即∠BAE= ∠CAF.在△BAE和△CAF中,∴ △BAE ≌△CAF(SAS),∴ BE=CF,∠AEB=∠AFC.∵ AE=AF,∠EAF=120°,∴ ∠AEF=∠AFE=30°.∵ ∠BEF是△EFD的外角,∴ ∠BEF=∠BDC+ ∠EFD,∴ ∠BDC=∠BEF-∠EFD=(∠AEB+30°)-(∠AFC-30°)=60°. 第25题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 (2) 如图②,△ABC和△AEF均为等腰直角三角形,∠BAC=∠EAF=90°,连接BE、CF,且点B、E、F在一条直线上,过点A作AM⊥BF,垂足为M,则BF、CF、AM之间的数量关系为　　　　　　　　　. 解析:∵ △ABC和△AEF都是等腰三角形,∠BAC=∠EAF =90°,∴ AB=AC,AE=AF,∠BAC-∠CAE=∠EAF-∠CAE, 即∠BAE=∠CAF.在△BAE和△CAF中,∴ △BAE≌△CAF(SAS),∴ BE=CF.∵ AE=AF,AM⊥BF,∴ EM=FM.∵ 在Rt△EAF中,∠EAF=90°,∴ EF=2AM.∵ BF=BE+EF,∴ BF=CF+2AM. 第25题 BF=CF+2AM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 26. (12分)把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀,分成3张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形,图①是其中的一种方法. 定义:如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,那么我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线. (1) 请你在图②、图③中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数. (1) 答案不唯一, 如图①②所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 (2) 在△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC的三分线,点D在边BC上,点E在边AC上,且AD=BD,DE=CE.设∠C=x°,试画出示意图,并求出x所有可能的值. (2) 如图③④所示　当AD=AE时,如图③,∠ADE=∠AED.∵ DE=CE,∴ ∠EDC=∠C=x°,∴ ∠AED=2∠C=2x°,∴ ∠ADE=2x°.∵ AD=BD,∴ ∠BAD=∠B=30°.由∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD,得2x+x=30+ 30,此时x=20.当AD=DE时,如图④,∠DAE=∠DEA.∵ DE=CE,∴ ∠EDC =∠C=x°,∴ ∠AED=2∠C=2x°,∴ ∠DAE=2x°,∴ ∠BAC=30°+2x°.由△ABC的内角和为180°,得30+30+2x+ x=180,此时x=40.当AE=ED时,不存在满足 条件的情况.综上所述,x所有可能的值为 20、40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 27. (12分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4cm,动点P、Q从A、B两点同时出发,分别以2cm/s、1cm/s的速度在边AB、BC上匀速运动,当点P到达点B处时,P、Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为ts. (1) 当t为何值时,△PBQ为等边三角形? 在△ABC中,∵ ∠C=90°,∠A=30°,∴ ∠B=60°.∵ 动点P的 总运动时间为4÷2=2(s),∴ 0≤t≤2.由题意,得BP=(4-2t)cm,BQ= tcm. (1) ∵ ∠B=60°,∴ 当BP=BQ时,△PBQ为等边三角形,即4-2t =t,解得t=,∴ 当t的值为时,△PBQ为等边三角形　 第27题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 (2) 当t为何值时,△PBQ为直角三角形? (2) 分两种情况讨论:① 当∠BQP=90°时,∠BPQ=30°,则 BP=2BQ,即4-2t=2t,解得t=1;② 当∠BPQ=90°时,∠BQP= 30°,则BQ=2BP,即t=2(4-2t),解得t=.∴ 当t的值为1或时, △PBQ为直角三角形 第27题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 $$