第22章 相似形 总结提升 课件 2024—2025学年沪科版数学九年级上册

第22章总结提升 第22章　相 似 形 01 体系构建 02 考点突破 03 素养提升 目 录 返回目录 考点一　相似多边形 1. 将三边长分别为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和相邻两边 长分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形， 它们的对应边间距均为1，则新图形与原图形相似的有（　C　） 　 　 第1题 C A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 考点二　成比例线段 2. 下列四条线段成比例的是（　C　） A. a ＝4， b ＝6， c ＝5， d ＝10 B. a ＝ ， b ＝3， c ＝2， d ＝ C. a ＝2， b ＝ ， c ＝ ， d ＝2 D. a ＝12， b ＝8， c ＝15， d ＝11 3. 如果15， a ，5，4是成比例线段的长度，那么 a 的值可能为 （　D　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 考点三　比例的基本性质 4. 如果 ＝ ，那么 的值为（　B　） A. B. C. D. 2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 考点四　黄金分割 5. “黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树 叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品.实际上，很多 叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子.如 图， P 大致是 AB 的黄金分割点（ AP ＞ PB ），如果 AP 的长约为4cm， 那么 AB 的长约为（　A　） A A. （2 ＋2）cm B. （2 －2）cm C. （2 ＋1）cm D. （2 －1）cm 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 考点五　平行线分线段成比例定理 6. 如图， AB ∥ CD ∥ EF . 有下列式子：① AC · CE ＝ BD · DF ；② AC · AE ＝ BD · BF ；③ AC · DF ＝ CE · BD ；④ CD2＝ AB · EF . 其中成立 的是 （填序号）. 第6题 ③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 考点六　相似三角形的判定 7. 在△ ABC 和△ DEF 中，∠ A ＝∠ D ＝105°， AC ＝4cm， AB ＝6cm， DE ＝3cm，则当 DF 的长为 时，△ ABC 和△ DEF 相似. 2cm或4.5cm　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 （1） 写出图中的三对相似三角形，并选取其中一对三角形证明它 们相似； 解：（1） 答案不唯一，如△ FEC ∽△ FAB ，△ ADG ∽△ FBG ，△ EDG ∽△ ABG 　选△ FEC ∽△ FAB 　 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ CE ∥ AB . ∴ △ FEC ∽△ FAB 第8题 8. 如图，在▱ ABCD 中，点 E 在边 CD 上， CE ＝2 ED ，连接 AE 并延 长，交 BC 的延长线于点 F ，交 BD 于点 G . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 （2） 若 EG ＝1，求 EF 的长. 解：（2） ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，∴ AB ＝ CD ， AB ∥ CD . ∴ △ DEG ∽△ BAG . ∴ ＝ .∵ CE ＝2 ED ，∴ AB ＝ CD ＝3 DE . 又∵ EG ＝1，∴ ＝ .∴ AG ＝3.∴ AE ＝ AG ＋ EG ＝4.∵ AB ∥ CD ， ∴ △ ECF ∽△ ABF . ∴ ＝ .∴ ＝ .∴ EF ＝8 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 考点七　相似三角形的性质 9. 某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9∶4，其中一块草坪的周 长是36米，则另一块草坪的周长是 ⁠. 24米或54米　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 考点八　相似三角形的应用 10. 小琛周末去检查视力，发现该店老板利用平面镜来解决房间小的问 题.已知正常情况下，人与视力表之间的距离应为5米，而测得该店两面 墙之间的距离为3米.如图，根据平面镜成像原理作出光路图，视力表 AB 的上下边沿 A ， B 上发出的光线经平面镜MM'的上下边反射后射入人眼 C 处.已知视力表 AB 的全长为0.8米，要使墙面上的平面镜能呈现完整的 视力表，则镜长MM'至少为多少米？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 第10题答案 解：如图，过点 C 作 CD ⊥ MM '，垂足为 D ，并延长交 A ' B '于点 E . ∴ ∠ MDC ＝90°.由题意，得 AB ∥ MM '∥ A ' B '， DE ＝3米， CE ＝5 米， A ' B '＝ AB ＝0.8米.∴ ∠ A ' EC ＝∠ MDC ＝90°，△ CMM '∽△ CA ' B '.∴ CE ⊥ A ' B '.∵ MM '⊥ A ' B '，∴ ＝ .∵ CD ＝ CE － DE ＝5 －3＝2（米），∴ ＝ .∴ MM '＝0.32米.∴ 镜长 MM '至少为0.32米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 考点九　位似图形 11. （2023·长春）如图，△ ABC 和△A'B'C'是以点 O 为位似中心的位似 图形，点 A 在线段OA'上.若 OA ∶AA'＝1∶2，则△ ABC 与△A'B'C'的周 长比为 ⁠. 第11题 1∶3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 12. （2022·攀枝花）如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝6， AD ＝4， E ， F 分别为 BC ， CD 的中点， BF ， DE 相交于点 G ，过点 E 作 EH ∥ CD ， 交 BF 于点 H ，则线段 GH 的长为（　A　） A. B. 1 C. D. 第12题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 13. （2023·徐州）如图，在△ ABC 中，∠ B ＝90°，∠ A ＝30°， BC ＝ 2， D 为 AB 的中点.若点 E 在边 AC 上，且 ＝ ，则 AE 的长为 （　D　） A. 1 B. 2 C. 1或 D. 1或2 第13题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 14. 如图， E 是▱ ABCD 边 AD 上一点，且 AE ＝ ED ， BA ， CE 的延长 线交于点 F ， BE 与 AC 交于点 O . 有下列结论：① 相似三角形（不含全 等三角形）有2对；② AB ＝2 AF ；③ 8 S△ AOE ＝ S△ CED . 其中正确的有 （　C　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 第14题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 15. 如图， P 为▱ ABCD 边 BC 上一点， E ， F 分别为 PA ， PD 上的点， 且 PA ＝3 PE ， PD ＝3 PF ，△ PEF ，△ PDC ，△ PAB 的面积分别记为 S ， S1， S2.若 S ＝2，则 S1＋ S2＝ ⁠. 第15题 18　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 16. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝6， BC ＝8.点 P 在矩形 ABCD 的内 部，点 E 在边 BC 上，满足△ PBE ∽△ DBC . 若△ APD 是等腰三角形， 则 PE 的长为 ⁠. 第16题 或3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 17. 如图，△ ABC 在平面直角坐标系中. （1） 在图中画出△ ABC 沿 x 轴翻折后得到的△ A1 B1 C1； 解：（1） 如图，△ A1 B1 C1即为所求作 第17题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 （2） 以点 M （1，2）为位似中心，在 x 轴上方作出△ A1 B1 C1按2∶1的 比放大后的位似图形△ A2 B2 C2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 解：（2） 如图，△ A2 B2 C2即为所求作 第17题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 （3） 点 A2的坐标为 ，△ ABC 与△ A2 B2 C2的周长比 是 ，△ ABC 与△ A2 B2 C2的面积比是 ⁠. （3，6）　 1∶2　 1∶4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 18. （2024·合肥蜀山区期末）如图， AB ∥ CD ，依次连接 CA ， CB ， DA ， DB ，任作一条直线 l ，使 l ∥ AB ，设 l 分别交 CA ， CB ， DA ， DB 于点 P ， Q ， R ， S . （1） 若 PC ＝2 PA ， CD ＝4，求 PR 的长； 解：（1） ∵ PC ＝2 PA ，∴ AC ＝3 AP . ∵ AB ∥ CD ， l ∥ AB ，∴ CD ∥ l .∴ △ APR ∽△ ACD . ∴ ＝ .∴ ＝ .∴ PR ＝ 第18题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 （2） 求证： PR ＝ QS . 解：（2） ∵ AB ∥ CD ， l ∥ AB ，∴ AB ∥ l ∥ CD . ∴ ＝ .∵ l ∥ CD ，∴ △ BSQ ∽△ BDC . ∴ ＝ .∴ ＝ .由（1），得 ＝ ，∴ ＝ . ∴ PR ＝ QS 第18题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 19. 在四边形 ABCD 中， E ， F 分别是边 AB ， AD 上的点， DE 与 CF 交 于点 G . （1） 如图①，若四边形 ABCD 是矩形，且 DE ⊥ CF ，求证： ＝ . 解：（1） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠ A ＝∠ FDC ＝90°.∴ ∠ ADE ＋∠ AED ＝90°.∵ CF ⊥ DE ，∴ ∠ DGF ＝90°.∴ ∠ ADE ＋∠ CFD ＝ 90°.∴ ∠ CFD ＝∠ AED . 又∵ ∠ A ＝∠ CDF ，∴ △ AED ∽△ DFC . ∴ ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 （2） 如图②，若四边形 ABCD 是平行四边形，试探究：当∠ B 与∠ EGC 满足什么关系时， ＝ 成立？并证明你的结论. 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 解：（2） 当∠ B ＋∠ EGC ＝180°时， ＝ 成立　∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ ∠ B ＝∠ ADC ， AD ∥ BC . ∴ ∠ B ＋∠ A ＝180°. ∵ ∠ B ＋∠ EGC ＝180°，∴ ∠ A ＝∠ EGC ＝∠ FGD . 又∵ ∠ FDG ＝ ∠ EDA ，∴ △ DFG ∽△ DEA . ∴ ＝ ，即 ＝ .∵ ∠ B ＝ ∠ ADC ，∠ B ＋∠ EGC ＝180°，∠ EGC ＋∠ DGC ＝180°，∴ ∠ CGD ＝ ∠ CDF . 又∵ ∠ GCD ＝∠ DCF ，∴ △ CGD ∽△ CDF . ∴ ＝ ，即 ＝ .∴ ＝ .∴ ＝ ，即当∠ B ＋∠ EGC ＝180°时， ＝ 成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回目录 =?dI??,l?�3??&˒΢??/?PNG � $$