第2章　轴对称图形 课件 2024—2025学年苏科版数学八年级上册

第2章　轴对称图形 2.5　等腰三角形的轴对称性 第3课时　直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于　　　　的一半. 斜边 1. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,BD=3,则CD的长为 (　　) A. 2.5 B. 2 C. 3.5 D. 3 D 1 2 3 4 5 2. 如图,点A、B、C分别表示三个村庄,AB⊥BC.为了丰富群众生活,拟建一个文化活动中心,要求这三个村庄到活动中心的距离相等,则活动中心P的位置应在 (　　) A. AB的中点处 B. BC的中点处 C. AC的中点处 D. ∠C的平分线与AB的交点处 C 1 2 3 4 5 3. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线.若∠B=50°,则∠ACD的度数为　　　　.  　　 　　　　 4. 如图,在△ABC中,∠ABC=∠C,AD是角平分线,BE是中线.若DE=12,则AB的长为　　　　. 40° 24 1 2 3 4 5 5. (2022·杭州)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,M为边AB的中点,点E在线段AM上,连接CM、CE,∠A=50°,∠ACE=30°.求证:CE=CM. ∵ ∠ACB=90°,M为边AB的中点,∴ MC=MB, ∴ ∠MCB=∠B.∵ ∠A=50°,∴ ∠MCB=∠B= 40°,∴ ∠EMC=∠MCB+∠B=80°.∵ ∠ACE= 30°,∴ ∠MEC=∠A+∠ACE=80°,∴ ∠MEC= ∠EMC,∴ CE=CM 第5题 1 2 3 4 5 $$第2章　轴对称图形 2.2　轴对称的性质 第1课时　轴对称的性质 1. 　　　　并且　　　　一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.  2. 成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴　　 　　　. 垂直 平分 垂直平分 1. 如图,在四边形ABCD中,对角线BD所在的直线是其对称轴,P是直线BD上的点,下列判断错误的是 (　　) A. AD=CD B. ∠DAP=∠DCP C. AP=BC D. ∠ABP=∠CBP C 1 2 3 4 2. 如图,点E、F、G、Q、H在同一条直线上,且EF=GH.若所作直线l为线段FG的垂直平分线,则直线l也是线段　　　　的垂直平分线.  3. 如图,在△ABC中,点D在BC上,将点D分别以AB、AC所在直线为对称轴,画出对称点E、F,并连接AE、AF,根据图中标示的角度,可得∠EAF的度数为　　　　. EH 132° 1 2 3 4 4. 如图,四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称,∠ABC=125°, ∠A+∠D=155°,AB=3cm,EH=4cm. (1) 画出直线MN并填空:点B的对称点是　　　　,点D的对称点是　　　. (1) 如图,连接AE,画出线段AE的垂直平分 线MN 第4题 F H 1 2 3 4 (2) 试写出EF、AD的长度与∠G的度数. (3) 连接BF,线段BF与直线MN有什么关系?请说明理由. (2) ∵ 四边形ABCD与四边形EFGH关于直线 MN对称,AB=3cm,EH=4cm,∴ EF=AB=3cm, AD=EH=4cm,∠G=∠C.∵ ∠ABC=125°,∠A +∠D=155°,∴ ∠C=360°-125°-155°=80°, ∴ ∠G=∠C=80°　 (3) 直线MN垂直平分线段BF　理由:∵ 点B、F关于直线MN对称,∴ 由轴对称的性质,可知直线MN垂直平分线段BF. 第4题 1 2 3 4 $$第2章　轴对称图形 2.2　轴对称的性质 第2课时　画轴对称图形 1. 画一个图形关于一条直线对称的图形,关键是确定某些点关于这条直线的　　　　　.  2. 成轴对称的两个图形的任何对应部分　　　　　　　. 对称点 也成轴对称 1. 小华用两块含30°角的三角尺(大小相同)拼成的下列图形中,不是轴对称图形的为 (　　) 　　　　 A 1 2 3 4 2. (2022·北京)如图所示的图形为轴对称图形,该图形的对称轴的条数为 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 1 2 3 4 D 第2题 3. 如图,将图②~⑤中的四幅图分别平行移动到图①中的M位置后,能与N成轴对称的是图　　　　(填序号). 1 2 3 4 ④ 4. 如图,在边长为1个单位长度的小正方形网格中,给出了△ABC(顶点是网格线的交点)与直线l. (1) 请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1. (1) 如图,△A1B1C1即为所求　 第4题 1 2 3 4 (2) ① 在(1)的条件下,结合你所画的图形,求△A1B1C1的面积; ② 连接AA1、CC1,求五边形C1A1ABC的面积. (2) ① △A1B1C1的面积为2×3-×1×2-×1×3- ×1×2=　 ② 如图,由题意,得△ABC≌△A1B1C1,∴ S△ABC= =,∴ 五边形C1A1ABC的面积为×(4+ 6)×3+= 第4题 1 2 3 4 $$第2章　轴对称图形 2.1　轴对称与轴对称图形 1. 把一个图形沿着某一条直线　　　　,如果它能够与　　　　　　重合,那么称这两个图形关于这条直线对称,也称这两个图形成　　　　,这条直线叫做　　　　.  2. 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够　　　 　,那么称这个图形是轴对称图形,这条直线就是　　　　. 翻折 另一个图形 轴对称 对称轴 互相重合 对称轴 1. (2023·嘉兴)美术老师写的下列四个字中,是轴对称图形的为 (　　) 2. 下列图形只有两条对称轴的是 (　　) A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 长方形 D. 正方形 D 1 2 3 4 5 C 3. 如图,图①~⑤中的左右两个图形成轴对称的是　　　　(填序号).  4. 经过轴对称变换后得到的图形与原图形相比,形状　　　　改变,大小 　　　　改变(填“有”或“没有”). ①②③ 没有 1 2 3 4 5 没有 5. 如图,三角形⑧与哪些三角形成轴对称?它们分别以哪条直线为对称轴? 三角形⑧与三角形①③⑤⑦成轴对称,对称轴分别为 直线BD、GH、AC、EF 第5题 1 2 3 4 5 $$第2章　轴对称图形 2.5　等腰三角形的轴对称性 第2课时　等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定 1. 有两个角　　　　的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).  2. 三边相等的三角形叫做　　　　　　或　　　　　　.  3. 等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于　　　　.  4. 等边三角形的判定定理:(1) 三个角都　　　　的三角形是等边三角形; (2) 有一个角是60°的　　　　三角形是等边三角形. 相等 等边三角形 正三角形 60° 相等 等腰 1. (2022·营口)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D,则下列判断错误的是 (　　) A. BD=BC B. AD=BD C. ∠ADB=108° D. CD=AD D 1 2 3 4 5 2. 如图,△ABC为等边三角形,D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点,则图中等边三角形的个数为 (　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 D 1 2 3 4 5 3. (2023·绵阳改编)如图,在等边三角形ABC中,BD是边AC上的中线,延长BC至点E,使CE=CD,则∠BDE的度数为　　　　.  4. 在△ABC中,∠A=80°,当∠B的度数为　　 　　　　　时,△ABC为等腰三角形.  120° 80°或50°或20° 1 2 3 4 5 5. (2023·广西改编)如图,△ABC是边长为4的等边三角形,点D、E、F分别在边AB、BC、CA上运动,满足AD=BE=CF.求证:△DEF为等边三角形. ∵ △ABC是等边三角形,∴ ∠A=∠B=60°,AB=AC. ∵ AD=CF,∴ AC-CF=AB-AD,即AF=BD.在△ADF和 △BED中,∴ △ADF≌△BED(SAS),∴ DF =ED.同理,可证DF=FE,∴ DF=ED=FE,∴ △DEF为等 边三角形 第5题 1 2 3 4 5 $$第2章　轴对称图形 2.4　线段、角的轴对称性 第2课时　线段垂直平分线的判定 1. 到线段两端距离相等的点在线段的　　　 　　　上.  2. 线段的垂直平分线是到线段两端距离　　　　的点的集合. 垂直平分线 相等 1. (2022·百色)如图所示为求作线段AB中点的作图痕迹,则下列结论不一定成立的是 (　　) A. ∠B=45° B. AE=EB C. AC=BC D. AB⊥CD　　　　　　 　　　　　　 A 1 2 3 4 5 2. 如图,在△ABC中,l1是AB的垂直平分线,l2是AC的垂直平分线,l1与l2交于点O,则点O在 (　　) A. ∠A的平分线上 B. BC的垂直平分线上 C. 边BC的中线上 D. 边BC的高上 B 1 2 3 4 5 3. (2022·衡阳)如图,在△ABC中,BC=15,AC=8,分别以点A、B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M、N,作直线MN,交边BC于点D,连接AD,则△ACD的周长为　　　　. 23 1 2 3 4 5 4. (2023·青岛)△ABC如图所示.利用尺规求作点P,使PA=PC,且点P在△ABC边AB的高上(不写作法,保留作图痕迹). 如图,点P即为所求 1 2 3 4 5 5. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,连接CE.求证:AD垂直平分线段CE. ∵ AD平分∠BAC,∴ ∠CAD=∠EAD.∵ DE⊥AB, ∴ ∠AED=90°.∵ ∠ACB=90°,∴ ∠ACD=∠AED. 在△ACD和△AED中,∴ △ACD≌ △AED(AAS),∴ AC=AE,CD=ED,∴ 点A、D都在线段CE的垂直平分线上,∴ AD垂直平分线段CE 第5题 1 2 3 4 5 $$第2章　轴对称图形 2.4　线段、角的轴对称性 第1课时　线段垂直平分线的性质 1. 线段是轴对称图形,线段的　　 　　　 和　　　　　　　　　　 都是它的对称轴.  2. 线段垂直平分线上的点到　　　　 　的距离相等. 垂直平分线 线段本身所在的直线 线段两端 1. 若P是△ABC的边AC的垂直平分线上的点,则一定有 (　　) A. PA=PB B. PA=PC C. PB=PC D. PA=PB=PC 2. 如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,连接AE.若AE=4,EC=2,则BC的长是 (　　) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 B 1 2 3 4 5 C 3. 如图,用两根钢索加固直立的电线杆AD,若要使钢索AB和AC的长度相等,则需使电线杆的底端D位于BC的中点处,理由是  . 4. 如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,CB=2BD,且点E在BC的延长线上,CF垂直平分AE,交AE于点F.若AB=4,CB=6,则DE的长为　　　　. 线段垂直平分线上的 点到线段两端的距离相等 1 2 3 4 5 7 5. 如图,在△ABC中,AD是边BC上的中线,E是边AB上一点,过点C作CF∥ AB,交ED的延长线于点F. (1) 求证:△BDE≌△CDF; (2) 若AD⊥BC,AE=1,CF=3,求AC的长. (1) ∵ CF∥AB,∴ ∠B=∠FCD,∠BED=∠F.∵ AD 是边BC上的中线,∴ BD=CD.在△BDE和△CDF中, ∴ △BDE≌△CDF(AAS)　 (2) ∵ △BDE≌△CDF,∴ BE=CF=3,∴ AB=AE+BE=1+3=4.∵ AD⊥BC, BD=CD,∴ AD所在直线是线段BC的垂直平分线,∴ AC=AB=4 第5题 1 2 3 4 5 $$第2章　轴对称图形 2.5　等腰三角形的轴对称性 第1课时　等腰三角形的性质 1. 等腰三角形是轴对称图形,　　　　　　　　　　　　是它的对称轴.  2. 等腰三角形的　　　　相等(简称“等边对等角”).  3. 等腰三角形　　　　　　　　、　　　　　　及　　　　 　　　重合. 顶角平分线所在直线 两底角 底边上的高线 中线 顶角平分线 1. 下列阐述正确的是 (　　) A. 等腰三角形中至少有两个内角相等 B. 等腰三角形只能有两边相等 C. 等腰三角形不是轴对称图形 D. 等腰三角形底边上的高是它的对称轴 A 1 2 3 4 5 6 2. (2023·长春)如图,用直尺和圆规作∠MAN的平分线,根据作图痕迹,下列结论不一定正确的是 (　　) A. AD=AE B. AD=DF C. DF=EF D. AF⊥DE B 1 2 3 4 5 6 3. 如图,在△ABC中,AB=AC.若∠A=36°,BD⊥AC于点D,则∠CBD的度数为　　　　.  4. (2022·岳阳)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.若BC=6,则CD的长为　　　　.  5. (2023·锦州)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E,连接CE.若CE=CA,∠ACE=40°,则∠B的度数为　　　　. 18° 3 35° 1 2 3 4 5 6 6. 如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是边BC上的点,且BD=CE. (1) 求证:AD=AE; (2) 过点A作∠DAE的平分线交DE于点H,则线段AH是　　 　　　　　的中线(填三角形). (1) ∵ AB=AC,∴ ∠B=∠C.在△ABD和△ACE中, ∴ △ABD≌△ACE(SAS),∴ AD=AE 第6题 △ABC、△ADE 1 2 3 4 5 6 $$第2章　轴对称图形 2.4　线段、角的轴对称性 第3课时　角平分线的性质与判定 1. 角是轴对称图形,　　　　　　　　所在的直线是它的对称轴.  2. 角平分线上的点到　　　　　的距离相等.  3. 角的内部到　　　　　　　　　　的点在角的平分线上. 角平分线 角两边 角两边距离相等 1. 若点P在∠AOB的平分线上,点P到边OA的距离等于6,Q是边OB上的任意一点,则下列选项正确的是 (　　) A. PQ>6 B. PQ≥6 C. PQ<6 D. PQ≤6 2. 如图,P是∠AOB内一点,PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为E、F.若PE=PF,且∠OPF=70°,则∠AOB的度数为　　　　. B 1 2 3 4 5 40° 3. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,按尺规作图的痕迹作射线AO,交BC于点D. (1) (2023·湘潭)若点D到AB的距离为1,则CD的长为　　　　;  (2) 若BC=4.4,BD∶CD=13∶9,则点D到AB的距离为　　　　.  4. (2022·北京)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E.若AC=2, DE=1,则S△ACD=　　　　. 1 1.8 1 2 3 4 5 1 5. ∠AOB与直线MN的位置如图所示. (1) 在直线MN上求作一点P,使点P到OA、OB的距离相等(不必写作法,保留作图痕迹). (1) 作∠AOB的平分线OD,则OD与直线MN的交点即为 所求的点P,作图略　 第5题 1 2 3 4 5 (2) 作PH⊥OA于点H,PQ⊥OB于点Q.若四边形OQPH的面积为20cm2,OH =5cm,求PQ的长. (2) 由(1),知OP是∠AOB的平分线,∴ ∠POH=∠POQ. ∵ PH⊥OA,PQ⊥OB,∴ ∠PHO=∠PQO=90°.在 △OPH和△OPQ中,∴ △OPH≌ △OPQ(AAS),∴ PH=PQ,S△OPH=S△OPQ=S四边形OQPH=10cm2,∴ S△OPH= OH·PH=×5PH=10cm2,∴ PH=4cm,∴ PQ=4cm 第5题 1 2 3 4 5 $$第2章　轴对称图形 2.4　线段、角的轴对称性 第4课时　线段垂直平分线、角平分线的综合应用 1. 线段的垂直平分线是到线段两端距离　　　　的点的集合.  2. 角平分线上的点到角两边的距离相等,角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.因此,角平分线是　　　　　　　　　　　　　的点的集合. 相等 角的内部到角两边距离相等 1. 如图,在△ABC中,AB>AC,BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E,连接CD.若AB=12cm,△ACD的周长为21cm,则AC的长为 (　　) A. 9cm B. 10cm C. 12cm D. 15cm 　　　　　　　　 2. 如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB =4,则AC的长为　　　　. A 1 2 3 4 3 3. 两个城镇A、B与一条公路CD、一条河流CE的位置如图所示.某人要修建一座避暑山庄,要求该山庄到A、B两处的距离必须相等,到CD、CE的距离也必须相等,且在∠DCE的内部,请作出该山庄的位置P(不写作法,保留作图痕迹). 如图,点P即为所求作的山庄的位置　 解析:P是线段AB的垂直平分线与∠DCE的平分线的交点. 1 2 3 4 4. 如图,在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N,连接MN.已知MP平分∠AMN,NP平分∠MNB. (1) 求证:OP平分∠AOB; (1) 过点P作PC⊥OA,PD⊥MN,PE⊥OB,垂足分别为C、 D、E.∵ MP平分∠AMN,PC⊥OA,PD⊥MN,∴ PC=PD. ∵ NP平分∠MNB,PD⊥MN,PE⊥OB,∴ PD=PE,∴ PC =PE,∴ OP平分∠AOB 第4题 1 2 3 4 (2) 若MN=8,且S△PMN=16,S△OMN=24,则线段OM与ON的长度之和为　　 . (2) 解析:∵ S△PMN=16,MN=8,∴ ×8PD=16,∴ PD=4, ∴ PD=PC=PE=4.∵ S△OMN=24,∴ S四边形MONP=S△PMN + S△OMN=16+24=40,∴ S△POM +S△PON=40,∴ ×4OM +×4ON=40,∴ OM+ON=20. 第4题 20 1 2 3 4 $$第2章　轴对称图形 2.3　设计轴对称图案 1. 设计轴对称图案的依据是轴对称的性质:如果两个图形成轴对称,那么对称轴就是对应点连线的　　　　　　　.  2. 设计轴对称图案的关键是画出确定图案的关键点的　　　　　. 垂直平分线 对称点 1. (2023·宁夏)下列是由七巧板拼成的图形(只考虑外形,忽略内部轮廓),其中属于轴对称图形的是 (　　) C 1 2 3 4 2. 如图,在4×4的正方形网格中,已将图中的四个小正方形涂上阴影.若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影,使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形,则符合条件的小正方形共有　　　　个. 1 2 3 4 3 第2题 3. 如图,以虚线l为对称轴画出图案的另一半. 1 2 3 4 如图所示 4. (2022·桂林改编)如图,直线a⊥b,形如英文字母“V”的图形三个端点均在方格纸的格点上. (1) 画出“V”字图形关于直线b对称的图形; (2) 画出原“V”字图形关于直线a对称的图形; (3) 分别指出(1)(2)小题中所得图形与原图形结合起来得到的英文字母. (1) 如图所示　 (2) 如图所示　 (3) 第(1)小题得到字母“W”; 第(2)小题得到字母“X” 第4题 1 2 3 4 $$